北京市房山区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

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北京市房山区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

一、解答题
1．（2022·北京房山·九年级期末）求值：
2．（2022·北京房山·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．

3．（2022·北京房山·九年级期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长．

4．（2022·北京房山·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值．
5．（2022·北京房山·九年级期末）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ÐABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

6．（2022·北京房山·九年级期末）在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度．如图，在C处用高1．2米的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进40米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°，求昊天塔的高约为多少米？（结果精确到1米，，）

7．（2022·北京房山·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.

8．（2022·北京房山·九年级期末）如图，在△ABC中，，∠B=45°，∠C=60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．

9．（2022·北京房山·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点在双曲线上．
(1)求m的值；
(2)已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与，的图象分别相交于点N，M，点N，M的距离为，点N，M中的某一点与点P的距离为，如果，在下图中画出示意图．并且直接写出点P的坐标．

10．（2022·北京房山·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上有两点和点．

(1)用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
(2)当时，结合函数图象，求a的取值范围．
11．（2022·北京房山·九年级期末）如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，DB．

(1)求证：∠ADC=∠ABD；
(2)连接DO，过点D做⊙O的切线，交BA的延长线于点P．若AC=3，，求BC的长．
12．（2022·北京房山·九年级期末）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

(1)函数①和②中是有上界函数的为____________（只填序号即可），其上确界为____________；
(2)如果函数的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
(3)如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数的值．
13．（2021·北京房山·九年级期末）如图，已知∥，．求证：．

14．（2021·北京房山·九年级期末）已知二次函数．
（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出它的图象，并结合图象，当时，则的取值范围是__________．

15．（2021·北京房山·九年级期末）已知： 线段．

求作：，使其斜边，一条直角边．
作法：①作线段；
②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点；
③以为圆心，长为半径作⊙；
④以点为圆心，线段的长为半径作弧交⊙于点，连接．就是所求作的直角三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点在线段的垂直平分线上，
∴点为线段的中点，为⊙的半径．
∴为⊙的直径．
∵点在⊙上，
∴__________（__________）（填推理的依据）．
∴为直角三角形．
16．（2021·北京房山·九年级期末）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，）

17．（2021·北京房山·九年级期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

（1）求的值；
（2）点为轴上一动点．若的面积是，请直接写出点的坐标．
18．（2021·北京房山·九年级期末）如图，为⊙的直径，⊙过的中点，，垂足为点．

（1）求证：与⊙相切；
（2）若，．求的长．
19．（2021·北京房山·九年级期末）已知抛物线经过点．
（1）当抛物线与轴交于点时，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与轴两交点之间的距离为．当时，求的取值范围．
20．（2021·北京房山·九年级期末）如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相交于点F，与BD相交于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF＝AB，解答下列问题：
①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；
②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．

21．（2021·北京房山·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点“平衡”．
（1）如图，已知⊙是以为圆心，为半径的圆，点，，．
①在点，，中，与⊙关于原点“平衡”的点是__________；
②点为直线上一点，若点与⊙关于原点“平衡”，求点的横坐标的取值范围；

（2）如图，已知图形是以原点为中心，边长为的正方形．⊙的圆心在轴上，半径为．若⊙与图形关于原点“平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．

22．（2019·北京房山·九年级期末）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，⊙经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，点在⊙上，且，求⊙的半径.

            图1                                         图2
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图2，连接
,
是⊙的直径.     （依据是 ）
且
（依据是 ）


．即⊙的半径为 ．
23．（2019·北京房山·九年级期末）已知：如图，中，平分，是上一点，且．判断与的数量关系并证明．

24．（2019·北京房山·九年级期末）如图，中，，，，解这个直角三角形.

25．（2019·北京房山·九年级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：

...





...

...





...

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

（3）结合图像，直接写出当时，的取值范围．
26．（2019·北京房山·九年级期末）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达处，此时测得梯子与地面的夹角为，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？

27．（2019·北京房山·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为．

（1）求的值；
（2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．
①当时，求线段的长；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
28．（2019·北京房山·九年级期末）已知如图所示，点到、、三点的距离均等于（为常数），到点的距离等于的所有点组成图形. 射线与射线关于对称，过点 C作于.

（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；
（2）判断直线与图形的公共点个数并加以证明.
29．（2019·北京房山·九年级期末）如图，内接于⊙，，高的延长线交⊙于点，，．

（1）求⊙的半径；
（2）求的长．
30．（2019·北京房山·九年级期末）如图，在正方形中，，点在正方形边上沿运动（含端点），连接，以为边，在线段右侧作正方形，连接、.
小颖根据学习函数的经验，在点运动过程中，对线段、、的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点在、边上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如下表：

位置
位置
位置
位置
位置
位置
位置

























在、和的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象：

（3）结合函数图像，解决问题：
当为等腰三角形时，的长约为
31．（2019·北京房山·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，.
（1）若，求的值；
（2）过点作与轴平行的直线，交抛物线于点，.当时，求的取值范围.
32．（2019·北京房山·九年级期末）在中，，，以点为圆心、为半径作圆，设点为⊙上一点，线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接、．

（1）在图中，补全图形，并证明 .
（2）连接，若与⊙相切，则的度数为 .　
（3）连接，则的最小值为 ；的最大值为 .
33．（2019·北京房山·九年级期末）如图，已知线段与点，若在线段上存在点，满足，则称点为线段的“限距点”.

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点.
①在中，是线段的“限距点”的是 ；
②点是直线上一点，若点是线段的“限距点”，请求出点横坐标的取值范围.

（2）在平面直角坐标系中，点，直线与轴交于点，与轴交于点. 若线段上存在线段的“限距点”，请求出的取值范围.


参考答案：
1．1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：
=
=1
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．证明见解析
【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得．
【详解】∵，∠B=90°，
∴．
又∵∠C=∠C，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
3．
【分析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=8，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出BD和CD的长是解题的关键．
4．-3
【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3．
【详解】∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
故m的轴为-3．
【点睛】本题考察了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
5．见解析
【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．
【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
6．这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【分析】设AG=x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和GE的长度，然后根据CD=40米，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
【详解】解：如下图 ：

设米，
在RT△中，，，
∴，
在Rt△AEG中，，，
∴，
∴，
解得：．
∴米，
则（米）．
答：这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，做题的关键是掌握正切的概念并能熟练的计算．
7．2
【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°．
∵AB=4，
∴OC=2．
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=CD．
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1，
∴CD=2．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理.
8．
【分析】如图1中，过点A作于D．根据三角函数的定义得到AD=4，如图2中，根据垂直的定义得到∠PFA=90°，根据折叠的性质得到，AF=PF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1中，过点A作于D．

在中，．
，

∵，
∴，
∵沿将折叠得到．
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解锐角三角函数，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，由高线AD求出AC，证明是解题的关键．
9．(1)8
(2)点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）画出函数的图象，根据图象即可求得．
（1）
解：∵点A（2，4）在双曲线（m≠0）上，
∴m=2×4=8，
∴m的值为8；
（2）
解：如图：

由图象可知，点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
10．(1)b=4a，x=-2
(2)或．

【分析】（1）将（-1，0）代入函数解析式可得，则抛物线对称轴为直线．
（2）由点B坐标可得AB所在直线为，过点B作轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B当时和时点B的坐标为（2，3）或（4，3）或（-4，-3）或（-6，-5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
(1)
将（-1，0）代入得，
∴，
∴抛物线对称轴为直线．
(2)
∵点B坐标为，
∴点B所在直线为，
∴点A在直线上，
过点B作轴交x轴于点C，
则，，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当时，，当时，，
∴或，
∴点B坐标为（2，3）或（4，3）或或，

当时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-3，0），
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过，，
将（2，3）代入得，
解得，
将（4，5）代入得，
解得，
∴．
时，抛物线开口向下，抛物线不经过，，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了抛物线与系数的关系，对称轴，抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用分类思想，待定系数法是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)12

【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据题意画出图形，根据切线的性质得到，进而得到，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
（1）
证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵，

∴，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）
∵PD是⊙O的切线，

∴，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠PDC=∠DOC，
∵，
∴即，
设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，互余的性质，切线的性质，勾股定理和正切三角函数，熟练掌握切线的性质，三角函数是解题的关键．
12．(1)②，1；
(2)
(3)2.4．

【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
（3）当时，，可得（舍）；当时，，可得（舍）；当时，，可得；当时，，可得．
(1)
①，
∴①无上确界；
②，
∴，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
(2)
∵，y随x值的增大而减小，
∴当时，，
∵上确界是，
∴，
∵函数的最小值不超过，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为：；
(3)
的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴（舍）；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴（舍）；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴，
综上所述：的值为2.4．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
13．见解析
【分析】根据平行线的性质可得，结合可证△∽△，由相似三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴．              
∵，
∴△ABD∽△DCE．            
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质并能根据已知准确选择判定方法是解题的关键．
14．（1）顶点坐标为；对称轴为直线；（2）
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可；
（2）先列表，再描点连线即可画出图象，再结合图象可判断出取值范围．
【详解】解：（1）
∴二次函数的图象的顶点坐标为．
对称轴为：直线．
（2）列表如下：
x

-1
0
1
2
3

y

0
-3
-4
-3
0


描点连线如下图：

从图象可知：当时，则的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的对轴称及顶点坐标的求法，以及二次函数图象的画法等知识，掌握相关知识是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角
【分析】（1）根据作图步骤补全图即可
（2）根据直径所对的圆周角是直角即可解决问题．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：            
       

（2）证明：∵点在线段的垂直平分线上，
∴点为线段的中点，为⊙的半径，
∴为⊙的直径，
∵点在⊙上，
∴90（_直径所对的圆周角是直角 ）．
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
16．246m
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠A =30°，∠B=45°，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：根据题意得∠A =30°，∠B=45°，
过点作，垂足为.

∴
在△中
∵，m，
∴m              
在△中
∵，m
∴
∴ m
∴m
答：桥的长度约为246m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
17．（1）；（2）或
【分析】（1）先将点B（-2，0）代入一次函数求出k的值，进而求出A点坐标后，代入反比例函数求出m的值；
（2）设C（n，0），由S△ABC=6，列出方程即可求得n的值，要注意C点有两种可能．
【详解】解：（1）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴.
∴.  
∴.
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴.
把代入，得.
（2）设C（n，0），由（1）知点A的纵坐标为3，即△ABC的高为3，
依题S△ABC=|BC|×3=6，则|BC|=4
当C点在B点左侧时，
当C点在B点右侧时，
综上或
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，由题目已知条件可证明是△的中位线，进而可得到//，根据，可以推出，即可得到结论．
（2）连接，圆周角等于它所对的圆心角的一半可知,又因为是的中点，根据等腰三角形三线合一定理可得, ,再根据三角函数正切值求出的长．
【详解】（1）如图，连接，
∵为中点，是的中点，
∴是△的中位线，
∴//，   
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴⊥，                
∵⊙过的中点，
∴与⊙相切．              

（2）如图，连接，
∵是⊙的直径，
∴，                            
∵是的中点，
∴，
∴，                             
∴，
在△中，
∵，，
∴，，                        
∵，
∴.
【点睛】本题考查了切线的判定，中位线的性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一定理，三角函数等，综合运用以上知识是解题的关键．
19．（1）；（2），或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先确定，令，求出方程的两个根分别为，，由，得到或，求出或，再分情况：①当时，或，②当时，恒成立，故．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，               
∴抛物线的表达式为；
（2）解: ∵抛物线经过点，
∴ ，
∴ ，                
令，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴或，
即或，
①当时，或，       
②当时，恒成立，故，                       
∴综上所述，，或．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，数轴上两点之间的距离，分情况讨论取值，是一道较基础的二次函数习题．
20．（1）见解析；（2）①EC⊥BD，理由见解析；②，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）①EC⊥BD，证明△AEF≌△ADB（SAS），则∠AEF＝∠ADB，∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即可求解；
②方法一：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，证明△AEP≌△ADG，得到△PAG为等腰直角三角形，故可求解；
方法二：过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ，证明△AEG≌△ADQ，得到△GAQ为等腰直角三角形，故可求解．
【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：

（2）①解：EC⊥BD．
理由如下：由矩形性质知∠DAB＝90°，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF与△ADB中，

∴△AEF≌△ADB（SAS）．
∴∠E＝∠ADB．
∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°．
∴EC⊥BD．
②线段AG，EG，DG之间的数量关系：．
证法一：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP．

在△AEP与△ADG中，
，
∴△AEP≌△ADG（SAS）．
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°．
∴△PAG为等腰直角三角形．
∴．
∴．
证法二：如图3，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ．

在△AEG与△ADQ中，
，
∴△AEG≌△ADQ（ASA）．
∴EG＝DQ，AG＝AQ．
∴△GAQ为等腰直角三角形．
∴．
∴，即EG﹣DG＝AG．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（1）①点，；②或；（2）或．
【分析】（1）①由，，，依据勾股定理分别求出，，的长度，由新定义得到距离的取值范围，比较大小即可求解；
②由点可以与⊙关于原点“平衡”，得到，又因为点为直线上一点，得到直线与直线的较小的夹角为，分两种情况讨论，根据特殊角的三角函数值可以求得点的横坐标，根据新定义的意义最后得出点的横坐标的取值范围；
（2）由图形是以原点为中心，边长为的正方形，得到原点到正方形的最短距离是，最长距离是，即，再根据⊙的圆心在轴上，半径为，分两种情况来讨论，根据新定义的意义即可求出圆心的横坐标的取值范围．
【详解】（1）①由，，，
可知，，，
⊙是以为圆心，为半径的圆，
原点到⊙的最短距离是，最长距离是，
，，
点，与⊙关于原点“平衡”．
故答案为：，．

② 解：若点可以与⊙关于原点“平衡”，则，
点为直线上一点，
直线与直线的较小的夹角为，
点在第四象限时，
当时，可求得点的横坐标为：，
当时，可求得点的横坐标为：，
点横坐标的取值范围是：，
点在第二象限时，点横坐标的取值范围与点在第四象限时的取值范围关于原点对称，
点横坐标的取值范围是：，

综上所述，点横坐标的取值范围是：或．
（2）图形是以原点为中心，边长为的正方形，
原点到正方形的最短距离是，最长距离是，
⊙与图形关于原点“平衡”，
原点到⊙上一点的距离，
⊙的圆心在轴上，半径为，
当⊙在轴正半轴时，圆心的横坐标的取值范围为：，
当⊙在轴负半轴时，圆心的横坐标的取值范围为：，
综上所述，圆心的横坐标的取值范围或．
．
【点睛】本题考查了新定义题型，一次函数的性质，特殊角的三角函数值，圆的性质，点和圆的位置关系，解题的关键是理解新定义的意义．
22．的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等，
【分析】连接BC，则BC为直径，根据圆周角定理，得到，再由30°所对直角边等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】解：如图2，连接，

，
是⊙的直径.（90°的圆周角所对的弦是直径）
且，
，（同弧所对的圆周角相等）
，
，
．
即⊙的半径为2．
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等；.
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题.
23．，理由见解析.
【分析】根据题意，先证明∽，则，得到，然后得到结论成立.
【详解】证明：；
理由如下：如图：

∵平分，
∴，        
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
24．.
【分析】根据勾股定理求出AB，根据解直角三角形求出∠B，由余角的性质求出∠A，即可得到答案.
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形.
25．（1）或；（2）画图见解析；（3）.
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a（x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x=、3时的函数值即可写出y的取值范围．
【详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4），
∴设二次函数的解析式为：，
把代入得：；
∴；
∴解析式为：或.
（2）如图所示：

（3）当时，；
当时，；
∵抛物线的对称轴为：，
此时y有最大值4；
∴当时，的取值范围为：.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
26．胡同左侧的通道拓宽了米.
【分析】根据题意，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BE=CE，再由解直角三角形，求出DE的长度，然后得到CD的长度.
【详解】解：如图，

∵，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴，            
∵，
∴，
∴；
∴胡同左侧的通道拓宽了米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形.
27．（1）；（2）①；②或
【分析】（1）先把点A代入一次函数得到a的值，再把点A代入反比例函数，即可求出k；
（2）①根据题意，先求出m的值，然后求出点C、D的坐标，即可求出CD的长度；
②根据题意，当PC=PD时，点C、D恰好与点A、B重合，然后求出点B的坐标，结合函数图像，即可得到m的取值范围.
【详解】解：（1）把代入，得，
∴点A为（1，3），
把代入，得；
（2）当时，点P为（2，0），如图：

把代入直线，得：，
∴点C坐标为（2，4），
把代入，得：，
∴；
②根据题意，当PC=PD时，点C、D恰好与点A、B重合，如图，

∵，解得：或（即点A），
∴点B的坐标为（），
由图像可知，当时，有
点P在的左边，或点P在的右边取到，
∴或.
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的联系，熟练利用数形结合的思想进行解题.
28．（1）补全图形见解析；（2）直线与图形有一个公共点，证明见解析.
【分析】（1）根据题意可知，点O为△ABC的外心，作AC、BC的垂直平分线，交点为O，然后做出圆O，AC为∠OAM的角平分线，过C作于F，即可得到图形；
（2）连接OC，由AC平分∠OAM，则，然后证明，由，得到，得到CF是圆O的切线，即可得到结论.
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，

（2）如图，直线与图形有一个公共点
证明：连接，

∵射线与射线关于对称，
∴AC平分∠OAM，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于
∴，                      
∵图形即⊙，为半径，
∴与⊙O相切，即与图形有一个公共点.
【点睛】本题考查了复杂作图——作圆，作垂直平分线，作角平分线，以及圆的切线的判定，解题的关键是准确作出图形，熟练证明直线是圆的切线.
29．（1）⊙的半径为；（2）
【分析】（1）作直径，连接，由圆周角定理得，根据特殊角的三角函数值，即可求出BF，然后求出半径；
（2）过作于，于，得到四边形是矩形，利用直角三角形的性质求出DG，由垂径定理得到AG=EG=ADDG，然后求出DE的长度.
【详解】解：（1）如图，在⊙中，作直径，连接，

∴，
∵，                         
∴，
∴⊙的半径为；                                          
（2）如图，过作于，于   
  
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，                  
∴，                                          
∴，
∴；
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.
30．（1）；（2）画图见解析；（3）或或
【分析】（1）根据表格的数据，结合自变量与函数的定义，即可得到答案；
（2）根据列表、描点、连线，即可得到函数图像；
（3）可分为AE=DF，DF=DG，AE=DG，结合图像，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据表格可知，从0开始，而且不断增大，则DG是自变量；
和随着DG的变化而变化，则AE和DF都是DG的函数；
故答案为：，，.
（2）函数图像，如图所示：

（3）∵为等腰三角形，则可分为：
AE=DF或DF=DG或AE=DG，三种情况；
根据表格和函数图像可知，
①当AE=DG=时，为等腰三角形；
②当AE=时，DF=DG=5.00，为等腰三角形；
③当AE=DF=时，为等腰三角形；
故答案为：或或.
【点睛】本题考查了函数的定义，自变量的定义，画函数图像，以及等腰三角形的定义，解题的关键是掌握函数的定义，准确画出函数图像.
31．（1）；（2）的取值范围为或.
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出A、B的坐标，然后把点代入抛物线，即可求出m的值；
（2）根据根的判别式得到m的范围，再结合，然后分为：①开口向上，②开口向下，两种情况进行分析，即可得到答案.
【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线.
∴点关于直线对称，
∵
抛物线与轴交于点，
将代入中，
得，
∴；
（2）抛物线与轴有两个交点
∴，即，
解得：或；   
①若，开口向上，如图，

当时，有，
解得：；   
∵或，                                                  
∴；
②若，开口向下，如图，
              
当时，有，
解得：，
∵或，
∴；                                                   
综上所述，的取值范围为：或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.
32．（1）证明见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）根据题意，作出图像，然后利用SAS证明，即可得到结论；
（2）根据题意，由与⊙相切，得到∠BMN=90°，结合点M的位置，即可求出的度数；
（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，分别求出BN的值，即可得到答案.
【详解】解：（1）如图，补全图形，

证明：
，   
∵，
，
；
（2）根据题意，连接MN，
∵与⊙相切，
∴∠BMN=90°，
∵△MNC是等腰直角三角形，
∴∠CMN=45°，

如上图所示，∠BMC=；

如上图所示，∠BMC=；
综合上述，的度数为：或；
故答案为：或；                                               
（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；如图所示，

∵AN=BM=1，
∵，
∴；
当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，如图所示，

由AN=BN=1，
∴BN=BA+AN=2+1=3；
∴的最小值为1；的最大值为3；
故答案为：1，3.
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的旋转模型，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的动点问题，注意利用数形结合和分类讨论的思想进行解题.
33．（1）①；②或；（2）.
【分析】（1）①已知AB=2，根据勾股定理，结合两点之间的距离公式，即可得到答案；
②根据题意，作出“限距点”的轨迹，结合图形，即可得到答案；
（2）结合（1）的轨迹，作出图像，可分为两种情况进行分析，分别求出两个临界点，即可求出t的取值范围.
【详解】（1）①根据题意，如图：

∵点，
∴AB=2，
∵点C为（0，2），点O（0，0）在AB上，
∴OC=AB=2；
∵E为，点O（0，0）在AB上，
∴OE=；
∵点D（）到点A的距离最短，为；
∴线段的“限距点”的是点C、E；
故答案为：C、E.
②由题意直线上满足线段的“限距点”的范围，如图所示.

∴点在线段AN和DM两条线段上（包括端点），
∵AM=AB=2，
设点M的坐标为：（n，n）（n<0），
∵，
∴，
∴，
易知，   
同理                                                  
点横坐标的取值范围为：或.
（2）∵与x轴交于点M，与y轴交于点N，
∴令y=0，得；令x=0，得，
∴点M为：（），点N为：（0，）；
如图所示，

此时点M到线段AB的距离为2，
∴，
∴；
如图所示，AE=AB=2，

∵∠EMG=∠EAF=30°，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，AG=1，
∴
解得：；
综上所述：的取值范围为：.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理解直角三角形，一次函数的图像与性质，一次函数的动点问题，以及新定义的理解，解题的关键是正确作出辅助图形，利用数形结合的思想，以及临界点的思想进行解题，本题难度较大，分析题意一定要仔细.