26实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解学案

实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

  （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

  （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

                            Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，   同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二，   第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

   寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？

【思路点拨】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【答案与解析】解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，

依题意得：（x+2）×2=118﹣x，

解得：x=38．

答：七年级收到的征文有38篇．

【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

举一反三：

【变式】（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（　　）

　 A． 25台 B． 50台 C． 75台 D． 100台

【答案】C．

解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，

根据题意可得：x=3（100﹣x），

解得：x=75．

类型二、行程问题

1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【答案与解析】   

解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

    4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．

    所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．

    答：学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

举一反三：

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

【答案】

解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：，

化简得： ．

显然a≠0，解得．

答：汽车的平均速度为千米/时．

2.相遇问题（相向问题）

3． A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？

【答案与解析】

解:设甲经过x小时与乙相遇.

   由题意得：．  

      解得，x=2.75．

答：甲经过2.75小时与乙相遇．

【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km

举一反三：

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

【答案】

解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：

．

解得：．

（千米）

答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

【答案与解析】

解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得．

得：， 小时=10分钟．

答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆流问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

【答案与解析】

解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，

（16+4）×3=60（千米）．

答：两码头之间的距离为60千米．

解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：．

答：两码头之间的距离为60千米．

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．

类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的．

【答案与解析】

解：设乙管还需x小时才能注满水池．

    由题意得方程：．

    解此方程得：x＝9．

    答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．

【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ．

举一反三：

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?

【答案】

解：设乙中途离开x天，由题意得：

．

解得：．

答：乙中途离开了3天．

类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．（2015春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　）

　 A． 22+x=2×26 B． 22+x=2（26﹣x） C． 2（22+x）=26﹣x D． 22=2（26﹣x）

【思路点拨】设抽调x人，则调后一组有（22+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．

【答案】B．

【解析】

解：设抽调x人，由题意得：

（22+x）=2（26﹣x），

【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数．

举一反三：

【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .

解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得，

．

    解得，x=12.

答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .