重庆市南岸区第一一〇中学校2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷（含答案）

这是一份重庆市南岸区第一一〇中学校2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷
（附答案与解析）
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）不等式﹣1＜x≤2，在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣2y+1 C．x2﹣4y2 D．﹣x2﹣4y2
4．（4分）当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
5．（4分）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为（　　）

A．9 B．8 C．12 D．11
6．（4分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．12m B．10m C．9m D．8m
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，4），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　）

A．28 B．96 C．192 D．200
9．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1．则CF的长为（　　）

A． B． C．4 D．
11．（4分）若关于x的分式方程＝1的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．19 B．22 C．30 D．33
12．（4分）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有（　　）个．
①不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；
②存在实数k，使得x+y＝0；
③当y﹣x＝﹣1时，k＝1；
④当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣3的解．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）计算：的结果是 　 　．
14．（4分）如图，已知函数y＝ax+b的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则根据图象可得不等式ax+b＞0的解集是 　 　．

15．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为　 　．

16．（4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　 　．（商品的利润率＝×100%）
三、（解答题：（本大题共2小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）
17．（8分）计算或化简：
（1）（+1）（﹣1）﹣（2﹣）；
（2）（1﹣）÷．
18．（8分）解不等式组或方程：
（1）；
（2）＝+3．
四、（解答题：（本大题共7小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。）
19．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＜AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AD上截取AE，使AE＝AB；作∠BCD的平分线交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE交CF于点G，证明：AF＝DE.
20．（10分）有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了100个鸡腿，然后再从中随机各抽取20个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：x≥80，B组，75≤x＜80，C组：70≤x＜75，D组：65≤x＜70，E组：0＜x＜65），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）：
b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）：

c．甲公司被抽取的鸡腿质量在75≤x＜80这一组的数据是：75，76，78，76，77，78，79．
d．乙公司被抽取的鸡腿质量在75≤x＜80这一组的数据是：75，78，75，75，75，77，76，75．
e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：
公司
甲公司
乙公司
平均数
73
73
中位数
n
75
众数
74
k
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中m＝　 　，n＝　 　，k＝　 　；
（2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量；
（3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）．

21．（10分）“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请结合以上知识，解答下列问题：
（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　 　；
（2）根据图3得到的结论，解决下列问题：
若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝19，求代数式a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．

22．（10分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
23．（10分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“等十数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“巧拆分”．
例如：∵616＝28×22，28和22的十位数字相同，个位数字之和为10，∴616是“等十数”．
又如：∵272＝17×16，17和16的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴272不是“等十数”．
（1）判断195，624是否是“等十数”？并说明理由；
（2）把一个四位“等十数”M进行“巧拆分”，即M＝A×B，A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的和记为E（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的差的绝对值记为F（M）令G（M）＝，当G（M）能被5整除时，求出所有满足条件的M．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B（2，4），BC∥x轴交y轴于点C，AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点E是y轴上一动点，点F为平面内一点，且EF为▱AFBE的对角线，当EF最小时，请直接写出点E的坐标，并在x轴上找一点M使|BM﹣EM|最大，求出此时点M的坐标；
（3）如图3，点E仍是y轴上一动点，是否存在点E使△ABE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．


25．（10分）如图1，▱ABCD中，AE⊥BC于E点，AE＝CE，过点C作CF⊥CD交AE于点F．
（1）若AB＝13，BE＝5，求BC的长；
（2）如图2，连接DF，点N为线段DF上一动点，连接CN，将线段CN绕点N逆时针旋转90°至NM，连接DM，求证：AB＝DM+FN；
（3）在（1）（2）的条件下，N点为直线DF上一点，连接AM，请直接写出AM的最小值．



2022-2023学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共48分）
1．（4分）道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（4分）不等式﹣1＜x≤2，在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】不等式﹣1＜x≤2在数轴上表示不等式x＞﹣1与x≤2两个不等式的公共部分．
【解答】解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
不等式﹣1＜x≤2，在数轴上可表示为
故选：A．
【点评】考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（4分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．x2﹣2y+1 C．x2﹣4y2 D．﹣x2﹣4y2
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：A．x2+4y2无法分解因式，故此选项不合题意；
B．x2﹣2y+1无法分解因式，故此选项不合题意；
C．x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），故此选项符合题意；
D．﹣x2﹣4y2无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
4．（4分）当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【分析】当x+2b＝0时，分式没意义，把x＝3代入x+2b＝0，求得b的值．
【解答】解：∵当x＝3时，分式没有意义，
∴x＝3时，x+2b＝0，
∴b＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件．当分母≠0时分式有意义，当分母等于0时，分式无意义．
5．（4分）如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为（　　）

A．9 B．8 C．12 D．11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BDC的周长为17，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝17，
∵BC＝8，
∴AC＝9，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（4分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．12m B．10m C．9m D．8m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB＝DE＝×18＝9，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，4），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点A作AC⊥x轴，从而可得OC＝2，AC＝4，利用勾股定理可求得OA＝2，即OB＝2，从而可确定点B的坐标．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，如图，

∵点O（0，0），A（2，4），
∴OC＝2，AC＝4，
在Rt△AOC中，OA＝，
∵以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，
∴OB＝OA＝2，
∴点B的坐标为：（2，0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，解答的关键是由勾股定理求得OA的长度．
8．（4分）如下图，边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　）

A．28 B．96 C．192 D．200
【分析】直接利用矩形的性质得出ab，a+b的值，进而将原式提取公因式ab分解因式，把数据代入得出答案．
【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
则a2b+ab2＝ab（a+b）
＝8×12
＝96．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
9．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可得x＝1，然后把x＝1代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
2m﹣1﹣3x＝5（x﹣1），
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x＝1，
把x＝1代入x＝中，
1＝，
解得：m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
10．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1．则CF的长为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE＝CD，即D为CE中点，然后再得CE，再利用三角函数可求出HF和CH的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∵AE∥DB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点．
∵AB＝1，
∴CE＝2，
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC＝45°，
过E作EH⊥BF于点H，

∵CE＝2，∠ECF＝45°，
∴EH＝CH＝，
∵∠EFC＝30°，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
11．（4分）若关于x的分式方程＝1的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．19 B．22 C．30 D．33
【分析】求出分式方程的解，根据解为非负数可得a的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据a为整数进行计算即可．
【解答】解：解关于x的分式方程＝1得，
x＝a﹣9，
由于方程的解为非负数，而x＝2是增根，
∴a﹣9≥0且a﹣9≠2，
即a≥9且a≠11，
不等式①的解集为y≥2，
不等式②的解集为y，
由于2≤y＜的整数解只有3个，
∴4＜≤5，
解得9＜a≤12，
又∵a为整数，且a≠11，
∴a＝10，12，
∴所有满足条件的整数a的值之和为22，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握一元一次不等式组的整数解得定义以及分式方程的解法是正确解答的前提．
12．（4分）已知关于x，y的方程组，以下结论正确的有（　　）个．
①不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；
②存在实数k，使得x+y＝0；
③当y﹣x＝﹣1时，k＝1；
④当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣3的解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】解方程组可得y＝1﹣k，x＝3k﹣2，再依次对选项进行判断即可．
【解答】解：，
（1）×2﹣（2）得：y＝﹣k+1，
（2）×2﹣（1）×3得x＝3k﹣2，
∴x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）＝1，故①正确；
∵x+y＝3k﹣2+（﹣k+1）＝2k﹣1，
∴k＝时，x+y＝0，故②正确；
∵y﹣x＝﹣k+1﹣3k+2＝﹣4k+3，
∴当y﹣x＝﹣1，即﹣4k+3＝﹣1，则k＝1，故③正确；
当k＝0时，x＝﹣2，y＝1，
而不是x﹣2y＝﹣3的解，故④错误，
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据所给条件对每个选项进行判断是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）计算：的结果是 　5　．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．（4分）如图，已知函数y＝ax+b的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则根据图象可得不等式ax+b＞0的解集是 　x＞3　．

【分析】不等式ax+b＞0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值．
【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】考查一次函数与一元一次不等式的相关知识；掌握不等式＞0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的易错点．
15．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为　1+　．

【分析】连接BB′，BC′交AB′于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得AB＝AC＝2，再根据旋转的性质得∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，则可判断BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，所以C′D＝1，BD＝，然后计算C′D+BD即可．
【解答】解：连接BB′，BC′交AB′于D，如图，
△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝×＝2，
∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，
∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，
∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，
∴C′D＝AB′＝1，BD＝AB′＝，
∴C′B＝C′D+BD＝1+．
故答案为1+．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
16．（4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　　．（商品的利润率＝×100%）
【分析】先求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27元，得出乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），求出＝．
【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
三、（解答题：（本大题共2小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）
17．（8分）计算或化简：
（1）（+1）（﹣1）﹣（2﹣）；
（2）（1﹣）÷．
【分析】（1）直接利用平方差公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣1﹣2+2
＝4﹣2；

（2）原式＝•
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算、分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）解不等式组或方程：
（1）；
（2）＝+3．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
由①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为1≤x＜3；
（2）去分母得：3﹣x＝2+3（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣1＝0，
∴x＝1是增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
四、（解答题：（本大题共7小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。）
19．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＜AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AD上截取AE，使AE＝AB；作∠BCD的平分线交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BE交CF于点G，证明：AF＝DE.
【分析】（1）以点A为圆心、AB为半径画弧，与AD的交点即为点E；根据角平分线的尺规作图可得CF；
（2）先证DF＝DC，再结合AE＝AB得AE＝DF，即AF+EF＝DE+EF，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，点E、F即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
又∵AE＝AB，
∴AE＝DF，即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的性质、等角对等边的性质．
20．（10分）有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了100个鸡腿，然后再从中随机各抽取20个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：x≥80，B组，75≤x＜80，C组：70≤x＜75，D组：65≤x＜70，E组：0＜x＜65），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）：
b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）：

c．甲公司被抽取的鸡腿质量在75≤x＜80这一组的数据是：75，76，78，76，77，78，79．
d．乙公司被抽取的鸡腿质量在75≤x＜80这一组的数据是：75，78，75，75，75，77，76，75．
e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：
公司
甲公司
乙公司
平均数
73
73
中位数
n
75
众数
74
k
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中m＝　20　，n＝　75.5　，k＝　75　；
（2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量；
（3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）．

【分析】（1）先求出乙公司被抽取的20个鸡腿质量在B组对应的百分比，再根据百分比之和为1可得m的值，根据众数和中位数的定义可分别求出k、n的值；
（2）总数乘以不低于75克的数量所占的百分比即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）乙公司被抽取的20个鸡腿质量在B组对应的百分比为×100%＝40%，
∴m%＝1﹣（15%+40%+15%+10%）＝20%，即m＝20；
乙公司被抽取的20个鸡腿质量出现最多的是75，即众数k＝75，
甲公司被抽取的20个鸡腿质量的中位数n＝＝75.5；
故答案为；20、75.5、75；
（2）100×（1﹣10%﹣20%﹣15%）＝55（个），
答：估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为55个．
（3）我会选择采购甲公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为73克，但甲公司鸡腿质量的中位数75.5克大于乙公司鸡腿质量的中位数75克．
我会选择采购乙公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为73克，但乙公司鸡腿质量的众数75克大于甲公司鸡腿质量的众数74克．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（10分）“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请结合以上知识，解答下列问题：
（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2　；
（2）根据图3得到的结论，解决下列问题：
若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝19，求代数式a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．

【分析】（1）根据正方形的面积＝各长方形的面积之和求解即可．
（2）根据图（3）对应的结论进行求解．
（3）拼成的长方形面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+28ab+15b2，对比小正方形和小长方形面积即可求出x，y，z的值．
【解答】解：（1）拼成的大长方形面积之和＝（a+b）（a+2b），
各个小图形面积之和＝a2+3ab+2b2，
∴图2所表示的数学等式是（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
（2）图（3）中大正方形的面积＝（a+b+c）2，
各个小图形面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∵a+b+c＝8，ab+ac+bc＝19．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝82，
即a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）＝64，
∴a2+b2+c2＝64﹣2×19＝26．
（3）大长方形的面积为（2a+3b）（6a+5b）＝12a2+10ab+18ab+15b2＝12a2+28ab+15b2，
小图形的面积分别为a2，b2，ab，
∴x＝12，y＝15，z＝28．
∴x+y+z＝12+15+28＝55．
【点评】本题考查多项式乘多项式和完全平方公式的几何背景，因式分解的应用．解决本题的关键是能结合图象得出多项式乘多项式的结果，并利用整体思想求解．
22．（10分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
【分析】（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每件乙种商品的价格，再将其代入（x+8）中即可求出每件甲种商品的价格；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“等十数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“巧拆分”．
例如：∵616＝28×22，28和22的十位数字相同，个位数字之和为10，∴616是“等十数”．
又如：∵272＝17×16，17和16的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴272不是“等十数”．
（1）判断195，624是否是“等十数”？并说明理由；
（2）把一个四位“等十数”M进行“巧拆分”，即M＝A×B，A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的和记为E（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的差的绝对值记为F（M）令G（M）＝，当G（M）能被5整除时，求出所有满足条件的M．
【分析】（1）根据“等十数”的定义直接判定即可；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出E（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，F（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，当G（M）能被5整除时，设值为5k，对m+5＝10进行讨论．
【解答】解：（1）∵195＝13×15，
∵13和15十位数字相同，但个位数字3+5≠10，
∴195不是“等十数”．
∵624＝24×26，24和26十位数字相同，且个位数字4+6＝10，
∴624是“等十数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，
∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“等十数”，
∴3≤m≤9，1≤n≤9，
则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，
∴E（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，F（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．
∴（k是整数 ）．
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5＝10，
∴ 或
∴当m＝5时，n＝6或4，当m＝5时，n＝7或3，
∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝56×54＝3024或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝57×53＝3021，
综上，满足条件的M有：3024，3021．
【点评】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是用字母m，n表示出E（M），F（M）．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B（2，4），BC∥x轴交y轴于点C，AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点E是y轴上一动点，点F为平面内一点，且EF为▱AFBE的对角线，当EF最小时，请直接写出点E的坐标，并在x轴上找一点M使|BM﹣EM|最大，求出此时点M的坐标；
（3）如图3，点E仍是y轴上一动点，是否存在点E使△ABE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．


【分析】（1）过点B作BH⊥OA于H，由勾股定理得AH＝2，可得点A的坐标；
（2）设AB与EF的交点为P，作PE'⊥OC于E'，根据平行四边形的性质可得EF＝2PE，则当PE最小时，EF最小，此时E与E'重合，即可求出此时点E的坐标，当|BM﹣EM|最大时，可知B、E'、M三点共线，利用待定系数法求出直线BE'的解析式即可解决问题．
（3）分AB＝AE，BA＝BE，EA＝EB三种情形，分别画出图形，进而解决问题．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥OA于H，

∴B（2，4），
∴OH＝2，BH＝4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH＝＝2，
∴OA＝4，
∴A（0，4）；
（2）设AB与EF的交点为P，作PE'⊥OC于E'，

∵四边形AEBF是平行四边形，
∴EF＝2PE，
∴当PE最小时，EF最小，
此时E与E'重合，
∴E（0，2）；
当|BM﹣EM|最大时，可知B、E'、M三点共线，
设BE'的函数解析式为y＝kx+2，
则2k+2＝4，
∴k＝1，
∴y＝x+2，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴M（﹣2，0）；
（3）当AB＝AE时，如图，
由勾股定理得OE＝，

∴E（0，2）或（0，﹣2）；
当BE＝BA时，则EC＝4，

∴E（0，0）或（0，8），
当E（0，8）时，此时A、B、E三点共线，
∴E（0，8）不符合题意，故舍去，
当EA＝EB时，设OE＝x，由勾股定理得，
x2+42＝22+（4﹣x）2，

解得x＝，
∴E（0，），
综上：E（0，2）或（0，﹣2）或（0，0）或（0，）．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
25．（10分）如图1，▱ABCD中，AE⊥BC于E点，AE＝CE，过点C作CF⊥CD交AE于点F．
（1）若AB＝13，BE＝5，求BC的长；
（2）如图2，连接DF，点N为线段DF上一动点，连接CN，将线段CN绕点N逆时针旋转90°至NM，连接DM，求证：AB＝DM+FN；
（3）在（1）（2）的条件下，N点为直线DF上一点，连接AM，请直接写出AM的最小值．


【分析】（1）延长CF交AB于点L，先证明△AEB≌△CEF，得AE＝CE，再根据勾股定理求出AE的长，即可由BC＝BE+CE求出BC的长；
（2）作NR⊥DF交DC的长延线于点R，由CF＝CD＝AB，∠DCF＝∠BLC＝90°得∠CDF＝∠CFD＝45°，所以∠R＝∠NDR＝45°，再证明△DNM≌△RND，得DM＝RC，则∠NDM＝∠R＝45°，所以∠CDM＝90°，再由勾股定理证明CD＝RC+FN，则AB＝DM+FN；
（3）连接BF，由于点M在过点D与CD垂直的直线DM上运动，所以当AM⊥DM时，AM的值最小，再证明△ADM≌△BCL，得AM＝BL，再根据S△ABF+S△EBF＝S△ABE列方程求出FL的长，根据勾股定理求出AL的长，即可求出BL的长，再由AM＝BL＝AB﹣AL求出AM的长即可．
【解答】（1）解：如图1，延长CF交AB于点L，则∠BLC＝∠ALF＝90°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝∠CEF＝90°，
∴∠EAB＝∠ECF＝90°﹣∠B，
∵AE＝CE，
∴△AEB≌△CEF（ASA），
∵AB＝13，BE＝5，
∴AE＝＝＝12，
∴AE＝CE＝12，
∴BC＝BE+CE＝5+12＝17，
∴BC的长为17．
（2）证明：如图2，作NR⊥DF交DC的长延线于点R，则∠DNR＝90°，
由（1）得CF＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴CF＝CD＝AB，∠DCF＝∠BLC＝90°，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠R＝∠NDR＝45°，
∴DN＝RN，
由旋转得∠CNM＝90°，MN＝CN，
∴∠DNM＝∠RNC＝90°﹣∠CND，
∴△DNM≌△RND（SAS），
∴DM＝RC，∠NDM＝∠R＝45°，
∴∠CDM＝90°，
∵CD+RC＝＝＝DN，DN＝DF﹣FN，
∴CD+RC＝（DF﹣FN）＝DF﹣FN，
∵DF＝＝＝CD，
∴CD+RC＝×CD﹣FN＝2CD﹣FN，
∴CD＝RC+FN，
∴AB＝DM+FN．
（3）解：如图3，连接BF，
由（2）得∠CDM＝90°，
∴点M在过点D与CD垂直的直线DM上运动，
∴当AM⊥DM时，AM的值最小，
设BA的延长线交直线DM于点T，
∵∠CDM+∠DCF＝180°，
∴CF∥DM，
∵∠BLC＝∠ATD＝90°，
∴BA⊥DM，
∴点B、L、A、M在同一条直线上，
∵∠AMD＝∠BLC，∠DAM＝∠CBL，AD＝BC，
∴△ADM≌△BCL（AAS），
∴AM＝BL，
由（1）得AB＝13，BE＝FE＝5，AE＝12，
∴AF＝AE﹣FE＝12﹣5＝7，
∵S△ABF+S△EBF＝S△ABE，
∴×13FL+×5×5＝×5×12，
∴FL＝，
∴AL＝＝＝，
∴AM＝BL＝AB﹣AL＝13﹣＝，
∴AM的最小值是．



【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．