北京市东城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市东城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共34页。试卷主要包含了如图，在中，，，计算，已知，解分式方程，列方程解应用题等内容，欢迎下载使用。

北京市东城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．

(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；
(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；
(3)若，则的周长为______．
2．（2022·北京东城·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京东城·八年级期末）（1）已知：，求代数式的值．
（2）先化简，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．
4．（2022·北京东城·八年级期末）解分式方程：．
5．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．

(1)若与关于y轴对称，画出；
(2)若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为______．
6．（2022·北京东城·八年级期末）如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．

7．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．

(1)求证：；
(2)若，求BE的长．
8．（2022·北京东城·八年级期末）列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？
9．（2022·北京东城·八年级期末）在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．

(1)如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；
(2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．
10．（2022·北京东城·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将点到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为．即：如果，那么；如果，那么．例如：点的“相对轴距”．
(1)点的“相对轴距”______；
(2)请在图1中画出“相对轴距”与点的“相对轴距”相等的点组成的图形；
(3)已知点，，，点M，N是内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；
②将向左平移个单位得到，点与点为内部（含边界）的任意两点，并且点与点的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．

11．（2021·北京东城·八年级期末）计算：．
12．（2021·北京东城·八年级期末）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．

13．（2021·北京东城·八年级期末）已知，求代数式的值．
14．（2021·北京东城·八年级期末）尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路和公路的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）

15．（2021·北京东城·八年级期末）解方程：．
16．（2021·北京东城·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
17．（2021·北京东城·八年级期末）列分式方程解应用题：
截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格．
18．（2021·北京东城·八年级期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点P在射线上，点Q在线段上，．

（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：；
（2）如图2，若点P在线段上，，求的值．
19．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在中，，D为的中点，E为延长线上一点，连接，过点D作，交的延长线于点F，连接．作点B关于直线的对称点G，连接．

（1）依题意补全图形；
（2）若．
①求的度数（用含的式子表示）；
②请判断以线段为边的三角形的形状，并说明理由．
20．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．

（1）已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是__________________；
（2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，点，以线段为边在x轴上方作正方形，若点，关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，求a的取值范围．
21．（2019·北京东城·八年级期末）计算： .
22．（2019·北京东城·八年级期末）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.
已知：线段，及∠O .

求作：△ABC，使得线段，及∠O分别是它的两边和一角.
作法：如图,

①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M ,N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形.
请回答:
（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 .
23．（2019·北京东城·八年级期末）计算：．
24．（2019·北京东城·八年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE ，AD＝AE.连接BD,CE,∠ABD＝∠ACE. 求证：AB＝AC.

25．（2019·北京东城·八年级期末）计算：.
26．（2019·北京东城·八年级期末）解方程：  .
27．（2019·北京东城·八年级期末）在三角形纸片ABC中,∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3.将三角形纸片按图1方式折叠,使点A的对应点落在AB的延长线上，折痕为ED,交BC于点F.
（1）求∠CFE的度数；                
（2）如图2，,继续将纸片沿BF折叠，点的对应点为，交DE于点G .求线段DG的长.

28．（2019·北京东城·八年级期末）如图，△ABC.
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O.不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC=4.5，∠A=45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积.

29．（2019·北京东城·八年级期末）先化简，再求值：，其中是满足的最大整数.
30．（2019·北京东城·八年级期末）列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积.
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.
设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业平均展览面积（平方米）
首  届
270 000

x
第二届
330 000



（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）.
31．（2019·北京东城·八年级期末）在△ABC中，AB＞BC,直线l垂直平分AC.

（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD.
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明.
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD.求证：∠BAD=∠BCD.
32．（2019·北京东城·八年级期末）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点，，，……,都在△ABC的边上，且，那么称点，，，……,为△ABC关于点P的等距点，线段，，，……,为△ABC关于点P的等距线段.
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点.

①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点，分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC=1,求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点.若，直接写出长的取值范围.（用含的式子表示）


参考答案：
1．(1)见解析
(2)垂直平分线；等腰
(3)8

【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定的形状；
（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．
(1)
解：作图如下所示：

(2)
解：由（1）的作图过程可知，DE垂直平分AB且AF=AH，即△AFH是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线，等腰．
(3)
解：由（1）基本作图方法得出：DE垂直平分AB
∴ AF＝BF，
∵AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4
∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得到AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解答本题关键．
2．
【分析】原式根据同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式除以单项式的运算法则计算出各项后再合并即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（1）13；（2），1
【分析】(1)通过得出,化简原式,将代入即可．
(2)化简原式,选择合适的值代入即可．
【详解】（1）解：
．
∵，∴．
∴原式．
（2）解：
．
∵且，
∴取代入上式，原式．
【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．
【分析】观察可得最简公分母是（x−5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：去分母，得．
化简，得．
解得．
检验：把代入最简公分母．
所以是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．
5．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，先得到A、B、C关于y轴对称的对应点、、的坐标，然后在坐标系中描出、、三点，最后顺次连接、、三点即可得到答案；
（2）作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求．
（1）
解：如图所示，即为所求；

（2）
解：如图所示，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求，
由图可知点P的坐标为（3，3）．

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特征，轴对称—最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键．
6．
【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．
【详解】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
7．(1)见解析
(2)

【分析】(1)利用是的外角,以及证明即可．
(2)证明≌,可知,从而得出答案．
(1)
证明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．

(2)
解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．
8．约为1.5吨
【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．
【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨
由题意，得．解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．
9．(1)
(2)或，见解析

【分析】（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；
（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．
(1)
解：，，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵，
∴，即∠BAD=∠CAE，
∵，，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴；
(2)
解：如图，补全图形；

．
证明：∵，
∴．
又∵，，
∴≌．
∴，，．
∵，
∴．
∴．
延长EF到点G，使．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
如图，同理可证．
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．
10．(1)2；
(2)见详解；
(3)①；②

【分析】（1）根据题意正确写出答案即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）①正确画出图形，根据题意分别求出，的最大值和最小值，代入即可求解；②根据题意确定点在两点（-1，1），（1，1）确定的线段上运动，列不等式即可求解．
(1)
解：点到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，点
2；
(2)
解：的“相对轴距”是2，
与点的“相对轴距”相等的点的横纵坐标的最大值为2，
依题意得到的图形是正方形，如图，

(3)
解：①如图，

当点在三角形边界上时，有最大的“相对轴距”和最小的“相对轴距”，
当取小值，取最大值时，有最小值，这时点M与点A重合，点N与点B重合，
的最小值为1，的最大值为3时，的最小值为，
当取最大值，取最小值时，有最大值，这时这时点M与点B重合，点N与点A重合，
的最大值为3，的最小值为1时，的最大值3，
；       
② 点与点为内部（含边界）的任意两点，并且点与点的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，如图，

依题意，点的坐标为，
点在两点（1，1），（-1，1）确定的线段上，
，
．
【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点的平移，解一元一次不等式，正确理解题意是解决问题的关键．
11．．
【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂、零指数幂逐项计算即可求解．
【详解】

．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键．
12．见解析
【分析】根据已知条件，证明三角形全等，可得，由平行的判定，内错角相等，两直线平行即可得．
【详解】在和中

，
，
.
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质以及平行的判定，熟记平行的判定定理是解题的关键．
13．，3．
【分析】先按照完全平方公式与多项式乘以多项式的法则进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，再把化为再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：原式
．
当时，

原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行整式的乘法运算是解题的关键．
14．答案见解析
【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作.
【详解】如图，点P即为所求作．

【点睛】本题考查作图的应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．x=﹣3
【分析】通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可．
【详解】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：
解这个方程得：x=﹣3
检验：当x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0
∴x=﹣3是原方程的解
∴原方程的解是：x=﹣3．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
16．，．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.
【详解】解：


．
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【分析】设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同列方程解答．
【详解】解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元．
依题意有，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）由等边三角形的性质证明 再利用三角形的内角和定理求解 从而可得结论；
（2）过点D作交于点E，先证明为等边三角形，再证明，可得 从而可得答案．
【详解】证明：（1）∵为等边三角形，
∴
∵D为的中点，
∴平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）过点D作交于点E．

∵为等边三角形，，点D是的中点，
∴．
∵，
∴．，
∴为等边三角形，，
∴，
∴．
∵，

∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）补图见解析；（2）①；②以线段为边的三角形是直角三角形，理由见解析．
【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；
(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
【详解】解：（1）补全图形，如图所示，

（2）①∵，∴，
由轴对称性质可知，，
∵，∴，
∴，
②以线段为边的三角形是直角三角形，
如图,连接，

由轴对称性质可知，，
∵D是的中点，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴以线段为边的三角形是直角三角形，
∴以线段为边的三角形是直角三角形．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
20．（1）；（2）6；（3）或．
【分析】（1）先求关于y轴对称点的坐标，再求关于直线l对称点的坐标即可；
（2）根据题意，表示出点的坐标即可；
（3）表示为两点的坐标，再根据与正方形有交点列不等式组即可．
【详解】解：（1）关于y轴对称的点的坐标分别为：，
它们关于直线l对称，纵坐标不变，横坐标加上3的2倍与原横坐标的差，即为：
，
故答案为：．
（2）由（1）可知， ．
．
（3）由（1）可知，，
当与有公共点时，
，∴．
当与有公共点时，
，∴，∴或．
【点睛】本题考查了关于y轴对称和关于平行于y轴的直线对称点的坐标变化规律以及正方形、不等式等知识，能够发现关于平行于y轴的直线对称点的坐标变化规律是解题关键．
21．
【分析】根据异分母分式的加法法则进行计算即可得到答案.
【详解】


=
【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握异分母分式的加法法则是解此题的关键.
22．（1）BD,MN; （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论.
【分析】根据题意，按步骤解答即可.
【详解】（1）BD,MN;
（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；
（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论.
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂运算法则进行计算，第二项根据算术平方根进行化简，第三项根据非零数的零次幂运算法则进行计算，第四项根据绝对值的代数意义进行化简，最后进行加减运算即可得到答案.
【详解】


【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键.
24．证明见解析
【分析】根据AAS证明△BAD≌△CAE即可得到答案.
【详解】证明：∵∠BAC＝∠DAE,
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD.
   即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE（AAS）.
∴ AB＝AC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能正确应用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
25．-m+n
【分析】先将中括号内的部分根据平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式把括号展开合并，最后进行除法运算即可得到结果.
【详解】，
=
=
=
【点睛】此题考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练运用乘法公式将括号展开.
26．
【分析】分式方程两边同乘以变形为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可.
【详解】方程两边同乘以得：
去括号得：
移项，合并得：
系数化为1得：
经检验：是原方程的解.
∴.
【点睛】北题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定要检验根.
27．(1)60°;(2) .
【分析】（1）由折叠的性质可得∠＝30°，再由直角三角形两锐角互余得∠＝60°，最后由对顶角相等求得∠CFE ＝60°；
（2）先求出DE=，再证明△CEF是等边三角形得EF=1，再证明 △EFG是等边三角形得GE=1，最后根据DG=DE-EG求出DG的长即可.
【详解】（1）∵∠A＝30°,根据折叠的性质可得∠＝30°.       
∵∠＝90°,
∴∠＝90°-∠=90°-30°=60°.                                 
∵∠CFE ＝∠，
∴∠CFE ＝60°.
（2）∵点A与点关于直线DE对称，
∴DE⊥.
∵∠A=30°，AE=3,
∴
由（1）知，∠CFE=60°，∠C=60°，
∴△CFE是等边三角形.
∴EF=CE=AC-AE=1.
同理，△EFG也是等边三角形，
∴
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
28．（1）见解析；（2）D(-3,0)；（3）.
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先根据题意建立平面直角坐标系，得出A，B，C的坐标，从而可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）根据三角形面积计算公式可得出△ACD的面积.
【详解】（1）如图所示，

（2）建立平面直角坐标系，如图所示，

∵∠AOC=90°,∠A=45°，
∴∠ACO=45°
∴AO=CO，
∵OC=4.5，
∴AO=4.5，
∵AB=7.5，
∴OB=AB-AO=7.5-4.5=3，
∴B（3，0），
∵点B与点D关于y轴对称，
∴D(-3,0)；
（3）连接CD，如图所示，
∵AO=4.5，DO=3，
∴AD=,
∴.
【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．，
【分析】先根据分式的混合运算和运算法则化简原式，再根据求出a的最大整值，代入代简结果中进行计算即可得到答案.
【详解】，
=
=
=
=
∵是满足的最大整数，
∴.
∴.
∴.
∴原式=.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
30．（1）填表见解析；（2）.
【分析】（1）根据“总面积÷企业平均展览面积=参展企业数量”可得首届参展企业数量；再根据第二届参展企业平均展览面积比第一届增加了12.8%，可用含有x的代数式表示第二届参展企业平均展览面积，再根据“总面积÷企业平均展览面积=参展企业数量”可得第二届参展企业数量，以此填表即可；
（2）根据“第二届参展企业比首届参展企业多约300家.”列出方程即可.
【详解】（1）填表：
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业展平均面积（平方米）
首  届
270 000


第二届
330 000



（2）设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，根据题意得，
.
【点睛】此题主要考查根据实际问题列方程. 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
31．（1）①见解析；②∠BAD+∠BCD=180°，证明见解析；（2）见解析.
【分析】（1）①根据题意画图即可补全图形；
②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DF，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADE≌Rt△CDF，进而可得∠BAD=∠DCF，进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DH，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADH≌Rt△CDG，进一步即可得出结论.
【详解】解：（1）①补全图形如图3；

②∠BAD+∠BCD=180°.
证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；

（3）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，
∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，
∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴∠BAD=∠BCD，

【点睛】本题考查了依题意作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
32．（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）.
【分析】（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；
②根据题意，点P在∠BAC的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P作AB、AC的垂线段即可；
（2）显然点D不可能在AB边上，分点D在等边△ABC的边AC、BC上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点时的PC的长，进而可得答案.
【详解】解：（1）①∵点P是BC的中点，∴PB=PC，∴点B、C是△ABC关于点P的等距点；
∵PA≠PB，∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②线段，如图3所示：

（2）显然，点D不可能在AB边上，若点D在AC边上，如图4所示，
∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，
∵点C，D是△ABC关于点P的等距点，∴PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，∴CD=PC=1；
若点D在BC边上，如图5所示，∵点C，D是△ABC关于点P的等距点，∴PC=PD=1，∴CD=2；
∴DC=1或2；
  
（3）当PM⊥AB且PM=PC时，如图6，此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点，
∵∠B＝30°，∴BP=2PM，∴BC=3PC=a，∴；
当点P为BC的中点时，如图7所示，此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点，∴；
∴△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点时，PC长的取值范围是：.

【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30°角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.