湖北省黄冈市黄梅县晋梅中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县晋梅中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了已知点A，若二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省黄冈市黄梅县晋梅中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一.选择题（每题3分共27分）
1．若（a﹣3）x+4x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
2．已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3
3．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
4．已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
5．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
6．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
7．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（　　）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
8．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（　　）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
9．小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分共27分）
10．已知一个二次函数的图象顶点坐标为（2，3），过点（1，7），则这个二次函数的解析式为 　 　．（用一般式表示）
11．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为　 　．
12．抛物线y＝mx2﹣2x+1与x轴有且只有一个交点，则m的值是　 　．
13．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝　 　．

14．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，则y的取值范围是 　 　．
15．关于x的方程x2+（a+1）x+a2＝0的两根互为倒数，则a＝　 　．
16．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为558平方米，求则小道的宽为 　 　米．

17．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 　 　．

18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为　 　．

三.解答题（共7大题，66分）
19．解方程：
（1）3x2﹣10x+6＝0
（2）5x（x﹣1）＝2﹣2x．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．
21．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），点D在函数图象上，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B，D，求：
（1）一次函数和二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：

（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
24．某服装厂生产A品种服装，每件成本为73元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当0＜x≤200时，y与x的函数关系式为 　 　．
（2）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（0＜x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
（3）政府为服装厂制定优惠政策：当一次性批发服装件数满足0＜x≤200时，决定每件服装给与a元的补贴（0＜a＜13），若此条件下可获得的最大利润为2560元，请求出a的值，写出详细过程．

25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
一.选择题（每题3分共27分）
1．若（a﹣3）x+4x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
解：∵（a﹣3）x+4x+5＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，a2﹣7＝2，
解得，a＝﹣3，
故选：B．
2．已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3
【分析】根据根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值即可．
解：根据题意可得x1+x2＝﹣＝5，x1x2＝＝2，
∴x1+x2﹣x1•x2＝5﹣2＝3．
故选：D．
3．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
4．已知二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】把交点坐标（1，0），代入二次函数y＝x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x＝，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
解：把x＝1，y＝0代入y＝x2+bx﹣2得：
0＝1+b﹣2，
∴b＝1，
∴对称轴为x＝﹣＝﹣，
∴x＝＝﹣，
∴x2＝﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．
故选：C．
5．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
6．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
【分析】先根据a＝1＞0，抛物线开口向上，再根据对称性说明函数的递减情况，最后求出m的取值范围．
解：∵a＝1，
∴二次函数开口向上，
∵二次函数的对称轴是直线x＝m，
∵当x＜m时y随x的增大而减小，
当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1．
故选：C．
7．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（　　）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
【分析】设平均每次降低的百分率为x，则降低一次后的成本为100（1﹣x）元，降低两次后的成本为100（1﹣x）2元，而此时成本又是81元，根据这个等量关系列出方程．
解：设平均每次降低的百分率为x，
根据题意，得
100（1﹣x）2＝81
解得：x＝0.1，x＝1.9（舍去）．
故选：D．
8．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（　　）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
【分析】设降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得结果．
解：设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
9．小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图象易得a＞0，﹣＝，所以b＜0，2a+3b＝0，因此abc＞0，由此可以判定①是正确的，而④错误；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0②是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，而③是错误的，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的．
解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣＝，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①是正确的；
对称轴x＝﹣＝，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴②a﹣b+c＞0是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0，故③错误，⑤正确．
故选：C．
二、填空题（每题3分共27分）
10．已知一个二次函数的图象顶点坐标为（2，3），过点（1，7），则这个二次函数的解析式为 　y＝4x2﹣16x+19　．（用一般式表示）
【分析】设顶点式y＝a（x﹣2）2+3，再把（1，7）代入求得a＝4，从而得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可．
解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），
∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3，
把（1，7）代入得a×（1﹣2）2+3＝7，
解得a＝4，
所以二次函数解析式为y＝4（x﹣2）2+3，
即y＝4x2﹣16x+19．
故答案为：y＝4x2﹣16x+19．
11．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为　y＝2（x+2）2﹣2　．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
解：抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y＝2（x﹣1+3）2+2﹣4＝2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣2．
12．抛物线y＝mx2﹣2x+1与x轴有且只有一个交点，则m的值是　1　．
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，确定出m的值即可．
解：∵抛物线y＝mx2﹣2x+1与x轴有且只有一个交点，
∴△＝4﹣4m＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1
13．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝　﹣1　．

【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
解：由图可知，对称轴为x＝1，
根据二次函数的图象的对称性，
＝1，
解得，x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，则y的取值范围是 　﹣27≤y≤9　．
【分析】根据二次函数的性质和x的取值范围，可以得到相应的y的取值范围，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，函数图象开口向下，当x＝2时，取得最大值9，
当x＝8时y＝﹣27，
∴当﹣3≤x≤8时，y的取值范围是﹣27≤y≤9，
故答案为﹣27≤y≤9．
15．关于x的方程x2+（a+1）x+a2＝0的两根互为倒数，则a＝　1　．
【分析】先根据根与系数的关系得到a2＝1，解得a＝1或a＝﹣1，然后根据根的判别式确定满足条件的a的值．
解：根据题意得a2＝1，解得a＝1或a＝﹣1，
而a＝﹣1时，原方程变形为x2+1＝0，Δ＝1﹣4＜0，此方程没有实数解，
所以a＝1．
故答案为1．
16．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为558平方米，求则小道的宽为 　2　米．

【分析】设小道的宽为x米，由题意：使种植面积为558平方米，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设小道的宽为x米，则把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，
依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝558，
整理，得2x2﹣75x+142＝0，
解得：x＝2或x＝35.5（不合题意舍去）．
即小道的宽为2米，
故答案为：2．
17．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是 　18　．

【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出点A坐标及对称轴，通过S△ABC＝BC（yA﹣yB）求解．
解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣3）2+6+c，
∴顶点坐标A为（3，6+c），对称轴为直线x＝3，
∴BC＝6，
当x＝0时y＝c，
∴点B坐标为（0，c），
∴S△ABC＝BC（yA﹣yB）＝6（6+c﹣c）＝18．
故答案为：18．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为　（﹣1011，10112）　．

【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2021（﹣1011，10112），
故答案为（﹣1011，10112）．
三.解答题（共7大题，66分）
19．解方程：
（1）3x2﹣10x+6＝0
（2）5x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）直接利用求根公式计算结果即可；
（2）移项后提取公因式即可得到结果．
解：（1）3x2﹣10x+6＝0
∵a＝3 b＝﹣10 c＝6
∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×6＝100﹣72＝28＞0，
∴x＝＝
∴x＝或x＝
（2）5x（x﹣1）＝2﹣2x
移项得：5x（x﹣1）+2x﹣2＝0
整理得5x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0
提取公因式得：（x﹣1）（5x+2）＝0
解得：x＝1或x＝﹣．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．
【分析】（1）由△≥0，求出k的范围；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，代入等式求解即可．
解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4k2≥0，
∴；
（2）由根与系数的关系可知：
x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，
∴2x1x2﹣x1﹣x2＝2k2+2k+1＝1，
∴k＝0或k＝﹣1，
∵；
∴k＝0．
21．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）先求出点C的坐标，根据抛物线与x轴的两个交点，可求对称轴，找到点C关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC平行的直线AP2的解析式，联立抛物线解析式即可求解．
解：（1）根据题意得，
解得．
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝（﹣1+3）÷2＝1，
当x＝0时，y＝3，
则C（0，3），
点C关于对称轴的对应点P1（2，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
则3k+3＝0，
解得k＝﹣1．
则直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x+m，
则1+m＝0，
解得m＝﹣1．
则与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立抛物线解析式得，
解得，（舍去）．
P2（4，﹣5）．
综上所述，P1（2，3），P2（4，﹣5）．

22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），点D在函数图象上，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B，D，求：
（1）一次函数和二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
解：（1）二次函数y1＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
则，
解得 ．
故二次函数图象的解析式为y1＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣2，3），
设y2＝kx+b，
∵y2＝kx+b过B、D两点，
∴，
解得．
∴y2＝﹣x+1；
（2）函数的图象如图所示，
∴当y2＞y1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．

23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：

（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；（2）令y＝4，解出x与2作比较；（3）隧道内设双行道后，求出横坐标与2作比较．
解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣．
因此有：y＝﹣+6．

（2）令y＝4，则有4＝﹣+6，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，
|x1﹣x2|＝4＞2，
∴货车可以通过；

（3）由（2）可知|x1﹣x2|＝2＞2，
∴货车可以通过．
24．某服装厂生产A品种服装，每件成本为73元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当0＜x≤200时，y与x的函数关系式为 　y＝﹣x+100　．
（2）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（0＜x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
（3）政府为服装厂制定优惠政策：当一次性批发服装件数满足0＜x≤200时，决定每件服装给与a元的补贴（0＜a＜13），若此条件下可获得的最大利润为2560元，请求出a的值，写出详细过程．

【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据总利润＝单件利润×销量列出函数解析式，再利用函数的性质求最值；
（3）根据总利润＝单件利润×销量+政府补贴，列出函数解析式，再利用函数的性质求最值．
解：（1）当0＜x≤200时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
根据题意得出：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+100，
故答案为：y＝﹣x+100；
（2）分两种情况：
①当0＜x≤200时，w＝（﹣x+100﹣73）x＝﹣x2+27x＝﹣（x﹣135）2+1822.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝130或140时，w有最大值是：﹣（130﹣135）2+1822.5＝1820；
②当200＜x≤400时，w＝（80﹣73）x＝7x，
当x＝400时，w有最大值是：7×400＝2800，
∴x为400时，w最大，最大值是2800元；
（3）当0＜x≤200时，w＝（﹣x+100﹣73）x+ax＝﹣x2+（27+a）x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝135+5a，
∵0＜a＜13，
∴135＜135+5a＜200，
∴w的最大值为＝2560，
整理得：（27+a）2＝1024，
解得：a＝5或a＝﹣59（舍去），
∴a＝5．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先由抛物线的对称轴是直线x＝1，求得b＝﹣2a，再将将A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣2ax+c，即可求函数的解析式；
（2）过点F作FG∥y轴交BC于点G，设F（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），再由S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝﹣（t﹣2）2+16，当t＝2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，此时F（2，4）；
（3）设P（m，﹣m+4），Q（t，﹣m2+m+4），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时，此时P（﹣1，5）；②当DP为平行四边形的对角线时，此时P（3，1）；③当DQ为平行四边形的对角线时，此时P（2+，2﹣）或（2﹣，2+）；
（4）设P（1，n），分三种情况讨论：①当AP＝AC时，20＝9+n2，此时P（1，）或（1，﹣）；②当AP＝PC时，9+n2＝1+（4﹣n）2，此时P（1，1）；③当AC＝PC时，20＝1+（4﹣n）2，此时P（1，4+）或（1，4﹣）．
解：（1）∵抛物线的对称轴x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
将A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣2ax+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）存在点F使四边形ABFC的面积最大，理由如下：
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
过点F作FG∥y轴交BC于点G，
设F（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴PG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，
∴S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝6×4+4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t+12＝﹣（t﹣2）2+16，
∴当t＝2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，
此时F（2，4）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴D（1，），E（1，3），
设P（m，﹣m+4），Q（t，﹣m2+m+4），
①当DE为平行四边形的对角线时，
，
解得（舍）或，
∴P（﹣1，5）；
②当DP为平行四边形的对角线时，
，
解得（舍）或，
∴P（3，1）；
③当DQ为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
∴P（2+，2﹣）或（2﹣，2+）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，5）或（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）；
（4）存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，n），
∴AP2＝9+n2，AC2＝20，PC2＝1+（4﹣n）2，
①当AP＝AC时，20＝9+n2，
解得n＝±，
∴P（1，）或（1，﹣）；
②当AP＝PC时，9+n2＝1+（4﹣n）2，
解得n＝1，
∴P（1，1）；
③当AC＝PC时，20＝1+（4﹣n）2，
解得n＝4+或n＝4﹣，
∴P（1，4+）或（1，4﹣）；
综上所述：P点坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，1）或（1，4+）或（1，4﹣）．