16整式的加减（一）——合并同类项（基础）知识讲解

整式的加减（一）——合并同类项（基础）

【学习目标】

1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；

2. 掌握同类项的有关应用；

3. 体会整体思想即换元的思想的应用．

【要点梳理】

要点一、同类项

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

要点诠释： 

(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．

(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．

要点二、合并同类项

1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．

要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：

(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．

(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.

【典型例题】

类型一、同类项的概念 

1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．

（1）与；    （2）与；  （3）与； （4）与

【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：

 解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；

（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．

【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同. “两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．

举一反三：

【变式】下列每组数中，是同类项的是(    ) ．

    ①2x2y3与x3y2   ②-x2yz与-x2y  ③10mn与    ④(-a)5与(-3)5

⑤-3x2y与0.5yx2    ⑥-125与

    A．①②③    B．①③④⑥    C．③⑤⑥    D．只有⑥

【答案】C  

2．（2016•乐亭县二模）若﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，则m+n=　     　．

【思路点拨】直接利用同类项的概念得出n，m的值，即可求出答案．

【答案】4.

【解析】

解：∵﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，

∴，

解得：

则m+n=4．

故答案为：4．

【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同.

举一反三：

【变式】已知         和       是同类项，试求 的值．

【答案】

类型二、合并同类项

3．合并下列各式中的同类项：

    (1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy

    (2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5

【答案与解析】

  解： (1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy

    ＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy

    (2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5

    ＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2

【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．

举一反三：

【变式】（2015•玉林）下列运算中，正确的是（　　）

A. 3a+2b=5ab    B. 2a3+3a2=5a5      C. 3a2b﹣3ba2=0     D. 5a2﹣4a2=1

【答案】C

解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；

2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；

3a2b﹣3ba2=0，C正确；

5a2﹣4a2=a2，D错误，

故选：C．

4．已知，求m+n-p的值．

【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．

【答案与解析】

解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7

    解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，

    ∴  m+n-p＝1+4-9＝-4．

【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．

举一反三：

【变式】若与的和是单项式，则　　  ，　　  ．

【答案】4，2  ．

类型三、化简求值

5. 当时，分别求出下列各式的值．

（1）；

（2）

【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：

解：

又

所以，原式=

（2）先合并同类项，再代入求值．

解：

当p＝2，q＝1时，原式=．

【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．

举一反三：

【变式】先化简，再求值：

(1)，其中；

(2)，其中，．

【答案】

解:  (1)原式，

当时，原式＝．

(2)原式，

当，时，原式＝．

类型四、“无关”与“不含”型问题

6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?

【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．

【答案与解析】

解：

    ＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15

    ＝15

    通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．

【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．