内蒙古通辽市科尔沁区第七中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份内蒙古通辽市科尔沁区第七中学2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，六月份共生产3000台，设五，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁七中九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则方程的另一个解是（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣2
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝（　　）

A．35° B．70° C．110° D．140°
4．（3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为（　　）

A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
5．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）
6．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（　　）

A．70° B．75° C．60° D．65°
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，交y轴于（0，2），其部分图象如图所示，下列说法正确的有几个（　　）
（1）4ac﹣b2＜0； （2）x＜﹣1或x＞3时，y＞0；
（3）4a+2b+c＜0； （4）ax2+bx+c﹣1＝0没有实数根．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）心悦厂四月份生产200台，计划五、六月份共生产3000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．200（1+x）2＝3000
B．200（1﹣x）＝3000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝3000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝3000
9．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）⊙O的直径长为10，OA为8，则点A与⊙O的位置关系为 　 　．
12．（3分）如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠BAC＝27°，则∠B等于 　 　．

13．（3分）点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，则a+b＝　 　．
14．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）直接具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s．

15．（3分）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 　 　支篮球队参赛．
16．（3分）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则弦AB和CD之间的距离是　 　cm．
17．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为　 　．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　 　．

三、解答题（8小题，共66分）
19．（8分）解方程
（1）5x（x﹣3）＝2（3﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
20．（8分）如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）如果水面上升1m，则水面宽度减少多少米？

21．（8分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC＝58°
（1）求∠ADB的度数；
（2）若OE＝3，OA＝5，求BC的长．

22．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），其中A（1，1）B（4，4）C（5，1）
（1）将△ABC沿y轴翻折，作出翻折后得到的△A1B1C1，则点A1坐标为 　 　.若在y轴上有一点P，使PA+PB最小，则P的坐标是 　 　．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，作出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2，则点B2的坐标为 　 　，AB旋转至A2B2所扫过的面积是 　 　（保留π）．

23．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝2，求BC的值．

24．（8分）某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲＝0.2x，乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）之间的函数关系如图所示．
（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？

25．（8分）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APC＝30°，求证：△ABP是等边三角形；
（2）填空．①当DP＝　 　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝　 　cm时，四边形AOBP是正方形．

26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C′，且OA＝OC，连接AC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年内蒙古通辽市科尔沁七中九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2．（3分）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则方程的另一个解是（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得x1x2＝﹣3，然后将x＝3代入求解．
【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得x1x2＝﹣3，
∵x＝3为方程的解，
∴3x＝﹣3，
解得x＝﹣1．
∴方程的另一个解是x＝﹣1．
故选：B．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝（　　）

A．35° B．70° C．110° D．140°
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A＝∠DCE＝70°，由圆周角定理知，∠BOD＝2∠A＝140°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE＝70°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°．
故选：D．
4．（3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为（　　）

A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM＝＝＝60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故选：A．

5．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；
再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．
故选：D．
6．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（　　）

A．70° B．75° C．60° D．65°
【分析】由旋转的性质知∠AOD＝30°、OA＝OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
【解答】解：由题意得∠AOD＝30°、OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝＝75°，
故选：B．
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，交y轴于（0，2），其部分图象如图所示，下列说法正确的有几个（　　）
（1）4ac﹣b2＜0； （2）x＜﹣1或x＞3时，y＞0；
（3）4a+2b+c＜0； （4）ax2+bx+c﹣1＝0没有实数根．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【解答】解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，正确；
（2）∵对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），
∴x＜﹣1或x＞3时，y＜0；故（2）不正确，；
（3）∵当x＝2时y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故（3）不正确，
（4）由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根，故（4）不正确．
故选：A．
8．（3分）心悦厂四月份生产200台，计划五、六月份共生产3000台，设五、六月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．200（1+x）2＝3000
B．200（1﹣x）＝3000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝3000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝3000
【分析】由于四月份生产200台，可得五月份生产200（1+x）台，六月份生产200（1+x）2台，由此可以列出关于x的方程．
【解答】解：五月份的生产量为200×（1+x），六月份的生产量为200×（1+x）（1+x），
那么200（1+x）+200（1+x）2＝3000．
故选：C．
9．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
10．（3分）如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先求出第一个的半径，再求第二个，从中找出规律利用规律计算．
【解答】解：∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC＝OA＝R，第二个的半径是R，
同理，第三个的半径是（）2R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是．
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是．
故选：A．

二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）⊙O的直径长为10，OA为8，则点A与⊙O的位置关系为 　点A在⊙O外　．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为8，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为：点A在⊙O外．
12．（3分）如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠BAC＝27°，则∠B等于 　36°　．

【分析】连接切点与圆心，则OA⊥AB，可求∠OAC的度数；根据等腰三角形性质知∠OCA＝∠OAC，运用三角形的外角等于不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：如图，连接OA．
则OA⊥AB．
∵∠BAC＝27°，

∴∠OAC＝90°﹣27°＝63°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝63°．
∴∠B＝63°﹣27°＝36°．
故答案为 36°．
13．（3分）点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，则a+b＝　﹣1　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a+b＝﹣3＝2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）直接具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　6　s．

【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，
解得t＝0或t＝6，
小球从飞出到落地所用的时间为6﹣0＝6s．
15．（3分）要组织一场篮球赛，参赛的每两个队之间赛一场，每天进行4场，赛程安排9天，组织者共邀请 　9　支篮球队参赛．
【分析】设组织者共邀请x支篮球队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设组织者共邀请x支篮球队参赛，
依题意得：x（x﹣1）＝4×9，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴组织者共邀请9支篮球队参赛．
故答案为：9．
16．（3分）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则弦AB和CD之间的距离是　7或1　cm．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE﹣OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．
【解答】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝AB＝3cm，CF＝DF＝CD＝4cm，
在Rt△COF中，OC＝5cm，CF＝4cm，
根据勾股定理得：OF＝3cm，
在Rt△AOE中，OA＝5cm，AE＝3cm，
根据勾股定理得：OE＝4cm，
则EF＝OE﹣OF＝4cm﹣3cm＝1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4cm+3cm＝7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．

17．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为　3　．
【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG＝60°，
∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝6×＝3（cm）；
故答案为：3．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　1　．

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（8分）解方程
（1）5x（x﹣3）＝2（3﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】（1）先移项得到5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【解答】解：（1）5x（x﹣3）＝2（3﹣x），
5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（5x+2）＝0，
x﹣3＝0或5x+2＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣；

（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣2x＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
20．（8分）如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）如果水面上升1m，则水面宽度减少多少米？

【分析】（1）从图象看，抛物线的顶点为（3，3），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将点O的坐标代入上式，即可求解；
（2）当水面上升1m时，令y＝1，则y＝﹣x2+2x＝1，解得：x＝3，进而求解．
【解答】解：（1）从图象看，抛物线的顶点为（3，3），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣3）2+3＝0，
解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x；

（2）当水面上升1m时，令y＝1，则y＝﹣x2+2x＝1，解得：x＝3，
故此时水面宽为3+﹣（3﹣）＝2（米），
则水面宽度减少6﹣2米．
21．（8分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC＝58°
（1）求∠ADB的度数；
（2）若OE＝3，OA＝5，求BC的长．

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出＝，根据圆周角定理求出∠BOA＝∠AOC＝60°，再求出答案即可；
（2）利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：（1）连接OB，

∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴＝，
∵∠AOC＝58°，
∴∠BOA＝∠AOC＝58°，
∴∠ADB＝∠BOA＝29°；

（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
22．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），其中A（1，1）B（4，4）C（5，1）
（1）将△ABC沿y轴翻折，作出翻折后得到的△A1B1C1，则点A1坐标为 　（﹣1，1）　.若在y轴上有一点P，使PA+PB最小，则P的坐标是 　（0，）　．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，作出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2，则点B2的坐标为 　（4，﹣2）　，AB旋转至A2B2所扫过的面积是 　　（保留π）．

【分析】（1）根据翻折变换的性质找出对应点即可得出图形以及点A1的坐标，连接AB2，与y轴交于点P，则点P即为所求；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可得出图形，以及点B2的坐标，根据扇形的面积计算公式即可得出AB旋转至A2B2所扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，1），
设直线AB1的解析式为y＝kx+b，
将点B1（﹣4，4），A（1，1）代入解析式得：
，
∴，
∴y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴P（0，），
故答案为：（﹣1，1），（0，）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣2），
AB旋转至A2B2所扫过的面积＝＝，
故答案为：（4，﹣2），．
23．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝2，求BC的值．

【分析】（1）连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO＝90°即可；
（2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长．
【解答】（1）证明：连接AP，OP，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵OP＝OB，∠OPB＝∠B，
∴∠C＝∠OPB，
∴OP∥AD；
又∵PD⊥AC于D，
∴∠ADP＝90°，
∴∠DPO＝90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点P，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠APB＝90°；
∵AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
∴BP＝，
∴BC＝2．

24．（8分）某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲＝0.2x，乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）之间的函数关系如图所示．
（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a、b的值即可求出函数关系式的解．
（2）已知w＝y甲+y乙＝0.3（10﹣t）+（﹣0.1t2+1.5t），用配方法化简函数关系式即可求出w的最大值．
【解答】解：（1）设y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式为：y乙＝ax2+bx，由题意，
得：解得
∴y乙＝﹣0.1x2+1.4x．

（2）W＝y甲+y乙＝0.2（10﹣t）+（﹣0.1t2+1.4t）
∴W＝﹣0.1t2+1.2t+2．
W＝﹣0.1（t﹣6）2+5.6．∴t＝6时，W有最大值为5.6．
∴10﹣6＝4（吨）．
答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是5.6万元．
25．（8分）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APC＝30°，求证：△ABP是等边三角形；
（2）填空．①当DP＝　1　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝　（﹣1）　cm时，四边形AOBP是正方形．

【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），可得∠APO＝∠BPO，再由已知可求∠APB＝60°，结合AP＝BP即可证明△APB是等边三角形；
（2）①设AB与OP交点为G，证明△AOG∽△POA，可求PO＝2cm，则PD＝PO﹣OD＝1cm；
②由正方形的性质可得AO＝AP＝1cm，再由勾股定理可求OP＝cm，即可求DP＝OP﹣OD＝（﹣1）cm．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠APO＝∠BPO，
∵∠APC＝30°，
∴∠OPB＝30°，
∴∠APB＝60°，
又∵AP＝BP，
∴△ABP是等边三角形；
（2）解：①设AB与OP交点为G，
∵四边形AOBD是菱形，
∴AG⊥OD，且OG＝GD，
∵PA是圆O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAG+∠GAP＝90°，
∵∠OAG+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝∠GAP，
∴△AOG∽△POA，
∴＝，
∵CD＝2cm，CD是⊙O的直径，
∴OD＝OA＝1cm，OG＝cm，
∴PO＝2cm，
∴PD＝PO﹣OD＝1cm，
故答案为：1；
②∵四边形AOBP是正方形，
∴AO＝AP＝1cm，
∴OP＝cm，
∵OD＝OA＝1cm，
∴DP＝OP﹣OD＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．



26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C′，且OA＝OC，连接AC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由函数的表达式知，c＝﹣3，故OC＝3＝OA，则点A（﹣3，0），进而求解；
（2）△ACP面积＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x2+3x），即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解．
【解答】解：（1）由函数的表达式知，c＝﹣3，故OC＝3＝OA，则点A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）对于y＝x2+2x﹣3，令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，故点B（1，0），函数的对称轴为直线x＝﹣1，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作PH∥y轴交AC于点H，

设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3）
则△ACP面积＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x2+3x），
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当x＝﹣时，△ACP面积的最大值为，
此时点P（﹣，﹣）；

（3）对于y＝x2+2x﹣3，函数的对称轴为x＝﹣1，
令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
故点C（﹣3，0），
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：（1﹣3）＝（m﹣1）③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．