19整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解学案

整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；

2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值．

【要点梳理】

要点一、去括号法则

   如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

   如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

 要点诠释：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．  

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

  (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．

要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．

要点诠释：

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．

    (2)去括号和添括号的关系如下：

如：，     

要点三、整式的加减运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

 要点诠释：

（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．

   (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

【典型例题】

类型一、去括号 

1．（2015•泰安模拟）化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（　　）

　 A． 0 B． 2m C． ﹣2n D． 2m﹣2n

【答案】C

【解析】

解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C．

【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．

类型二、添括号

2．按要求把多项式添上括号：

(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里；

(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．

【答案与解析】

解：(1)；

(2)．

【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．

举一反三：

【变式】添括号：

（1）．

（2）．

【答案】(1)；   (2) ．

类型三、整式的加减

3． ．

【答案与解析】

解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．

答：所求多项式为．

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

举一反三：

【变式】化简：

    (1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3).

    (2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)].

    (3)-3[(a2+1)-(2a2+a)+(a-5)].

    (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}.

【答案】

解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3)

       ＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3

    ＝18-3x-x3..                     ……整体合并，巧去括号

    (2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]

      ＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y)        ……由外向里，巧去括号

      ＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y

      ＝7x2y-3x2z+2xyz.

(3)

.

    (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}

      ＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab                 ……一举多得，括号全脱

      ＝2ab.

类型四、化简求值

4.（2016春•盐城校级月考）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y=，且xy＜0．

【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可得到结果．

【答案与解析】

解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2，

∵|x|=2，y=，且xy＜0，

∴x=﹣2，y=，

则原式=﹣﹣8=﹣．

【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当x=…时，原式=….

举一反三：

【变式】（2015春•万州区期末）先化简，再求值：﹣2x2﹣[3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．

【答案】

解：原式=﹣2x2﹣y2+x2﹣y2﹣3=﹣x2﹣y2﹣3，

当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．

5. 已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．

【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．

解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]

＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45；

(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]

＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．

【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．

举一反三：

【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．

【答案】∵  ， ∴ ，即．

    ∴．

6. 已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：

的值．

【答案与解析】

解：.

由于多项式与的差的值与字母无关，可知：

，，即有.

   又,

  将代入可得：.

【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．

类型五、整式加减运算的应用

7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，

用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，

那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 (    ) ．

A．60n厘米    B．50n厘米    C．(50n+10)厘米    D．(60n-10)厘米

【答案】C.

【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．

【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．

举一反三：

【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．

【答案】3a-a2

提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问题获解．