2023重庆市八中高三上学期入学考试数学含答案

重庆八中2022-2023学年度（上）入学考试高三年级

数学试题

一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第50百分位数分别是

A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9

3．经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是

5．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为

A．6 B．10 C．16 D．20

6．若，且，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

7．已知，其中，则

A． B．

C． D．

8．已知函数，且，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

二、多选题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关命题的说法正确的有

A. 的增区间为

B. “”是“”的充分不必要条件

C. 若集合中只有两个子集,则

D. 对于命题: 存在, 使得, 则: 任意, 均有

10. 在中,已知, 则

A. 的最大值为

B. 的最小值为 1

C. 的取值范围为

D. 为定值

11. 定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的有

A. 与共轭的双曲线是

B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同

C. 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上

D. 互为共轭的双曲线的离心率为, 则

12. 已知函数 , 则下列说法正确的有

A. 在单调递增

B. 为的一个极小值点

C. 无最大值

D. 有唯一零点

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13. 已知,若,则_____.

14. 若,则_____.

15. 已知为上的奇函数,且,当时,,则_____.

16. _____.

四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分)已知.

(1) 求的值;

(2)求的值.

18．（本小题12分）已知函数，若在点处的切线方程为．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的值域．

19．（本小题12分）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

20．（本小题12分）某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局比赛互不影响.

(1)若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.

21．（本小题12分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

(1)求点的轨迹的方程.

(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

22．（本小题12分）已知函数．

(1)若的最小值为，求的值；

(2)证明：当时，有两个不同的零点，，且．

数学试题参考答案：

一、 单选题

二、 多选题

三、 填空题

四、 解答题

17.(1)因为均为锐角,所以.又,

所以.

所以

（2）根据第（1）问可知 ，

所以

18．(1)(2)

（1）因为，所以，

由题意得，所以，；

故的解析式为

（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，

故当时，函数取得极小值

又，，

因为

故函数在上的最大值为，最小值为，

所以在上的值域为

19．(1)证明见解析(2)

(1)证明：连接交于点，连接，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

因为，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面.

(2)解：因为为等边三角形，为的中点，则，

又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

.

因为，平面与平面夹角的余弦值为.

20．(1)分布列见解析，(2)

(1)由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.

因为，所以，，，

.

故X的分布列为

.

(2)设一天得分不低于4分为事件A，

则，

则，

则.

当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.

21．(1)(2)证明见解析

(1)因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，

所以,

故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），

且，所以，

所以的轨迹的方程为；

(2)设直线的方程为：，，

联立方程得：，

则，

所以，

又直线的方程为：，

又直线的方程为：，

联立方程得：，

把代入上式得：

，

所以当点运动时，点恒在定直线上

22．(1)(2)证明见解析

(1)解：因为定义域为，所以，

①当时恒成立，此时在定义域上单调递增，函数无最小值，不符合题意；

②当时，令，解得，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得；

(2)证明：由（1）可知，当时，

又，，所以在和上各有一个零点，

即有两个不同的零点，，不妨设，

即，，

即，，

两边取对数可得，，

所以，即，

要证，即证，

即证，

令，，即证，

令，，

所以，

所以在上单调递增，又，所以，即，

所以，得证.