北京市门头沟区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市门头沟区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共39页。试卷主要包含了解方程，已知，求代数式的值，列方程解应用题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。

北京市门头沟区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）；            （2）．
2．（2022·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）；        （2）．
3．（2022·北京门头沟·八年级期末）解方程：．
4．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．
（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB＝DC．

5．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知，求代数式的值．
6．（2022·北京门头沟·八年级期末）学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算 ．

（1）依据上面流程图计算时，需要经历的路径是 （只填写序号）；
（2）依据（1）中路径写出正确解答过程．
7．（2022·北京门头沟·八年级期末）下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．
已知：如图1，射线OA．  
求作：∠AOB，使∠AOB ＝30°．                 

作法：如图2，
①在射线OA上任取一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；
③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；
④分别以E，F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；
⑤作射线OB；
∴ ∠AOB就是所求的角．

根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：连接BE，BF．
∵ OC＝OD＝CD，
∴ △OCD是等边三角形．
∴∠COD＝ °．                          
又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，    
∴ △OEB≌△OFB（ ）（填推理依据）．
∴ ∠EOB＝∠FOB（ ）（填推理依据）．
∴ ∠AOB ＝＝30°．
∴∠AOB就是所求的角．
8．（2022·北京门头沟·八年级期末）列方程解应用题：
第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行．为了迎接冬奥会，某公司接到制作12000件冬奥会纪念品的订单．为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天制作多少件冬奥会纪念品？
9．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．

10．（2022·北京门头沟·八年级期末）阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
11．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．
（1）如图1，点D在线段BC上．
①根据题意补全图1；
②∠AEF ＝ （用含有的代数式表示），∠AMF＝ °；
③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．
（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．

12．（2022·北京门头沟·八年级期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么x ＝ ；
（3）如果，求x的值．
13．（2021·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）；          
（2）．
14．（2021·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）；            
（2）．
15．（2021·北京门头沟·八年级期末）解方程：．
16．（2021·北京门头沟·八年级期末）已知：，求代数式的值.
17．（2021·北京门头沟·八年级期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
18．（2021·北京门头沟·八年级期末）已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．

19．（2021·北京门头沟·八年级期末）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴ 直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（                  ）（填推理依据）．
∴ ∠PQA=∠PQB（                         ）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．

20．（2021·北京门头沟·八年级期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．

21．（2021·北京门头沟·八年级期末）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
22．（2021·北京门头沟·八年级期末）如果实数a，b满足的形式，那么a和b就是“智慧数”，用表示．
如：由于，所以是“智慧数”．
（1）下列是“智慧数”的是 （填序号）；
① 和，② 和，③ 和．
（2）如果是“智慧数”，那么“☆”的值为 ；
（3）如果是“智慧数”，
①y与x之间的关系式为 ；
②当x＞0时，y的取值范围是 ；
③在②的条件下，y随x的增大而 （填“增大”，“减小”或“不变”）．
23．（2021·北京门头沟·八年级期末）阅读材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．

小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．
（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：
①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；
②△BDE是三角形；
③BC的长为．
（2）参考小明的想法，解决下面问题：
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．
24．（2021·北京门头沟·八年级期末）已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．

25．（2019·北京门头沟·八年级期末）学习了“分式的加减法”的相关知识后，小亮同学画出了下图：

请问他画的图中①为 ，②为 .
结合上面的流程图，请列举出一组分式的加减法并且进行计算，同时满足如下条件：
（1）两个异分母分式相加；
（2）分母都是单项式；
（3）所含的字母不得多于2个.
列举并计算：
26．（2019·北京门头沟·八年级期末）计算：.
27．（2019·北京门头沟·八年级期末）计算：.
28．（2019·北京门头沟·八年级期末）计算：
29．（2019·北京门头沟·八年级期末）解方程：
30．（2019·北京门头沟·八年级期末）如果，求代数式的值.
31．（2019·北京门头沟·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°,在BC的延长线上截取CD=BA，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE.

（1）按照要求补全图形；
（2）求证：BC=DE.
32．（2019·北京门头沟·八年级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°，求∠CAE的度数.

33．（2019·北京门头沟·八年级期末）为纪念中华人民共和国成立70周年，某商家用1000元购进了一批文化衫，上市后供不应求，商家又用2300元够进了第二批这种文化衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了3元，该商家购进的第一批文化衫是多少件.
34．（2019·北京门头沟·八年级期末）信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义；
信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到；
信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或.
结合上述信息解决下面的问题：
问题1：如果.可得：；
问题2：解关于b的方程：.
35．（2019·北京门头沟·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC.点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD=BC，点E在AC边上，CE=AM，连接MD、BE.

（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB=5，BC=6，求出BM+BE的最小值.
36．（2019·北京门头沟·八年级期末）我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平移动，H1代表向右水平移动1个单位长度，H-1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动，S1代表向上移动1个单位长度，S-1代表向下移动1个单位长度，表示点P在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；表示点P在网格内先一次性上下移动，在此基础上再一次性水平移动.
（1）如图，在网格中标出移动后所到达的目标点；

（2）如图，在网格中的点B到达目标点A，写出点B的移动方法________________；

（3）如图，在网格内有格点线段AC，现需要由点A出发，到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.


参考答案：
1．（1）3；（2）
【分析】（1）根据同分母分式加法法则计算即可；
（2）根据分式的乘方和除法法则计算即可．
【详解】解：（1）原式，
，
．
（2）原式，
，
．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练掌握分式运算法则，准确计算．
2．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简绝对值，进而根据实数的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的除法运算进行计算即可
【详解】（1）解：原式，
．
（2）解：原式，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．
3．
【分析】方程两边同时乘以去掉分母，把分式方程化为整式方程，求出方程的解并检验后即得结果．
【详解】解：，
，
，
，
．
检验：当时，     
∴是原方程的解．
∴ 原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是解题的关键．
4．（1）OB=OC（或，或）；（2）见解析
【分析】（1）根据SAS添加OB=OC即可；
（2）由（1）得△AOB≌△DOC，由全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：（1）添加的条件是：OB=OC（或，或）
证明：在和中

所以，△AOB≌△DOC
（2）由（1）知，△AOB≌△DOC
所以，AB＝DC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键
5．5
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质进行化简，最后根据已知式子的值，整体代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
．
当时，，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质以及因式分解是解题的关键．
6．（1）②④；（2）见解析
【分析】（1）观察到分母不一样得经过②，作差得需要经过④；
（2）先通分，化为同分母分式，再相减．
【详解】解：（1）根据的形式可选②，
，选④，
故答案是：②④；
（2）原式，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式运算，解题的关键是掌握分式运算的基本步骤．
7．（1）见解析；（2）60°，SSS，全等三角形对应角相等
【分析】（1）根据题意，③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；则 ∠AOB就是所求的角．
（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可
【详解】（1）补全作图如下，

（2）证明：连接BE，BF．
∵ OC＝OD＝CD，
∴ △OCD是等边三角形．
∴∠COD＝60°．                          
又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，    
∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．
∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．
∴ ∠AOB ＝＝30°．
∴∠AOB就是所求的角．
故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等
【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．
8．200件
【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间−现在用的时间＝10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
【详解】解：设原计划每天制作x件冬奥会纪念品，则实际每天制作1.2x件冬奥会纪念品．
根据题意，得：．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天制作200件冬奥会纪念品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质得出∠EAD ＝∠ADE即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：（1）∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
设AE＝x，则DE＝x，，
∴，
∴x＝2．  
∴AE＝2．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是利用角平分线和平行线证明等腰，设未知数，依据勾股定理列方程．
10．（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）根据前3个例题写出一个符合上述运算特征的例子即可；
（2）根据材料中的进行计算即可；
（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可
【详解】解：（1）（答案不唯一）；
（2）；
故答案为：
证明：


=
故答案为：
（3）①；
，
，

，
．
②
则



【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的计算，二次根式的性质，掌握分式的性质，以及是解题的关键．
11．（1）①见解析； ②，；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）
【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF； ③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF＝MA＋ME；
（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．
【详解】解：（1）①补全图形如下图：

②∵∠CAE=∠DAC=，
∴∠BAE=30°+
∴∠FAE=2×（30°+）
∴∠AEF==60°-；
∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°，
故答案是：60°-，60°；
③MF＝MA＋ME．
证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG ．

∵点D关于直线AC的对称点为E，
∴△ADC ≌△AEC．
∴∠CAE ＝∠CAD ＝．
∵∠BAC＝30°，  
∴∠EAN＝30°＋．
又∵点E关于直线AB的对称点为F，
∴AB垂直平分EF．
∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN ＝30°＋，
∴∠F＝∠AEF＝．
∴∠AMG ＝．
∵AF＝AE，∠F＝∠AEF， GF＝ME，
∴△AFG ≌△AEM．
∴AG ＝AM．
又∵∠AMG＝，
∴△AGM为等边三角形．
∴MA＝MG．
∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．
（2），理由如下：
如图1所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
又∵∠NAM=30°，
∴AM=2MN，
∴AM=2NE+2EM =MF+ME，
∴MF=AM-ME；

如图2所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
∵∠NAM=30°，
∴AM=2NM，
∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，
∴MF=MA-ME；

综上所述：MF=MA-ME．
【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．
12．（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；
（2）根据得到，解分式方程即可求解；
（3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴=，
∴ ，
解得，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1；
（3）∵-2＜0，
∴=-2+x．
①当时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，但不符合，
∴舍去．
②当时，
，
解得：．    
经检验是原方程的解，且符合．
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论．
13．（1）；（2）
【分析】（1）先把化简为后，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）根据立方根和绝对值的代数意义化简，再计算即可．
【详解】解：（1）
，

（2）
，

【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】（1）根据分式减法运算法则，先通分，分母不变分子相减，计算得出答案即可．
（2）根据分式乘法运算法则进行约分得到最简分式即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式减法运算和分式乘法运算，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
15．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
，
，

经检验，是原方程的解.
∴ 原方程的解是
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16．1
【分析】先化简分式，再把代入原式即可求解.
【详解】解：原式=
=
=
∵
∴原式==1
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.
17．（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析
【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
【详解】（1）③；
（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
（3）原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．BC=CD,证明见解析（答案不唯一）．
【分析】已知两组对应边相等，则找另一组边相等或找另一组对应角相等均可证明△ABC≌△ADC．
【详解】解：若添加条件为：BC=CD,证明如下：
在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC（SSS）（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
19．（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；
（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．
【详解】（1）如图：

（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．
20．2
【分析】过点作于点，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，即，结合可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图所示．

，，
，．
，
，
．
在中，∵，
，即，
，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
21．纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元
【详解】试题分析：此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的，
即：
试题解析：设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元.
由题意得：
解得：x=0.18
经检验0.18为原方程的解
答:纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元.
考点：分式方程的应用

22．（1）①，③；`（2）；（3）①（）；②；③增大
【分析】（1）将三组数据逐一代入智慧数的式子可得出结论；
（2）满足新定义的等式，代入求出☆；
（3）①将x和y代入智慧数的式子整理可得；
②用x表示y，通过x＞0的条件可得出y的取值范围；
③将y=整理成1-的形式可得．
【详解】（1）①-1.2-6=-7.2=-1.2×6，①是智慧数；
②-（-3）=≠×（-3），②不是智慧数；
③--（-1）==-×（-1），③是智慧数．
故答案为①，③；
（2）∵是“智慧数”，
∴3-☆=3☆
4☆=3
☆=
（3）①∵是“智慧数”，
∴x-y=xy
x=xy+y
x=y（x+1）
y=（）．
②用x表示y，
y=x（1-y）
x=
∵x＞0，
∴＞0，
y（1-y）＞0，
∴．
③由①得，y==1-，
当x>0时，1+x>1，
当x增大时，1+x随x的增大而增大，
随x的增大而减小，
1-随x的增大而增大，
故答案为增大．
【点睛】本题主要考查了新定义下实数和分式方程的运算，熟练掌握实数运算和分式方程的性质是解题的关键．
23．（1）①全等；SAS；②等腰；③5.8；（2）4.3
【分析】（1）①根据题意可知△DEC和△DAC的关系是全等且判定依据为SAS；
②根据三角形的外角的性质可以说明△BDE是等腰三角形；
③根据全等三角形和等腰三角形的性质以及线段的和差可得BC=AD+AC，最后代入数据计算即可
（2）在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，得到△DEB≌△DCB，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，最后利用全等三角形的性质以及等量代换即可解答．
【详解】（1）①∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCE
∵CD=CD,∠ACD=∠DCE,EC=AC
∴△DEC≌△DAC（SAS）
故填：全等，SAS；
②∵△DEC≌△DAC
∴∠DEC=∠A=2∠B
∵∠DEC是△BDE的外角
∴∠DEC=∠B+∠EDB=2∠B
∴∠EDB=∠B
∴BE=DE
∴△BDE是等腰三角形
故填:等腰；
③∵EC=AC=3.6,BE=DE=AD=2.2
∴BC=EC+BE=3.6+2.2=5.8
故填：5.8；
（2）∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
又∵BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2=40°，
∴由三角形内角和定理得∠BDC=60°.
在BA边上取点E，使BE=BC，连接DE.
又∵BD=BD，
∴△DEB≌△DCB.
∴∠BED=∠C=80°，∠BDC=∠4=60°，BE=BC=2.
又∵∠ADC=180°，
∴∠3=60°.
∴∠3=∠4.
在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，
又∵DE=DE，
∴△BDE≌△FDE，
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，BD=DF=2.3.
又∵∠5=∠6+∠A，∠A=20°.
∴∠6=20°，
∴∠A=∠6，
∴AF=EF=2，
∴AD=BD+BC=4.3．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，弄清题意、正确的作出辅助线是解答本题的关键．
24．（1）作图见解析；（2）①，；②FA=FC +FE，证明见解析；（3）AF=FC-EF．
【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC，再分别以A、C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点E，可得等边△ACE，最后根据题意画出图形即可；
（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE；
②在FA上截取FG=EF，连接EG，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF，利用SAS可证明△AEG≌△CEF，即可得出AG=CF，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）由60°＜α＜90°可知点E在直线l右侧，根据题意画出图形，在FA上截取FG=EF，根据轴对称的性质可得AF⊥BC，BF=CF，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG是等边三角形，利用SAS可证明△AEF≌△CEG，可得FA=CG，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】（1）补全图形如下：

（2）①，
①∵AB、AC关于直线l对称，
∴∠BAD=∠CAD，AB=AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC=EC，
∵∠BAD=，
∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2-60°．
∵AB=AC，AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°-∠BAE）=120°-．
故答案为：2-60°，120°-
②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：
在FA上截取FG=EF，连接EG，
由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，
∴△EFG为等边三角形，
∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，
∵△AEC是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠AEC=∠GEF=60°，
∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△CEF中，，
∴△AEG≌△CEF，
∴AG=FC
∴FA=AG+FG=FC+FE，
（3）AF=FC-EF．
∵60°＜α＜90°，
∴如图所示，点E在直线l右侧，
在FA上截取FG=EF，连接EG，
∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∴∠ABC=∠ACB=90°-α，
由（2）可知∠ABE=120°-α，
∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，
∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，
∴∠AEF=∠CEG，
在△AEF和△CEG中，，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF=CG，
∴AF=FC-EF．

【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
25．①约分；②通分；详见解析
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【详解】由分式的运算法则可知：①约分；②通分；

=
=.
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
26．
【分析】根据二次根式的运算法则，绝对值的意义以及零次幂的运算法则对各项进行计算后，再进行加减运算即可得到结果.
【详解】，


【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
27．.
【分析】进行约分即可得到结果.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】此题考查了分式的乘法，掌握住约分是解题的关键.
28．
【分析】先进行二次根式的除法运算，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到答案.
【详解】
=
=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在运算时，要先把二次根式化为最简二次根式，再合并.
29．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边同乘以（x+1）（x-1）得：
   



经检验，是原方程的解．
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
30．
【分析】先根据分式的混合运算得到，再把变形为，再代入到化简结果中计算即可.
【详解】，
=
=
=
=
当，即时，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，在分式的化简过程中要注意运算顺序，化简后的最后结果要化成最简分式或整式.
31．（1）作图见解析（2）证明见解析
【分析】（1）由题意补全图形，如图所示，
（2）先判断出△ABC≌△CDE，再判断出BC=DE即可.
【详解】（1）补全图形，如图所示．

（2）证明：
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CE
∴∠ACE=90°,CA=CE.
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∵∠ABC=90°.
∴∠A+∠ACB=90°.
∴∠A=∠ECD
∵CD=BA
∴△ABC≌△CDE（SAS）
∴BC=DE
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ABC≌△CDE是解本题的关键．
32．∠EAC=71°
【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACE=71°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.
【详解】∵AC的垂直平分线交AC于点D

∴EA=EC
∴∠EAC=∠ECA
∵∠B=50°，∠BAC=21°
∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°
∴∠EAC=71°
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
33．第一批文化衫是50件
【分析】设未知量为x，根据“单价贵了3元”得出方程式，解出分式方程即可得出结论，此题得以解决．
【详解】设该商家购进的第一批纪念件，则第二批纪念件
由题意可得：
解得
经检验是原方程的根，并且符合实际意义
答：第一批文化衫是50件.
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批衬衫每件进价贵了3元列出关于x的方程是解题的关键．
34．，
【分析】问题1，根据信息2，方程两边同时平方求得a的值，再进行检验即可得解；
问题2，根据信息3，方程两边同时平方，再运用因式分解法解方程，最后再进行检验即可.
【详解】解：问题1：，
问题2：
两边同时平方得：



或
检验：当时，右边=﹣1，由于
∴不符合题意（舍去）
∴.
【点睛】考查了无理方程的知识，解题的关键是了解无理方程可能产生增根，必须检验．
35．（1）作图见解析（2）MD=BE,证明见解析（3）作图见解析, BM+BE的最小值为
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）利用SAS即可证明△EAB≌△DAC，可得结论：BE=CD；
（3）当点M在BD上时，根据两点之间线段最短，即可得到BM+BE会有最小值，最小值为BD.
【详解】（1）补全图形如图

（2）MD=BE
证明：延长AM交BC于点F（如图2）.

∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM.
∵AD⊥AB，
∴∠MAD+∠BAM=90°.
∴∠MAD+∠CAM=90°
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AF⊥BC.
∴∠C+∠CAM=90°.
∴∠MAD=∠C.
又∵AM=CE，AD=BC，
∴△AMD≌△CEB.
∴MD=BE.
（3）点M的位置如图
∵AB=5，BC=6，

∴AD=BC=6，.
∴
∴BM+BE的最小值为.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
36．（1）见解析；（2）或；（3）见解析.
【分析】（1）根据题意，表示点A先向右水平移动1个单位，再向上移动2个单位，据此即可标出点；
（2）由点B到达目标点A，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，据此解答即可；
（3）先找出全部符合题意的点D，再根据点的位置写出移动方法即可.
【详解】解：（1）目标点的位置如图1所示；

（2）由点B到达目标点A，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，所以点B的移动方法是：或；
故答案为：或；
（3）如图2所示，使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形的点D共有5个，分别是：D1、D2、D3、D4、D5；
∴A到D1的移动方法是：或；
A到D2的移动方法是：或；
A到D3的移动方法是：或；
A到D4的移动方法是：或；
A到D5的移动方法是：或.

【点睛】本题考查了网格中点的平移规律和等腰直角三角形的判定等知识，正确理解题意、弄清平移的方法和规律是解题的关键.