北京市门头沟区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市门头沟区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共49页。试卷主要包含了计算，在平面直角坐标系中，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
北京市门头沟区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京门头沟·九年级期末）计算：．
2．（2022·北京门头沟·九年级期末）下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程.
已知：如图1，在中，AB=AC.
求作：等腰的外接圆.

作法：
①如图2，作的平分线交BC于D；
②作线段AB的垂直平分线EF；
③EF与AD交于点O；
④以点O为圆心，以OB为半径作圆.
所以，就是所求作的等腰的外接圆.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）；
（2）完成下面的证明.
AB=AC，，
_________________________.
AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
OA=OB，OB=OC
（填写理由：______________________________________）
OA=OB=OC.
3．（2022·北京门头沟·九年级期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：

…
0
1
2
3
4
…


…
-3
-4
-3
0
5
…


（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标.
4．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．

5．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．

6．（2022·北京门头沟·九年级期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点处用高 1.5 米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．求永定楼的高．（结果保留根号）

7．（2022·北京门头沟·九年级期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．

(1)求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当矩形花园的面积为时，求的长；
(3)如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
8．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

9．（2022·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．

(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
(2)如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
(3)如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
10．（2022·北京门头沟·九年级期末）在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．

(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
11．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．

(1)如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______．
(2)如图2，如果、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）．
①线段；②线段；③线段
(3)如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．
(4)如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．
12．（2021·北京门头沟·九年级期末）计算：．
13．（2021·北京门头沟·九年级期末）已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
14．（2021·北京门头沟·九年级期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线与双曲线的两个交点分别为和，当时，直接写出的取值范围．
15．（2021·北京门头沟·九年级期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．

16．（2021·北京门头沟·九年级期末）如图，已知是的直径，点在的延长线上，，切于点，交于点，连接．

（1）求证：；
（2）连结，如果，，求的长．
17．（2021·北京门头沟·九年级期末）已知：抛物线经过点和．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点关于对称轴的对称点为，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

18．（2021·北京门头沟·九年级期末）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；

（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．
19．（2021·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点、、我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
  
已知：点，点：
（1）在点，，中，与点、为等距点的是______；
（2）点为轴上一动点，若、，三点为等距点，的值为______；
（3）已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得，，三点为等距点，直接写出的取值的范围．
20．（2019·北京门头沟·九年级期末）计算：．
21．（2019·北京门头沟·九年级期末）已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

22．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，3），B（，2），C（0，）．

（1）以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△；
（2）在（1）的基础上，
①以点C为旋转中心，把△顺时针旋转90°，画出旋转后的△；
②点的坐标为 ，在旋转过程中点经过的路径的长度为_____（结果保留π）．
23．（2019·北京门头沟·九年级期末）下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，△ABC．
求作：AB边上的高线．
作法：如图2，                                            
①分别以A，C为圆心，大于长                
为半径作弧，两弧分别交于点D，E；                  
② 作直线DE，交AC于点F；
③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；
④ 连接CM．                          
则CM 为所求AB边上的高线．                     
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．                                        
∴AC是⊙F的直径．                                                              
∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
24．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°，，求AD的长．

25．（2019·北京门头沟·九年级期末）已知二次函数．
（1）求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．
26．（2019·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A（2，a）．

（1）求与的值；
（2）画出双曲线的示意图；
（3）设点是双曲线上一点（与不重合），直线与轴交于点，当时，结合图象，直接写出的值．
27．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．

（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
28．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，是直径AB所对的半圆弧，点C在上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．

小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9

AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
0.00
0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…

在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
29．（2019·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线交于点B，C（点B在点C的左侧）.

（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
30．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．
         
（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设，当P和Q两点都在射线ON上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
31．（2019·北京门头沟·九年级期末）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．


（1）当⊙O的半径为2时，
①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=_______,d（B，⊙O）= ________；
②如果直线与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；
（2）⊙G的圆心G在轴上，半径为1，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．

参考答案：
1．
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：
．
．
【点睛】本题主要考查了特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．
2．（1）补全图形见解析；（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等.
【分析】按照题目步骤进行作图即可；
运用垂直平分线定理即可证明.
【详解】（1）补全图形；

（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等.
【点睛】本题考查的知识点是尺规作图和垂直平分定理，解题关键是熟记垂直平分线上点到线段两端距离相等.
3．（1）；（2）（3，0）和（-1，0）.
【分析】（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式；
（2）由二次函数表达式即可得．
【详解】（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线,顶点坐标为(1，-4).
设抛物线表达式为
将(0,-3)点代入，解得
∴二次函数的表达式为
（2）二次函数图象与轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.
【点睛】本题考查的知识点是求二次函数的解析式，解题关键是熟记二次函数的性质.
4．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD=，
∵CD⊥AB，
∴BD=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
5．（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4）
【详解】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．
∴n=﹣2×（﹣1）=2
∴点A的坐标为（﹣1，2）
∵点A在反比例函数的图象上．
∴k=﹣2
∴反比例函数的解析式是y=﹣．
（2）∵A（-1，2），
∴OA=，
∵点P在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时设P（x，0），
∵PA=OA，
∴，
解得x=-2；
当点P在y轴上时，设P（0，y），
∴，
解得y=4；
当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去．
∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）

6．永定楼的高为米．
【分析】根据题意，得，．设为，利用三角函数求出BC、AC，得到，求出x即可．
【详解】根据题意，得，．
设为．
在中，，
．    
同法可求．
．
解得．
．
答：永定楼的高为米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意确定直角三角形是解题的关键．
7．(1)
(2)的长为12米或16米
(3)当时，面积的最大值为195米

【分析】（1）依题意，按照矩形面积公式，列式化简，即可；
（2）对（1）中的关系式赋值，求解对应方程的解，即可；
（3）结合（1）中的函数关系式，及到墙边的距离限制进行求解，即可；
(1)
由题意得．    ∴ ．
(2)
由题意结合（1）可得：．
解得，．
答：的长为12米或16米．
(3)
结合（1）中的函数关系式可得：；
又树到墙的距离为m，所以，即为；
结合二次函数的性质，∴ 当时，面积的最大值为195米．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其最值得求解，难点在于结合实际情况进行解答；
8．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；
（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．
9．(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)

【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式可直接得出；
（2）根据题意抛物线的顶点恰好在x轴上及（1）中结论可得，求解然后代入抛物线解析式即可得；
（3）由（1）中结论对称轴为，，开口向上，考虑，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；根据距离抛物线对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可得．
（1）
解：由题意得．
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）
解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，
分两种情况进行讨论：
①当时，
∵ ，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
【点睛】题目主要考查抛物线的基本性质及顶点坐标，不等式组在二次函数中的应用等，理解题意，列出不等式组是解题关键．
10．（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示. 见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.
【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；
②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;
(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF
由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.
【详解】（1）①依题意，补全图形，如图1所示.

猜想：∠BAE=∠BCD.
理由如下：
∵CD⊥AB,AE⊥BC，
∴∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°.
∴∠BAE=∠BCD.
②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.

连接DF.
∵∠BAC=45°,CD⊥AB,
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴AD=CD.
又∠BAE=∠BCD,
∴△ADF≌△CDE（SAS）.
∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.
∵AB⊥CD,
∴∠ADF﹢∠FDC=90°.
∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形.
∴EF=.
∵AF+EF=AE,
∴CE+DE=AE.    
（2）依题意补全图形，如图3所示.

在CE上截取CF=AE，连接DF
∵CD⊥AD，AE⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD
∴∠EAD=∠DCF
∵∠BAC=45°
∴∠DCA=45°
∴AD=CD
又∵CF=AE
∴△ADE≌△CDF
∴ED=DF
∠ADE=∠CDF
∵∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
∴
∵CE=CF+EF
∴
∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.
故答案为：CE-DE=AE
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键.
11．(1)
(2)②，③
(3)
(4)

【分析】（1）作OD与相切，此时所得最小，根据切线的性质可得，再由含角的直角三角形的特殊性质可得，再由勾股定理可得OD长度，判断切点在OD上即可得
（2）根据勾股定理求出各点与原点的距离与最长切线距离比较即可得；
（3）线段BD绕点O的旋转路线的半径为1的上，当OD与相切时，由（1）可得：，根据题意即可确定t的取值范围，得出线段BD是的“关联线段”；
（4）当m取最大值时，M点运动最小半径是O到过点的直线l的距离m，根据题意可得，得出，即为m的最大值；当m取最小值时，作出相应图形，根据题意可得，再由，及点M所在位置，即可确定m的最小值，综合即可得．
(1)
解：如图所示：作OD与相切，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴此时的角度最小，且，
∴切点在线段OD上，
∴OA的关联角为；
(2)
解：如图所示：连接，，，，

∵，，
∴，
∴切点不在线段上，不是的“关联线段”；
∵，，
∴，，
∵，
∴是的“关联线段”；
∵，
∴是的“关联线段”；
(3)
解：，，线段BD绕点O的旋转路线的半径为1的上，

当OD与相切时，
由（1）可得：，
∴当时，线段BD是的“关联线段”，
故答案为：；
(4)
解：如图所示：当m取最大值时，

M点运动最小半径是O到过点的直线l的距离是m，
∵，，
∴，
∴，
∴m的最大值为4，
如图所示：当m取小值时，

开始时存在ME与相切，
∵，，
∴，
∵，及点M所在位置，
∴，
综上可得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系，线段旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图象是解题关键．
12．4
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
13．（1）   （2）见解析
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用二次函数解析式找出顶点坐标和该函数与x轴的交点，画出二次函数图象即可．
【详解】解：（1）.
（2）∵ ，
∴ 顶点坐标为 (1,−4) ，对称轴方程为 x=1 ．
∵ 该函数的开口向上，顶点坐标为 (1,−4) ，
与x轴的交点为 (3,0) ， (-1,0) ，
∴ 其图象为：

【点睛】本题考查二次函数的配方法，用特殊点画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
14．（1）   （2）或
【分析】（1）将点P代入，可求得m的值，从而可得反比例函数的解析式．
（2） 将点P代入，可求出k的值．然后根据两解析式组成的方程组可求得点的坐标，结合图像，当时，即直线的图像在图像的上方，由P、的坐标可得到x的取值范围．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，

由得.
反比例函数的解析式为.
（2）点在反比例函数的图象上，
，

由 得
当时，即直线的图像在图像的上方
或.
【点睛】本题考察反比例函数解析式的求法及比较大小问题，利用好数形结合思想是解决本题的关键．
15．米
【分析】此题根据题意作，利用和 分别求出PB，AP即可求出AB的长．
【详解】解：过点作于点，

在中，，，，，

在中，，，

米．
【点睛】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．
16．（1）见解析  （2）
【分析】（1）连接OD，由OA=OD，BA=BE，得，从而OD//BE；由PD切圆O于点D得，从而，即BE⊥PC；
（2）在Rt△PDO中，先求出∠POD=60°，再求出OD，OP，PB，在Rt△PCB中，求出PC，再求CD，最后在Rt△CDO中，利用勾股定理求出OC.
【详解】（1）证明：连结.

，，
切圆于点，，

，，，
，
.
（2）解：，，
，
，，
，，
，.
，，，
，，
（舍负）.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
17．（1）  （2）
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先根据点B坐标和对称轴求出点E坐标，然后通过图象求出临界状态时a的值，即可得到范围．
【详解】解：（1）把和分别代入，
得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2），对称轴是直线，
点关于对称轴的对称点点坐标为，
如图，当过、点时为临界点，

代入，则，
代入，则，
．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握二次函数解析式的求解方法，函数图象和已知线段有交点时函数解析式中系数范围的求解方法．
18．（1）见解析（2）见解析（3）.
【分析】（1）按照题目中的条件结合图形旋转的性质补全图形即可；
（2）要证明成立，连接BE，根据条件证明≌即可；
（3）由（2）可得：EG=BC,BG=EC,所以AE+BG=AE+EC=AC,然后在等腰三角形ABC中，利用等腰三角形的性质和勾股定理可得AC=BC,从而得出结论.
【详解】（1）补全图形，如图1所示．                    

图1                                            图2
（2）方法一：
证明：连接BE，如图2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴．
．
由菱形的对称性可知，
，
．
．
．
，
．
．
在与中，

∴≌．
．
方法二：
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．

图3
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴．
．
由菱形的对称性可知，
，．
，
．
．
在与中，

∴≌．
．
（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC

在三角形ABC中，BA=BC，

．
考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰三角形的性质；4.勾股定理.
19．（1）点；  （2）-2或3 ； （3）或．
【分析】（1）根据“等距点”的定义即可判断；
（2）根据“等距点”的定义构建方程即可解决问题；
（3）根据“等距点”的定义画出图形即可．
【详解】解：（1）已知，点，，，中，代入R、S、T，得
3-(-2)=5，5-0=5，符合等距点；3-(-2)=5,1-(-2)=3，不符合等距点；1-(-4)=5，1-(-3)=4不符合等距点；
∴符合等距点的是R(3,5)
故答案为R．
（2）∵A、B、P为等距点，∴横距=3=纵距，
①t＞1时，t-0=1-（-2），解得t=3
②0＜t＜1时，纵距=1(舍去)
③t＜0时，1-t=1-（-2），解得t=-2，
故答案为-2或3．
（3）由A(-2，0)，D(2，0)，圆心为，半径为1，
∴Q点的横坐标的范围为：，
∴Q点的横坐标不是最大或最小，
∴横距=4，则纵距也等于4，
即圆经过y=4或y=-4的直线，故或
画出如图所示的图像.

【点睛】本题考查了“等距点”的定义，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用．
20．3
【分析】根据实数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】


【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值等知识，掌握相关知识按照实数的混合运算法则进行计算是解题的关键.
21．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
22．（1）画图见解析；（2）①画图见解析；② （4，-2），.
【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；
②在坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.
【详解】解：（1）如图所示：△为所求；
（2）①如图所示，△为所求；
②由图可知点的坐标为（4，-2）；
∵= =5
在旋转过程中点经过的路径的长度为： =.
故答案为：（4，-2），.

【点睛】本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.
23．（1）补图见解析；（2）90，直径所对的圆周角是直角.
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据线段的垂直平分线的性质以及圆周角定理证明即可．
【详解】解：（1）如图线段CM即为所求．

证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．                                        
∴AC是⊙F的直径．                                                              
∴∠AMC==90°（直径所对的圆周角是直角 ），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，∠C = 60°，，则可求出DE,由已知可推出∠DBE =∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角关系依次求出BD，AD即可.
【详解】过点D作DE⊥BC于E

∵ 在Rt△CDE中，∠C = 60°，，
∴，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt△DBE中，∠DEB = 90°，，
∴ ，
又∵ 在Rt△ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，正确作出辅助线是解题的关键.
25．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）先计算对应一元二次方程的根的判别式的值，然后依此进行判断即可；
（2）先把m看成常数，解出对应一元二次方程的解，再根据该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数列出不等式，求出m的取值范围，再把这个范围的整数解写出即可.
【详解】（1）由题意，得 △=，
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
（2）∵ ，
∴ ，．
∵该函数的图象与轴交点的横坐标均为正数，
∴ ，
即．
∵ m取最小整数；
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把二次函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键.
26．（1），；（2）示意图见解析；（3）6，．
【分析】（1）把点A（2，a）代入直线解析式求出a,再把A（2，a）代入双曲线求出k即可；
（2）先列表，再描点，然后连线即可；
（3）利用数形结思想观察图形即可得到答案.
【详解】（1）∵ 直线过点，
∴ ．
又∵ 双曲线（）过点A（2，2），
∴ ．
（2）列表如下：
x
…
-4
-2
-1
1
2
4
…
y
…
-1
-2
-4
4
2
1
…

描点，连线如下：

（3）6，．
①当点P在第一象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则△BDP∽△BCA，
∴ =
∵点A（2，2），
∴AC=2,OC=2.
∴PD=1.
即m=1，
当m=1时，n=.
即OD=4，
∴CD=OD-OC=2.
∴BD=CD=2.
∴OB=BD+OD=6
即b=6.
②当点p在第三象限时，如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，则△BDP∽△BCA，
∴ =
∵点A（2，2），
∴AC=2,OC=2.
∴PD=1.
∵点p在第三象限，
∴m=-1,
当m=-1时，n=-4，
∴OD=4，
∵BD=OD-OB=4+b,CD=OC+OB=2-b,
∴
解得，b=-2.
综上所述，b的值为6或-2.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握相关知识是解题的关键.
27．（1）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=1，从而求出BE=3．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（1）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．

∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有1个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
   ∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
   在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=1．
∴ BE=3．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
28．（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2，．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE=AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=x．
【详解】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：

（3）当AE=AD时，y=x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点睛】本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
29．（1）顶点P的坐标为；（2）① 6个；② ，．
【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，则＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-，则-1≤a