27实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解学案

实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

  （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

  （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

                            Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，   同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二，   第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

   寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】　　

解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：

x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .
　　　　　　　解得：x=10.
答：油箱里原有汽油10公斤.

【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.

举一反三：

【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?

【答案】

解：设这个班有x名学生，根据题意得：

    3x+24＝4x-26

   解得：x＝50.

    所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.

 答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．

类型二、行程问题

1.车过桥问题

2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．

【答案与解析】

解：设火车车身长为xm，根据题意，得：

，

解得：x＝300，

   所以．

答：火车的长度是300m，车速是30m/s．

【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．

(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．

举一反三：

【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？

【答案】 

解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：

，

解得：x＝3

答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．

2.相遇问题（相向问题）

3．（2016•云南模拟）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．

【思路点拨】设出乙车速度，进而表示出甲车速度，再根据相遇问题，两车行驶的路程之和为128千米列出方程，解方程求出x的值即可．

【答案与解析】

解：40分钟=小时，设乙车速度为x千米/时，甲车速度为（x+20）千米/时，根据题意，得

（x+x+20）=128，

解得x=86，

则甲车速度为：x+20=86+20=106．

答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．

【总结升华】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据路程=速度×时间公式列出一元一次方程，此题难度不大．

举一反三：

【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.

【答案】

解：设A、B两站间的距离为x km，由题意得：       

    解得：x=122

答： A、B两站间的距离为122km.

3.追及问题（同向问题）

4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．

【答案与解析】

解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得：

     解得：x=24

 答：卡车的速度为24千米/时．

【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．

4.航行问题（顺逆流问题）

5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．

【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．

【答案与解析】

解：设A、B两地间的距离为x千米．

    (1)当C地在A、B两地之间时，依题意得：

    ．

    解这个方程得：x＝20．

    (2)当C地在A地上游时，依题意得：

    ．

    解这个方程得：．

 答：A、B两地间的距离为20千米或千米．

【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．

5.环形问题

6．（2015春•海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？

【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400．

【答案与解析】

解：设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则：

240x﹣200x=400，

解得：x=10．

设两人背向而行，y分钟后相遇，则：

240y+200y=400，

解得：y=．

答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇．

【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．

举一反三：

【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

【答案】

解：设乙追上甲用了x分钟，则有：

        72x-65x＝3×90．

        ．

(m) ．

答：乙第一次追上甲时走了2777 m，此时乙在AD边上．

类型三、工程问题

7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?

【答案与解析】

解：设再过x小时可把水注满．由题意得：

．

解得：．

答：打开丙管后小时可把水放满．

【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．

举一反三：

【变式】（2015春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？

【答案】

解：设乙还要x小时完成，根据题意得：

，

解得：x=4．

答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成．

类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）

8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?

【答案与解析】

解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：

5x＝3(120-x) ．

解得x＝45．

    120-45＝75(人)．

答：应安排45人挖土，75人运土．

【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．

举一反三：

【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？

【答案】

解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：

 28x+20(100-x)=25×100．

    解得：x=62.5.

    当x=62.5时，100-x=37.5（千克）.

答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.