上海市静安区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份上海市静安区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共33页。试卷主要包含了计算，已知线段x、y满足求的值，已知等内容，欢迎下载使用。

上海市静安区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2021·上海静安·九年级期末）计算：．
2．（2021·上海静安·九年级期末）已知线段x、y满足求的值．
3．（2021·上海静安·九年级期末）如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．

4．（2021·上海静安·九年级期末）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1'，其他近似数取四个有效数字）．

5．（2021·上海静安·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE•AC．求证：

（1）△BCD∽△CDE；    
（2）．
6．（2021·上海静安·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．

7．（2021·上海静安·九年级期末）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．

8．（2022·上海静安·九年级期末）计算：
9．（2022·上海静安·九年级期末）如图，在Rt中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长．

10．（2022·上海静安·九年级期末）我们将平面直角坐标系中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形，那么图形称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为，点B的坐标为（0，1），关于原点O的“垂直图形”记为，点A、B的对应点分别为点．

(1)请写出：点的坐标为____________；点的坐标为____________；
(2)请求出经过点A、B、的二次函数解析式；
(3)请直接写出经过点A、B、的抛物线的表达式为____________．
11．（2022·上海静安·九年级期末）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）

12．（2022·上海静安·九年级期末）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．

(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
13．（2022·上海静安·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D．

(1)求直线AB的表达式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标．
14．（2022·上海静安·九年级期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．

(1)求证：；
(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；
(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．
15．（2020·上海静安·九年级期末）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．
16．（2020·上海静安·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=20，， CD⊥AB，垂足为D．
（1）求BD的长；
（2）设， ，用、表示．

17．（2020·上海静安·九年级期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．


18．（2020·上海静安·九年级期末）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）  
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）

19．（2020·上海静安·九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．

20．（2020·上海静安·九年级期末）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．

21．（2020·上海静安·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．


参考答案：
1．．
【分析】将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】此题考查不同三角函数值的混合运算，二次根式混合运算，熟记各三角函数值是解题的关键．
2．．
【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为，然后解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
．
∵，∴，∴．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴．
【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x、y的非负性．
3．（1）；（2）．
【分析】（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；
（2）设反比例函数的解析式为，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此题即可得解．
【详解】解：（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点H．

∵BE∥y轴，
∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．
∵点A、B的横坐标分别为6、2，
∴AH=4．
在Rt△ABH中，∵BH=．
∴．
（2）设反比例函数的解析式为，
设点A（6，），则B（2，），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质及求锐角的三角函数值，掌握反比例函数的图象与性质并能结合反比例函数图象上的点的坐标特点求出函数表达式与角的三角函数值是解题的关键．
4．无障碍通道的坡度约为1∶8.693，坡角约为6°34'．
【分析】延长DC、AB相交于点E．由题意可知∠CEB=∠CBE，所以CE=CB，即可求出DE长，再利用勾股定理即可求出AE的长度，最后利用坡度计算公式即可求解．
【详解】延长DC、AB相交于点E，如图．
∵斜坡BC、CD的坡度相同，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴DE=DC＋CB=7米．
在中，米，
∴坡度．
∵，∴∠AED≈6°34'．
∴无障碍通道的坡度约为1：8.693，坡角约为6°34'．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用以及勾股定理．利用勾股定理求出AE的长度是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）由，易证得，即可得，又由，易证得，则可证得；
（2）由，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由，可得，即可得，继而得到结论．
【详解】证明：（1），
，
是公共角，
，
，
，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；
（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；
（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．
【详解】（1）∵设直线与x轴、y轴分别交于点A（2m，0）、B（0，m），
∴OA=2m，OB=m．
∵∠OCA=∠OAB，
∴tan∠OCA=tan∠OAB==．
∵（a≠0）经过点C（0，4），OC=4，
∴OA=2，OB=1，
∴直线AB的表达式为．
（2）过点D作DG⊥x轴，垂足为G．
∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，
∴△DGA≌△AOC，
∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，
∴点D（，2）．
∵抛物线经过点A、D，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．

（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H．
∵EF∥OC，
∴，AH=，OH=，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．
当时，，抛物线的顶点坐标为．
．
【点睛】本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．
7．（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
【分析】（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【详解】解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．

∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．
8．
【分析】先将特殊角的锐角三角函数值代入，再化简，即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
9．CH的长为，AB的长为．
【分析】过D作DE⊥AC于E可得 AE=CE，然后求出DE，解直角三角形求出AE，进而求得AC，再运用余弦的定义求得AB，最后根据三角形的面积公式求出CH即可．
【详解】解：过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE//BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴CE=AE，即AC=2CE
∵，
∴DE=BC=，
∵
∴设CE=3x，CD=4x，
由勾股定理得：
∴=，即x=
∴
∴AC=AE+CE=
∵,即
∴AB=
∵
∴，解得：CH=．
∴CH的长为，AB的长为．


【点睛】本题主要考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确求出AC的长是解答本题的关键．
10．(1)（1，2）；（1，0）
(2)
(3)

【分析】（1）根据旋转的性质得出，；
（2）利用待定系数法进行求解解析式即可；
（3）利用待定系数法求解解析式即可，或利用与（2）中对对称轴相同，开口方向相反可以快速得出答案．
（1）
解：根据题意作下图：

根据旋转的性质得：，，
，，
故答案是：（1，2）；（1，0）；
（2）
解：设过点A、B、的二次函数解析式为：，
将点分别代入中得：
，
解得：，
；
（3）
解：设过点A、B、的二次函数解析式为：，
将点分别代入中得：
，
解得：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，利用待定系数法求解解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式．
11．金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】解：∵FGHI是正方形，点B在正方形的中心，BC⊥HG，
∴BK∥FG，BK==×160=80，
∵根据同一时刻物高与影长成正比例，
∴，即，
解得：AB=米，
连接AK，
=1.833．
∴金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．


【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
12．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据抛物线经过点A（2，0），可得抛物线解析式为，再求出点B的坐标，即可求解；
（2）先求出点D的坐标为 ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD为直角三角形，即可求解；
（3）先求出直线BD的解析式，可得到点P的坐标为 ，然后分两种情况讨论即可求解．
(1)
解：∵抛物线经过点A（2，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
把A（2，0），，代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为；
(2)
如图，连接BD，AD，

∵，
∴点D的坐标为 ，
∵A（2，0），，
∴ ，
∴ ，
∴△ABD为直角三角形，
∴；
(3)
设直线BD的解析式为 ，
把点，代入得：
，解得： ，
∴直线BD的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB，
如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1，

∵△ABP∽△ABC，
∴∠ABD=∠BCQ，
由（2）知，
∴，
∴ ，
∴CQ=9，
∴OC=OQ+CQ=10，
∴点C的坐标为 ；
当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合，
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；
（2）如图，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得，根据△ABE∽△AED且相似比为3:2，可求得，由可求答案；
（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE=，进而得出，再利用△ADE∽△ECD，进而求得：，再结合题意得出答案．
(1)
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵
∴
∴△ABE∽△AED
∵∠ABE=∠ADE
∴
∴，∠AED=∠CDE
∴∠ADE=∠DCE，
∴△ADE∽△ECD
∴
∴
(2)

如图，过点B作BG⊥AE
∵BE=9=AB
∴△ABE是等腰三角形
∴G为AE的中点，
由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，
∵，AB=BE=9，AE=6
∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3
∴△ADE≌△ECD（SAS）
在Rt△ABG中，
BG=
∴
∵△ABE∽△AED且相似比为3:2
∴
∴=
∴
(3)
由（1）知：△ABE∽△AED
∴
∵BE=x，AB=9,AE=6，
∴
∴
由（1）知： ,
∴
∵△ADE∽△ECD








y关于x的函数解析式为
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15．
【分析】利用分式的乘法和除法进行化简，再把x、y的值代入计算，即可得到答案.
【详解】解：原式＝＝．
当x=sin45°=，y=cos60°=时，
原式＝．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的混合运算，解题的关键是正确的进行化简，掌握特殊角的三角函数值.
16．（1）9；（2）
【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有tan∠DCB=tan∠A，即可求出BD的长度；
（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出.
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2） ∵，
∴，
又∵，  
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.
17．（1）；（2）（-6，49）；（3）答案见解析.
【分析】（1）由对称轴为，即可求出b的值，然后代入即可；
（2）把代入解析式，求出m，利用抛物线的对称轴性质，即可得到点坐标；
（3）选取对称轴左右两边的几个整数，计算出函数值，然后画出抛物线即可.
【详解】解：（1）∵对称轴为，
∴．
∴；
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，
∴当x=8时，．
∴点A（8，49）．
∴ 点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．
（3）列表，如下：

抛物线图像如下图：

【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像的画法.
18．（1）167.79；（2）能.理由见解析.
【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．由三角函数表示出CD和AD的长，然后列出方程，解方程即可；
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．利用解直角三角形求出DF的长度，然后得到AF的长度，与AB进行比较，即可得到答案.
【详解】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．

∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴（米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．

在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°=DM≈≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】本题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；
（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.
【详解】证明：（1）∵OD2 =OE · OB，
∴．
∵AD//BC，
∴．
∴．
∴ AF//CD．
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）∵AF//CD，
∴∠AED=∠BDC，．
∵BC=BD，
∴BE=BF，∠BDC=∠BCD
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵AE·AF=AD·BF，
∴．
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD．
∴．
∴△ABE∽△ADC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.
20．（1）；（2）；（3）E（2，）
【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；
（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.
【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，

解得，
∴此抛物线的表达式是：．
（2）过点D作DH⊥BC于H，

在△ABC中，设AC边上的高为h，则，
又∵DH//y轴，
∴．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴tan∠DBC=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，

∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴．
∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得 ，解得，
∴直线AF的解析式为：，
将x=2代入直线AF的解析式得：，
∴E（2，）.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.
21．（1）△ABE、△ADC，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，即可找出与△ACD相似的三角形；
（2）由相似三角形的性质，得，由DE=3CE，先求出AD的长度，然后计算得到；
（3）由等腰直角三角形的性质，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后证明△ADE∽△DFA，得到，求出DF的长度，即可得到.
【详解】解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2 =BE · DC ，
∴．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，，
∴△ABE∽△DCA．
∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA ．
（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，
∴，
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，
∴ ，解得（负值已舍）
∴；
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45° ，
∴∠DAE=∠C=45°，
∵DG⊥AE，
∴∠DAG=∠ADF=45°，
∴AG=DG=，
∴，
∵∠AED=∠DAC ，
∴△ADE∽△DFA，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件.