河南省信阳市商城县第二中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份河南省信阳市商城县第二中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省信阳市商城二中九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题，（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项填入括号内。
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx＝1﹣m2根的情况是（　　）
A．两个不相等的实数根 B．无实数根
C．两个相等的实数根 D．有一个实数根
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．35° C．32.5° D．25°
6．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
7．（3分）小明做两道数学单选题部有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝1；结合图象对于下列说法：（1）abc＜0；（2）2a+b＝1；（3）ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根；（4）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．其中正确的是（　　）

A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）
10．（3分）如图，正△ABC的边长为5，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A’BC’关于直线l对称，D为线段BC’上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A． B． C． D．10
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式 　 　．
12．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣），则一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象不经过第 　 　象限．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 　 　．
14．（3分）如图，以O为圆心，AB为直径的半圆O内有一直角三角形OBC，∠OBC＝30°，将直角三角形BOC绕点O旋转至△B′OC′，点C在OA上，AB＝4cm，则边BC扫过阴影部分面积为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为对角线AC上一点，且AE＝2，连接DE，点F为DE的中点，连接CF，则CF的长为 　 　．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0．
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
17．（9分）中招考试前，河南某校采用各种方式缓解学生压力，以求最佳状态迎接中考，于是对九年级部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集数据整理如下：

（1）本次调查共抽取了 　 　名九年级学生？
（2）请补全条形统计图．
（3）全校有3600人参加此次中考，请问用体育活动减压的学生大致有多少人？
18．（9分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．

20．（9分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 　 　个．

21．（10分）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共54需元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．
（1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？
（2）该店计划用4200元全部购进AB两种礼品，设购进A种x个，B种y个．求y关于x的函数关系式．
（3）该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？
22．（10分）在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答．
（2）以下是小明、小超的对话：小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了；小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，选接OC，可以证明△ACB与△OCD相似．李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题．

23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 　 　，连接BD，BB′与CE的数量关系是 　 　．
（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．


2021-2022学年河南省信阳市商城二中九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项填入括号内。
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx＝1﹣m2根的情况是（　　）
A．两个不相等的实数根 B．无实数根
C．两个相等的实数根 D．有一个实数根
【分析】根据方程的系数结合Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．65° B．35° C．32.5° D．25°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故选：D．
6．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到（﹣7）2﹣4k•（﹣7）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：B．
7．（3分）小明做两道数学单选题部有A、B、C、D四个选项，小明不会做，于是瞎猜这两道单选题，则都猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的情况，其中小明都猜对的情况有1种，
∴小明都猜对的概率为，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴，
故选：C．
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝1；结合图象对于下列说法：（1）abc＜0；（2）2a+b＝1；（3）ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根；（4）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．其中正确的是（　　）

A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；由图象可知抛物线与x轴有两个交点；然后由图象确定当x取何值时，y＜0．
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴a、b异号，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故②正确；
③由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根，故③正确；
④如图，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，故④错误；
故选：A．
10．（3分）如图，正△ABC的边长为5，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A’BC’关于直线l对称，D为线段BC’上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A． B． C． D．10
【分析】连接A'D，先根据轴对称性得出△A'BC'也是边长为5的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出CD＝A'D，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD+A'D取得最小值时，点D的位置，由此即可得出答案．
【解答】解：如图，连接A'D，

∵△ABC与△A'BC'关于直线l对称，
∴△A'BC'≌△ABC，
∴A'B＝AB＝5，∠A'BC'＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠A'BC'＝60°，
在△BCD和△BA'D中，
BC＝BA′＝5，∠CBD＝∠A′BD＝60°，BD＝BD，
∴△BCD≌△BA'D（SAS），
∴CD＝A'D，
∴AD+CD＝AD+A'D
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点A，D，A'共线时，AD+A'D取得最小值，最小值为AA'＝AB+A'B＝5+5＝10，
即AD+CD的最小值为10．
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个二次函数图象过原点且与x轴有两个交点的函数关系式 　y＝x2﹣x（答案不唯一）　．
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c图象过原点，则c＝0；二次函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．写出满足以上两个特征的二次函数解析式便可．
【解答】解：根据题意得，二次函数的解析式为：y＝x2﹣x（答案不唯一）．
故答案为：
12．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣），则一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象不经过第 　二　象限．
【分析】将（2，﹣）代入反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
【解答】解：将（2，﹣）代入y＝得﹣＝，
解得k＝3，
∴一次函数解析式为y＝3x﹣3，
∴直线经过第一、三、四象限，
故答案为：二．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 　y＝（x﹣4）2﹣2　．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣2），得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．
14．（3分）如图，以O为圆心，AB为直径的半圆O内有一直角三角形OBC，∠OBC＝30°，将直角三角形BOC绕点O旋转至△B′OC′，点C在OA上，AB＝4cm，则边BC扫过阴影部分面积为 　πcm2　．

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝4cm，
∴OB＝2cm，OC′＝1cm，
∴B′C′＝cm，
∴S扇形B′OB＝＝π，
S扇形C′OC＝＝π，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣π＝π（cm2）；
故答案为：πcm2．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为对角线AC上一点，且AE＝2，连接DE，点F为DE的中点，连接CF，则CF的长为 　　．

【分析】由勾股定理和相似三角形的性质分别求出EF，CE的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵AE＝2，
∴CE＝8＝DC，
∵点F是DE的中点，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
如图，过点E作EH⊥AD于H，

∴∠AHE＝90°＝∠ADC，
又∵∠DAC＝∠HAE，
∴△AHE∽△ADC，
∴，
∴，
∴HE＝，AH＝，
∴DH＝，
∴DE＝＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0．
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵（x+2）2＝3（x+2），
∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
则（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
17．（9分）中招考试前，河南某校采用各种方式缓解学生压力，以求最佳状态迎接中考，于是对九年级部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集数据整理如下：

（1）本次调查共抽取了 　50　名九年级学生？
（2）请补全条形统计图．
（3）全校有3600人参加此次中考，请问用体育活动减压的学生大致有多少人？
【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；
（3）利用总体估计个体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）一共抽查的学生：8÷16%＝50（名）．
故答案为：50．

（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%＝15（名），
补全统计图如图所示：


（3）3600×＝1080（人）．
答：估计用体育活动减压的学生大致有1080人．
18．（9分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合+＝k﹣2，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1，
∴k的取值范围为k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∵k2﹣4＝2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝，
经检验，k1＝﹣，k2＝均为原方程的解，k2＝不符合题意，舍去，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．
19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．

【分析】（1）当x＝1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；
（2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；
（3）由表格中的值可以判断函数值等于5的自变量的值，再利用二次函数增减性求出即可
【解答】解：（1）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），求出对称轴为x＝2；
∴顶点坐标为：（2，1），
∴设y＝a（x﹣2）2+1，
将（1，2）代入可得：a+1＝2，
解得：a＝1，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5．

（2）由表格中的值可以判断：
图象的对称点为：（1，2），（3，2），顶点坐标为：（2，1），
画出函数的图象如图：


（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，5），求出对称轴：x＝2；
∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（4，5），
∴y≤5时自变量x的取值范围：0≤x≤4．
20．（9分）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 　4　个．

【分析】（1）根据反比例函数的性质建立不等式，即可求出答案；
（2）先求出点D的坐标；
①利用待定系数法求解，即可求出答案；
②分三种情况，利用图象求解，即可判断出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；

（2）∵B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴D（3，5），
①如图，

∵点D是反比例函数y＝的图象上，
∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；

②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝OP时，如图，点P1和P2；
Ⅱ、当OD＝DP时，如图中，P3和点P4；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
21．（10分）初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共54需元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．
（1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？
（2）该店计划用4200元全部购进AB两种礼品，设购进A种x个，B种y个．求y关于x的函数关系式．
（3）该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？
【分析】（1）设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，可得：，即可解得A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；
（2）由14x+6y＝4200，得y＝﹣x+700；
（3）根据A种礼品不少于60个，有x≥60，而W＝（20﹣14）x+（9﹣6）（﹣x+700）＝﹣x+2100，由一次函数性质可得购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．
【解答】解：（1）设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；
（2）根据题意得：14x+6y＝4200，
∴y＝﹣x+700；
（3）∵A种礼品不少于60个，
∴x≥60，
根据题意得W＝（20﹣14）x+（9﹣6）（﹣x+700）＝﹣x+2100，
∵﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴x＝60时，W取最大值，最大值为﹣60+2100＝2040（元），
此时y＝﹣x+700＝﹣×60+700＝560，
答：购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．
22．（10分）在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答．
（2）以下是小明、小超的对话：小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了；小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，选接OC，可以证明△ACB与△OCD相似．李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题．

【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理可得出答案；
（2）连接OC，证明△OBC是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠COB＝60°，证出∠ACB＝∠OCD，由相似三角形的判定可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2；
（2）连接OC，

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵OD⊥AB，
∴∠DOC＝30°，
∴∠A＝∠DOC，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACB＝∠OCD，
∴△ABC∽△ODC．
23．（11分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 　等腰直角三角形　，连接BD，BB′与CE的数量关系是 　BB'＝CE　．
（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．

【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质得∠AB'B＝60°，再根据三角形内角和定理求出∠AB'D＝75°，从而得出∠DB'E＝45°，再证明△BDB'∽△CDE，即可解决问题；
（2）①设∠BAB'＝x，类似（1）表示出∠DB'E的度数，从而证明△DEB'是等腰直角三角形，再证明△BDB'∽△CDE，即可解决问题；
②分CD为平行四边形的对角线或为边两种情形，分别画出图形，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AB'，α＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠AB'B＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠DAB'＝30°，AD＝AB'，
∴∠DB'E＝75°，
∴∠DB'E＝45°，
∵DE⊥B'E，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
连接BD，则△BCD是等腰直角三角形，

∴，∠BDC＝∠B'DE＝45°，
∴∠BDB'＝∠CDE，
∴△BDB'∽△CDE，
∴，
∴BB'＝CE，
故答案为：△DEB'是等腰直角三角形，BB'＝CE；
（2）①两结论仍然成立，连接BD，

设∠BAB'＝x，则∠ABB'＝90°﹣x，∠B'AD＝x﹣90°，
∵AD＝AB'，
∴∠AB'D＝[180°﹣（x﹣90°）]＝135°﹣x，
∴∠BB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝（135°﹣x）﹣（90°﹣x）＝45°，
∵DE⊥B'E，
∴△DEB'是等腰直角三角形，
∴，∠BDC＝∠B'DE＝45°，
∴∠BDB'＝∠CDE，
∴△BDB'∽△CDE，
∴，
∴BB'＝CE；
②BE＝3B'E或BE＝B'E，
若CD为平行四边形的对角线，
点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点，连接BO交⊙A于点B'，

过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，
由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，
∴B'D＝B'E，
由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE，
∴＝＝，
若CD为平行四边形的一边，如图，

此时点E与点A重合，
∴BE＝B'E，
综上所述，BE＝3B'E或BE＝B'E，