北京市大兴区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市大兴区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共45页。试卷主要包含了计算，已知等内容，欢迎下载使用。

北京市大兴区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京大兴·九年级期末）计算：．
2．（2022·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
3．（2022·北京大兴·九年级期末）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，下表列举出了所有可能出现的结果．
第2枚
第1枚
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）

（1）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性______（填“相等”或者“不相等”）；
（2）计算下列事件的概率：
①两枚骰子的点数相同；
②至少有一枚骰子的点数为3.
4．（2022·北京大兴·九年级期末）下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．
作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；
②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；
④作射线OC．
则OC为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知______．
由作图步骤③可知______．
∵，
∴．
∴（________）（填推理的依据）．
5．（2022·北京大兴·九年级期末）如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
6．（2022·北京大兴·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为正整数，求方程的根．
7．（2022·北京大兴·九年级期末）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
8．（2022·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中 ，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，B．

（1）求一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
9．（2022·北京大兴·九年级期末）已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是的切线；
（2）若PC是的切线，，求PC的长．
10．（2022·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（0，），（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象记为G，当时，图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
11．（2022·北京大兴·九年级期末）如图，在等腰中，，点D在线段BC的延长线上，连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．
（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段BD 与CE的数量关系，并证明；
（3）若F为CE中点，，则CE的长为______．
12．（2022·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点Р和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点Р为的“图象关联点”．

（1）已知，，，，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是______；
（2）已知的“图象关联点”P在第一象限，若，判断OP与的位置关系，并证明；
（3）已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围．
13．（2021·北京大兴·九年级期末）计算：．
14．（2021·北京大兴·九年级期末）已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
15．（2021·北京大兴·九年级期末）下面是小青设计的作一个角的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：，使得．

作法：
①分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别交于，两点；
②以点为圆心，的长为半径作⊙C；
③在优弧上任意取一点（点不与点，重合），连接，．则就是所求作的角．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，
是等边三角形．
．
是优弧上一点，
（ ）（填写推理依据）．
．
16．（2021·北京大兴·九年级期末）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点，测得树的顶端的仰角为，在，间选择一点（，，三点在同一直线上），测得树的顶端的仰角为，间距离为，求这棵树的高度（结果保留根号）．

17．（2021·北京大兴·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求，的值；
（2）点为图象上一点，过点作轴的平行线交直线于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标．
18．（2021·北京大兴·九年级期末）如图，在矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与，分别交于点，，且．

（1）求证：直线与⊙O相切；
（2）若，，求⊙O的半径．
19．（2021·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
（1）用含有的代数式表示；
（2）求抛物线顶点的坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作轴的平行线交抛物线于，两点．记抛物线在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，直接写出区域内整点的个数；
②若区域内恰有个整点，结合函数图象，求的取值范围．
20．（2021·北京大兴·九年级期末）在中，，，是射线上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）如图，当点在线段上时，连接，若，则线段，的数量关系是 ；
（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图形．
①探究线段，的数量关系，并证明；
②直接写出线段，，之间的数量关系．
21．（2021·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知线段和点，给出如下定义：若且点不在线段上，则称点是线段的等腰顶点．特别地，当时，则称点是线段的非锐角等腰顶点．

（1）已知点，．
①在点，，，中，是线段的等腰顶点的是 ；
②若点在直线上，且点是线段的非锐角等腰顶点，求的取值范围；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点．⊙P的圆心为，半径为，若⊙P上存在线段的等腰顶点，请直接写出的取值范围．
22．（2020·北京大兴·九年级期末）计算：—．
23．（2020·北京大兴·九年级期末）抛物线过点（0，-5）和（2，1）.
（1）求b,c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
24．（2020·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为，求的值．
25．（2020·北京大兴·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．求证：∠ACO=∠BCD．

26．（2020·北京大兴·九年级期末）北京市第十五届人大常委会第十六次会议表决通过《关于修改<北京市生活垃圾管理条例>的决定》，规定将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾四大基本品类，修改后的条例将于2020年5月1日实施 .某小区决定在2020年1月到3月期间在小区内设置四种垃圾分类厢：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾，分别记为A、B、C、D，进行垃圾分类试投放，以增强居民垃圾分类意识.
（1）小明家按要求将自家的生活垃圾分成了四类，小明从分好类的垃圾中随机拿了一袋，并随机投入一个垃圾箱中，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区四类垃圾箱中共1 000千克生活垃圾，数据统计如下（单位：千克）：

A
B
C
D
厨余垃圾
400
100
40
60
可回收物
25
140
20
15
有害垃圾
5
20
60
15
其它垃圾
25
15
20
40

求“厨余垃圾”投放正确的概率.
27．（2020·北京大兴·九年级期末）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？

28．（2020·北京大兴·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，，求BF的长．
29．（2020·北京大兴·九年级期末）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB=9.35cm，设A，D两点间的距离为cm，O,D两点间的距离为cm，C，D两点间的距离为cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数,随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了,与的几组对应值：
/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.10
8.00
9.35
/cm
4.93
3.99

2.28
1.70
1.59
2.04
2.88
3.67
4.93
/cm
0.00
0.94
1.83
2.65
3.23
3.34
2.89
2.05
1.26
0.00

（2）①在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（,）, （,）,并画出（1）中所确定的函数,的图象；

②观察函数的图象，可得 cm(结果保留一位小数)；
（3）结合函数图象，解决问题：当OD=CD时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）．
30．（2020·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为A，B（点A 在点B的左侧）.
（1）求点A，B的坐标;
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①直接写出线段AB上整点的个数；
②将抛物线沿翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在轴上方的部分与线段所围成的区域内（包括边界）整点的个数.
31．（2020·北京大兴·九年级期末）函数的图象的对称轴为直线.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象．
①直接写出函数图象的表达式；
②设直线与轴交于点A，与y轴交于点B,当线段AB与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
32．（2020·北京大兴·九年级期末）已知：如图，B,C,D三点在 上，，PA是钝角△ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.

（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是 ；
（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.
33．（2020·北京大兴·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知P（,）,R（,）两点，且，，若过点P作轴的平行线，过点R作轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称△PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作轴的平行线，过点P作轴的平行线，两平行线交于一点，连接PR，则称△RP为点R，P，的“坐标轴三角形”.右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图.

（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ；
（2）已知点D（2，1），点E（e，4），若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.
（3）若的半径为，点M（，4），若在上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求的取值范围.

参考答案：
1．
【分析】根据，合并计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了立方根即一个数的立方等于a，称这个数是a的立方根，零指数幂，绝对值，二次根式的乘法，熟练掌握零指数幂，二次根式的乘法法则是解题的关键．
2．（1）；（2）直线
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；    
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
3．（1）相等；（2）①；②
【分析】（1）根据两枚骰子质地均匀，可知同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等；
（2）①先根据表格得到两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，然后利用概率公式求解即可；
②先根据表格得到至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵两枚骰子质地均匀，
∴同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等；
故答案为：相等；
（2）①由表格可知两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，
∴
②由表格可知至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，
∴．
【点睛】本题主要考查了列表法求解概率，熟知列表法求解概率是解题的关键．
4．OE； CE；全等三角形的对应角相等
【分析】根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知___OE___．
由作图步骤③可知__CE___．
∵，
∴．
∴（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE； CE；全等三角形的对应角相等
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
5．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；
（2）根据垂径定理，得CE=，，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B；
∵，
∴∠B＝∠D；
∴∠BCO＝∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD，
∵CD＝，
∴CE＝，
在Rt△OCE中，，
∵OE＝1，
∴，
∴；
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．
6．（1）a＜；（2）
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴＞0，
解得a＜，
∴的取值范围为a＜．
（2）∵a＜，且a为正整数，
∴，代入，
此时，方程为．
∴解得方程的根为
【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
7．（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【详解】（1）y=w（x﹣20）
=（﹣2x+80）（x﹣20）
=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．
8．（1）；（2）≤n≤
【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，代入一次函数的解析式，求出k，b的值即可；
（2）分别画出函数图象，根据图象判断n的取值即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，
令x=0，则y=-1
∴A（0，－1）.
∵抛物线的对称轴为：
∴B（2，0）.
∵+b过A（0，－1），B（2，0），
∴
∴
∴一次函数的表达式为.
（2）如图，

根据题意知，直线与直线的交点坐标为（-3，）
此时，
当时，
∴
从图象可以看出，当时，且≤n≤，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值
【点睛】本题考查了函数图象的平移，一次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出PC的长．
【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.

∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22

∴．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
10．（1）；（2））≤n＜3或n＝4
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数的平移规律可写出平移后的二次函数解析式，再结合图象即可得出结论，注意避免漏答案．
【详解】解：（1）∵该二次函数的图象经过点(0，-3),( 3，0)，
∴ ，
解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）将该二次函数向上平移n(n>0)个单位后得到的二次函数解析式为G：，
当抛物线G经过点时，即，
解得：，
∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴只有一个公共点；
当抛物线G经过点时，即，
解得：，
∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴刚刚有两个公共点．
∴当时，图象G与x轴只有一个公共点．
当抛物线G经过点时，即，
解得：，
∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴有一个公共点．

综上可知，当≤n＜3或n ＝ 4时满足条件．
【点睛】本题考查利用待定系数法为求二次函数解析式，二次函数的平移．掌握二次函数的平移规律以及利用数形结合的思想是解答本题的关键．
11．（1）见解析；（2），见解析；（3）4
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据题意易得，，，即可推出．即可利用“SAS”证明，得出结论．
（3）由结合题意可推出，，即证明△ACF是等腰直角三角形，从而得出，再由勾股定理可求出CF的长，最后根据点F为CE中点，即可求出CE的长．
【详解】解：（1）依题意补全图形如下：
    
（2）用等式表示线段BD与CE的数量关系是：，
证明: 根据题意可知△ABC是等腰直角三角形，
∴．
∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴，，
∵，
∴．    
∴，即，
∴在和中，，
∴，
∴．
（3）∵，△ABC是等腰直角三角形，
∴，，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴，
∴在中，．
∵点F为CE中点，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12．（1）F，H；（2）相切，见解析；（3）－＜a＜－
【分析】（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；
（2）连接PM，过点M作MN⊥OP于N，证明即可；
（3）求出点Р纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点且顶点为P，
则顶点P的横坐标为，
∵在点E，F，G，H中，，横坐标为，
∴在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是F，H；
故答案为：F，H；
（2）OP与⊙M的位置关系是：相切.  

∵AB为⊙M的直径，
∴为的中点.
∵A（1，0），  B（4，0），
.
∴.
连接PM.
∵P为⊙M的“图象关联点”，
∴点P为抛物线的顶点.
∴ 点P在抛物线的对称轴上.
∴PM是AB的垂直平分线.
∴PM⊥AB.
过点M作MN⊥OP于N.

∵OP＝PM
∴
∴OP与⊙M相切
（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知⊙M的半径为1.5，
已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，
顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
∴a的取值范围－＜a＜－．

【点睛】本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．
13．
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算各部分，即可求解．
【详解】解：原式


【点睛】本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．（1）；（2）,
【分析】（1）利用待定系数法，把点，代入，求出b、c的值，即可求出解析式；
（2）由题意，直接令y=0，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：（1）抛物线经过点，，
．
解得：．
．
（2）令，
．
解得：，．
抛物线与轴的交点坐标是,．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系数法进行求解析式．
15．（1）见解析；（2）60；同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据等边三角形的性质和圆周角定理即可求解．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：连接，．

，
是等边三角形．
．
是优弧上一点，
（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
．
故答案为：，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【点睛】本题考查尺规作图、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，理解题意是解题的关键．
16．米.
【分析】构造直角三角形，求得AC的长即可.
【详解】作，垂足为，
在中，，
，，
．
，
．
．
是的外角，
，，
．
在中，，
．
．
在中，，
．
答：这棵树的高度是米．

【点睛】本题考查了仰角视角下的解直角三角形，构造新直角三角形并灵活选择三角函数解直角三角形是解题的关键.
17．（1），；（2）或
【分析】（1）将点代入和即可求解；
（2）分情况讨论：当点在点下方时、当点在点上方时，画出示意图，过点作轴，交直线于点，易得，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：（1）将点代入中得．
将点代入得．
（2）①当点在点下方时，
过点作轴，交直线于点，
平行于轴，



点，
点纵坐标为．
，
．
点坐标为．

②当点在点上方时，
过点作轴，交直线于点．

平行于轴，
．


点，
点纵坐标为．
代入得，
点坐标为．
点坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，做出合适的辅助线是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）如连接OF，由已知条件易证∠OCF=∠OFC，∠D=∠B=∠DCB由此可得∠AFD=∠ACB，结合∠ACB+∠ACD=90°，可得∠AFD+∠OFC=90°从而可得∠AFO=90°，由此可得OF⊥AF，从而可得AF是⊙O的切线；
（2）根据同角的正切值相等及正切的概念可求得BC的值，再根据勾股定理可求得AC的值，在中，根据正切的概念可求得AF的值；设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求得r的值．
【详解】（1）证明：连接．
，
．
四边形是矩形，
．
又，
．
，
．
．
于．
直线与相切．
（2）解：，，
．
，
．
，
．
．
又四边形是矩形，
．
又，，
．
．
设的半径为，在中，．
．
即．
解得．
的半径为．

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、切线的判定定理，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）①个，②或
【分析】（1）利用二次函数对称轴公式即可求解；
（2）把代入二次函数解析式，配方即可求解；
（3）①画出当时的函数图象，根据图象即可求解；②当抛物线过和时，区域内恰有个整点，代入求解即可．
【详解】解：（1），
．
（2）把代入得：
．
配方得：．
顶点．
（3）①当时函数图象如图，

∴区域内整点的个数为个．
②由①得，时，区域内有个整点．
（Ⅰ）当抛物线过时，区域内恰有个整点．

将代入，
得．
结合图象可得．
（Ⅱ）当抛物线过时，区域内恰有个整点．

将代入，
得．
综上所述，的值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（1）；（2）①，见解析；②
【分析】（1）设AB与DE相交于点F，根据旋转的性质可得，，根据三线合一可得，，即可得到，通过证明≌可得，利用菱形的判定与性质即可求解；
（2）①根据题意补全图形，作于，通过证明可得，利用线段垂直平分线的判定与性质即可得出结论；②在中，，由①可知，，即可得出结论．
【详解】解：（1）设AB与DE相交于点F，
，
∵线段顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∵，
根据三线合一可得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴四边形ADBE是平行四边形，
又∵，
∴四边形ADBE是菱形，
∴．
（2）依题意补全图形

①．
如图，作于．

，
，
．
在与中，

．
．
在中，，，
．
．
垂直平分．
．
②在中，，
由①可知，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，灵活运用上述性质定理是解题的关键．
21．（1）①，，②且；（2）
【分析】（1）①根据勾股定理求出线段的长度，利用等腰顶点的定义即可求解；②找出临界情况当点在直线上时、当点在直线上时求出对应的k值，除去当点在直线上时的情况即可；
（2）作出线段MN的垂直平分线，以为半径且与线段MN的垂直平分线相切的圆，解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）①根据勾股定理可得，，则，即点C是线段AB的等腰顶点；同理可得点D不是线段AB的等腰顶点，点E是线段AB的等腰顶点，点F不是线段AB的等腰顶点，
故答案为：，
②（Ⅰ）当点在直线上时，，
；
（Ⅱ）当点在直线上时，，
；
（Ⅲ）当点在直线上时，，
  ；
结合图象可得且；
（2）直线与x轴的交点M坐标为，与y轴交点N的坐标为，
∴，
∴，
如图，作出线段MN的垂直平分线，如图为两个临界情况：
，
利用待定系数法求得MN垂直平分线解析式为，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握数形结合的思想是解题的关键．
22．-3
【分析】按顺序化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，进行0次幂运算，负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】解： -
=-
=-3
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算等，正确把握各运算的运算法则是解题的关键.
23．（1）b, c的值分别为5, -5；（2）当时有最大值
【分析】（1）把点代入求解即可得到b,c的值；
（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.
【详解】解：（1）∵抛物线过点（0，-5）和（2，1），
∴  ,
解得 ,
∴b, c的值分别为5, -5.
（2）a= -1 ，b=5,
∴当x=时y有最大值.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.
24．
【分析】把点A代入直线解析式求出点A的坐标，然后再代入反比例函数解析式求出k值即可.
【详解】解： ∵ 直线与反比例函数的图象的一个交点为
∴ 2= -a+4，即a=2
∴ 点A坐标为（2，2）
∴ ，即k=4.
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，即点A即在直线上又在双曲线上，代入求值即可.
25．证明见解析
【分析】根据圆周角定理的推论即可求得.
【详解】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．
即：∠ACO=∠BCD．

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等.
26．（1）垃圾投放正确的概率为；（2）厨余垃圾投放正确的概率为
【分析】（1）画出树状图，找出所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，最后根据概率公式进行求解即可；
（2）用厨余垃圾正确投放量除以厨余垃圾投放量即可得答案.
【详解】解：（1）四类垃圾随机投入四类垃圾箱的所有结果用树状图表示如下：

由树状图可知垃圾投放正确的概率为；
（2）厨余垃圾投放正确的概率为
【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，正确掌握相关知识是解题的关键.
27．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
28．（1）证明见解析；（2）．
【分析】(1)连接AD，如图，根据圆周角定理，再根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
(2)作F做FH⊥AB于点H,利用余弦定义，再根据三角函数定义求解即可
【详解】(1)证明:如图，连接AD．

∵ E是中点，
∴．
∴ ∠DAE=∠EAB．
∵ ∠C =2∠EAB，
∴∠C =∠BAD.
∵ AB是⊙O的直径.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°．
∴ ∠C+∠CAD=90°．
∴ ∠BAD+∠CAD=90°．
即 BA⊥AC
∴ AC是⊙O的切线．
(2)解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．

∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，
∴ FH=FD，且FH∥AC．
在Rt△ADC中，
∵，，
∴ CD=6．
同理，在Rt△BAC中，可求得BC=   ．
∴BD=   ．
设 DF=x，则FH=x，BF=-x．
∵ FH∥AC，
∴ ∠BFH=∠C．
∴．
即．
解得x=2．
∴BF=．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和切线的判定,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.连接半径在证明垂直即可
29．（2）① 见解析；②  3.1  (3) 6.6cm或2.8cm
【分析】（2）①根据画函数图象的步骤：描点、连线即可画出函数图象；②根据题意，利用图象法解答即可；
（3）根据题意：就是求当时对应的x的值，可利用函数图象，观察两个函数的交点对应的x的值即可.
【详解】解：（2）① 如 图所示 ：

②观察图象可得：当x=2时，y1=3.1，∴m=3.1；
故答案为：3.1；
(3) 当OD=CD时，即y1=y2时，如图，x约为6.6或2.8，即AD的长度约为6.6cm或2.8cm.

故答案为：6.6cm或2.8cm.
【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的有关知识和动点问题的函数图象，熟练运用图象法、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
30．（1）点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）（2）①5；②6.
【分析】（1）根据x轴上的点的坐标特征即y=0，可得关于x的方程，解方程即可；
（2）①直接写出从－1到3的整数的个数即可；
②先确定新抛物线的解析式，进而可得其顶点坐标，再结合函数图象解答即可.
【详解】解：（1）在中 ，令y=0，，解得：，
∴点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，0）；
（2）①线段AB之间横、纵坐标都是整数的点有（－1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）.
∴线段AB上一共有5个整点；
②抛物线沿翻折，得到的新抛物线是，如图，其顶点坐标是（1，1），
观察图象可知：线段AB上有5个整点，顶点为1个整点，新抛物线在轴上方的部分与线段所围成的区域内（包括边界）共6个整点.

【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标、二次函数的性质以及对新定义的理解应用，熟练掌握抛物线的基本知识、灵活运用数形结合的思想是解题的关键.
31．（1）m=3；（2）①；②.
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得关于m的方程，解方程即可求出结果；
（2）①根据抛物线的平移规律解答即可；
②根据二次函数的性质以及一次函数的性质，结合图象只要满足直线与y轴的交点的纵坐标大于抛物线与y轴交点的纵坐标解答即可.
【详解】解：（1）∵的对称轴为直线，∴，解得：m=3；
（2）①∵函数的表达式为y=x2－2x+1，即为，
∴图象向右平移2个单位得到的新的函数图象的表达式为；
②∵直线y＝﹣2x+2t（t＞m）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（t，0），B（0，2t），
∵新的函数图象G的顶点为（3，0），与y的交点为（0，9），
∴当线段AB与图象G只有一个公共点时，如图，2t＞9，解得t＞，
故t的取值范围是t＞．

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、抛物线的平移以及一次函数与二次函数的交点涉及的参数问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的数学思想是解题关键
32．（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形∆ABC三线合一解答即可；
（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可.
【详解】（1）∵等腰三角形∆ABC 且PA是钝角△ABC的高线
∴PA是∠CAB的角平分线
∴∠CAP=∠BAP
（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.
证明：连接EB，与AD交于点F
∵点B，C两点在⊙A上,
∴AC=AB，
∴∠ACP=∠ABP.
∵PA是钝角△ABC的高线,
∴PA是△CAB的垂直平分线.
∵PA的延长线与线段CD交于点E，
∴EC=EB.
∴∠ECP=∠EBP.
∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.
即∠ECA=∠EBA.
∵AC=AD，
∴∠ECA=∠EDA
∴∠EBA=∠EDA
∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,
∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°
即∠BAD=∠BED=90°
∴EB2+ED2=BD2.  
∵BD2=AB2+AD2，
∴ BD2=2AB2,
∴EB2+ED2=2AB2，
∴EC2+ED2=2AC2

【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，这是一个综合题，注意数形结合.
33．（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范围是或.
【分析】（1）根据点C到x轴、y轴的距离解答即可；
（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF和EF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据题意可得：符合题意的直线MN应为y=x+b或y=－x+b．①当直线MN为y=x+b时，结合图形可得直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最小值，进而可得m的最大值；当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最大值，进而可得m的最小值，可得m的取值范围；②当直线MN为y=－x+b时，同①的方法可得m的另一个取值范围，问题即得解决.
【详解】解：（1）根据题意作图如下：

由图可知：点C到x轴距离为4，到y轴距离为3，∴C（3，4）；
故答案为：（3，4）；
（2） ∵点D（2，1），点E（e，4），点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，
∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；
（3）由点N，M， G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN为y=x+b或y=－x+b.
①当直线MN为y=x+b时，由于点M的坐标为（m，4），可得m=4－b，
由图可知：

当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值.
此时直线MN记为M1 N1，其中N1为切点，T1为直线M1 N1与y轴的交点.
∵△O N1T1为等腰直角三角形，ON=，∴，
∴b的最小值为－3，∴m的最大值为m=4－b=7；
当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值.
此时直线MN记为M2 N2，其中N2为切点，T2为直线M2 N2与y轴的交点.
∵△ON2T为等腰直角三角形，ON2=，∴，
∴b的最大值为3，∴m的最小值为m=4－b=1，
∴m的取值范围是；
②当直线MN为y=－x+b时，同理可得，m=b－4，
当b=3时，m=－1；当b=－3时，m=－7；
∴m的取值范围是.
综上所述，m的取值范围是或.
【点睛】本题是新定义概念题，主要考查了三角形的面积、直线与圆相切的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想和分类讨论思想是解题的关键.