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江苏省徐州市丰县欢口初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份江苏省徐州市丰县欢口初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省徐州市丰县欢口初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2＝5x﹣2
C． D．x（x+1）＝（x+1）（x﹣1）
2．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A．x2﹣6x+8＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
4．（3分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为﹣1，3，则b、c分别为（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，3 C．﹣2，﹣3 D．1，﹣3
5．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
7．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
8．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
9．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
10．（3分）小明家2016年年收入20万元，通过合理理财，2018年年收入达到25万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．20x2＝25 B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25 D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（4分）方程（x+1）2＝9的根是 ．
12．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
13．（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为 ．
14．（4分）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
15．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是 ．
16．（4分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是 ．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 ，t的最大值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
19．（20分）（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）
（3）
（4）2y2+4y＝y+2．
四、解答题（本大题共4小题，共38.0分第20题8分其余三题都10分）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
2021-2022学年江苏省徐州市丰县欢口初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2＝5x﹣2
C． D．x（x+1）＝（x+1）（x﹣1）
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程是分式方程，故本选项错误；
D、由原方程整理，得x＝1，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A．x2﹣6x+8＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
【分析】首先设此一元二次方程为x2+px+q＝0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p＝﹣（2﹣3）＝1，q＝（﹣3）×2＝﹣6，继而求得答案．
【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，
∴p＝﹣（2﹣3）＝1，q＝（﹣3）×2＝﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6＝0．
故选：D．
4．（3分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为﹣1，3，则b、c分别为（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，3 C．﹣2，﹣3 D．1，﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：﹣1+3＝﹣b，﹣1×3＝c
b＝﹣2，c＝﹣3
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程求出a2﹣2a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
整理得，a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a﹣1＝2（a2﹣2a）﹣1
＝2×1﹣1
＝1．
故选：A．
7．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
【分析】先证明△OBC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再解直角三角形得AC．
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．
故选：B．
8．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当k≠0时，Δ＝1+4k×＝1+3k≥0，
∴k≥，
∴k≥且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为﹣x＝0，满足题意，
故选：C．
10．（3分）小明家2016年年收入20万元，通过合理理财，2018年年收入达到25万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．20x2＝25 B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25 D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
【分析】根据题意可得等量关系：2016年年收入20万元×（1+增长率）2＝2018年年收入达到25万元，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设这两年年收入的平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝25，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（4分）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
12．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＝0，
解得k＝．
故答案为．
13．（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，再把+通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，
所以+＝＝＝．
故答案为．
14．（4分）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 2019 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2020＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣2020＝0，
∴m2+m＝2020，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019．
故答案为：2019．
15．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是 5 ．
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴外接圆半径为5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是 ．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．
【解答】解：连接OA，
∵C是AB的中点，
∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 35° ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 4 ，t的最大值为 6 ．
【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围．
【解答】解：连接AP，
由题意，得：AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝＝AB＝t，
t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大，
∴P在AD的延长线上，
∵A（0，1），D（4，4），
∴AD＝，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4，
∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，
故答案为：4；6．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
19．（20分）（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）
（3）
（4）2y2+4y＝y+2．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1），
3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝；
（3），
∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×2×（﹣3）＝27＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（4）2y2+4y＝y+2，
2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
∴y+2＝0或2y﹣1＝0，
∴y1＝﹣2，y2＝．
四、解答题（本大题共4小题，共38.0分第20题8分其余三题都10分）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，则2m+m2+m＝4，然后解关于m的方程，再利用m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，
∵x1+x2+x1•x2＝4，
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；
（2）证明△ADC≌△EBC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，
∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，
∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
2021-2022学年江苏省徐州市丰县欢口初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2＝5x﹣2
C． D．x（x+1）＝（x+1）（x﹣1）
2．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A．x2﹣6x+8＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
4．（3分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为﹣1，3，则b、c分别为（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，3 C．﹣2，﹣3 D．1，﹣3
5．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
7．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
8．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
9．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
10．（3分）小明家2016年年收入20万元，通过合理理财，2018年年收入达到25万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．20x2＝25 B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25 D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（4分）方程（x+1）2＝9的根是 ．
12．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
13．（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为 ．
14．（4分）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
15．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是 ．
16．（4分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是 ．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 ，t的最大值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
19．（20分）（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）
（3）
（4）2y2+4y＝y+2．
四、解答题（本大题共4小题，共38.0分第20题8分其余三题都10分）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
2021-2022学年江苏省徐州市丰县欢口初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2＝5x﹣2
C． D．x（x+1）＝（x+1）（x﹣1）
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程是分式方程，故本选项错误；
D、由原方程整理，得x＝1，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A．x2﹣6x+8＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
【分析】首先设此一元二次方程为x2+px+q＝0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p＝﹣（2﹣3）＝1，q＝（﹣3）×2＝﹣6，继而求得答案．
【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，
∴p＝﹣（2﹣3）＝1，q＝（﹣3）×2＝﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6＝0．
故选：D．
4．（3分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为﹣1，3，则b、c分别为（ ）
A．2，﹣3 B．﹣2，3 C．﹣2，﹣3 D．1，﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：﹣1+3＝﹣b，﹣1×3＝c
b＝﹣2，c＝﹣3
故选：C．
5．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
6．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程求出a2﹣2a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
整理得，a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a﹣1＝2（a2﹣2a）﹣1
＝2×1﹣1
＝1．
故选：A．
7．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
【分析】先证明△OBC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再解直角三角形得AC．
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．
故选：B．
8．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当k≠0时，Δ＝1+4k×＝1+3k≥0，
∴k≥，
∴k≥且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为﹣x＝0，满足题意，
故选：C．
10．（3分）小明家2016年年收入20万元，通过合理理财，2018年年收入达到25万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A．20x2＝25 B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25 D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
【分析】根据题意可得等量关系：2016年年收入20万元×（1+增长率）2＝2018年年收入达到25万元，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设这两年年收入的平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝25，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（4分）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
12．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＝0，
解得k＝．
故答案为．
13．（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，再把+通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，
所以+＝＝＝．
故答案为．
14．（4分）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 2019 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2020＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣2020＝0，
∴m2+m＝2020，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019．
故答案为：2019．
15．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是 5 ．
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴外接圆半径为5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是 ．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．
【解答】解：连接OA，
∵C是AB的中点，
∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 35° ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 4 ，t的最大值为 6 ．
【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围．
【解答】解：连接AP，
由题意，得：AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝＝AB＝t，
t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大，
∴P在AD的延长线上，
∵A（0，1），D（4，4），
∴AD＝，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4，
∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，
故答案为：4；6．
三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）
19．（20分）（1）x2+3x﹣1＝0；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）
（3）
（4）2y2+4y＝y+2．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1），
3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝；
（3），
∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×2×（﹣3）＝27＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（4）2y2+4y＝y+2，
2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
∴y+2＝0或2y﹣1＝0，
∴y1＝﹣2，y2＝．
四、解答题（本大题共4小题，共38.0分第20题8分其余三题都10分）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，则2m+m2+m＝4，然后解关于m的方程，再利用m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，
∵x1+x2+x1•x2＝4，
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；
（2）证明△ADC≌△EBC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，
∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
22．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，
∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
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