重庆市巴南区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份重庆市巴南区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共37页。试卷主要包含了解下列方程等内容，欢迎下载使用。

重庆市巴南区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·重庆巴南·九年级期末）解下列方程：
(1)2x2＋3x＋1＝0；
(2)x（x−3）＝3−x．
2．（2022·重庆巴南·九年级期末）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为，这样确定了点P的坐标（, ）
(1)求小红摸出的小球上标的数为方程的解的概率；
(2)请你用列表法或画树状图法，求点P（, ）在函数图象上的概率．
3．（2022·重庆巴南·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．

(1)求证：△CFD≌△ABC；
(2)连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．
4．（2022·重庆巴南·九年级期末）在数学的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“竞合数”．定义：对于一个三位正整数，把它的百位与十位上的数字分别作为一个两位数的十位与个位的数字，如果这个三位整数能被3整除，且这个两位数能被2整除，那么这样的三位正整数称为“竞合数”．例如：三位整数246按定义得到的两位整数是24，因为246能被3整除，24能被2整除，所以246是一个“竞合数”．
(1)判断365和726是不是“竞合数”?并说明理由；
(2)已知一个三位正整数的百位上的数字是2，十位上的数字是，个位上的数字是，且这个三位正整数是“竞合数”，若式子的值是一个完全平方数，求出这个三位正整数．
5．（2022·重庆巴南·九年级期末）在初中函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程. 小涵根据已学知识对函数的图象与性质进行了探究，其探究过程中列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
b
-1
-3
3
2

3
…

(1)请写出，的值；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；

(3)结合你所画的函数图象，直接写出时自变量的取值范围.
6．（2022·重庆巴南·九年级期末）“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入关键阶段. 我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同的A、B两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元．
(1)最多能购买A型号地砖多少块？
(2)为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低，B型号地砖的售价降低10%．由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买量在（1）中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了，B型号地砖的购买量相应减少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还节省了10%，求的值．
7．（2022·重庆巴南·九年级期末）已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（，0）、B（2，0），与y轴交于点C，直线经过两点A、C．

(1)求，的值；
(2)如图1，点在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC的面积最大时，求点的坐标．
(3)如图2，将已知抛物线向左平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．
8．（2022·重庆巴南·九年级期末）在△ABC中，AB = BC，∠ABC=90°．

(1)如图1，已知DE⊥BC，垂足为D，若∠DBE=60°，AC=，BD=，求线段AE的长；
(2)如图2，若点D在△ABC内部，点F是CD的中点，且∠BAD =∠CBF，求证：∠DBF=45°；
(3)如图3，点A与点关于直线BC对称，点D是△内部一动点，∠ADC =90°．若AC=4，则线段的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．
9．（2020·重庆巴南·九年级期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
10．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，为内一点，，，将绕着点顺时针旋转能与线段重合．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
11．（2020·重庆巴南·九年级期末）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率；
（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
12．（2020·重庆巴南·九年级期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“余二数”．
定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，若这个数除以4，余数为2，则称这个数为“余二数”．
例如：因为，所以625不是“余二数”：因为，所以126是“余二数”．
（1）判断722和119是否为“余二数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数是“余二数”，且的百位数字比十位数字大6，且各个数位上的数字之和是某个整数的平方，求出满足条件的所有“余二数”．
13．（2020·重庆巴南·九年级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小哲根据已学的函数知识对函数的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：























（1）请写出和的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

14．（2020·重庆巴南·九年级期末）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，某生鲜店销售两种不同口味的香肠，一种是广味香肠，另一种是川味香肠．其中“广味香肠”标价每千克50元，“川味香肠”标价每千克60元．
（1）某天，若该生鲜店售出“广味香肠”和“川味香肠”两种香肠共600千克，且销售总额不低于33000元，则这一天该生鲜店销售“川味香肠”至少多少千克？
（2）12月的第一周，该生鲜店按标价售出“广味香肠”300千克，“川味香肠”400千克．生鲜店根据市场情况，第二周适当调整两种香肠的售价，“广味香肠”的售价比第一周的标价增加了，销量与第一周保持不变；“川味香肠”的售价比第一周的标价减少了，销量比第一周增加了；结果第二周两种口味香肠的销售总额比第一周增加了且，求的值．
15．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值．
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线（），平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，在中，，，点为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点．
（1）若，，求线段的长；
（2）猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

17．（2020·重庆巴南·九年级期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，在中，，，点在边上，且线段绕着点按逆时针方向旋转能与重合，点是与的交点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2020·重庆巴南·九年级期末）一个不透明的布袋里有材质、形状、大小完全相同的4个小球，它们的表面分别印有1、2、3、4四个数字（每个小球只印有一个数字），小华从布袋里随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为，小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球，把该小球上的数字记为．
（1）若小华摸出的小球上的数字是2，求小刚摸出的小球上的数字是3的概率；
（2）利用画树状图或列表格的方法，求点在函数的图象上的概率．
20．（2020·重庆巴南·九年级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，．

（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已如函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
21．（2020·重庆巴南·九年级期末）若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为、十位上的数字为，三位数是“差数”，我们就记：，其中，，．例如三位数514．∵，∴514是“差数”，∴．
（1）已知一个三位数的百位上的数字是6，若是“差数”，，求的值；
（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为，请判断是不是“差数”，若是，请求出；若不是，请说明理由．
22．（2020·重庆巴南·九年级期末）为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元．
（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？
（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠元，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求的值．
23．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，四边形是平行四边形，，，点为边的中点，点在的延长线上，且．点在线段上，且，垂足为．

（1）若，且，，求的长；
（2）求证：．
24．（2020·重庆巴南·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．

（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)，
(2)，

【分析】（1）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可．
(1)
解：∵，
∴，
解得，；
(2)
解：∵，
∴，
∴
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．(1)
(2)

【分析】（1）小红从1、2、3、4中随意摸出一球，共有4种可能出现的结果，而方程的解有两种情况，可求出相应的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出点在函数图象上的结果，进而求出相应的概率即可．
(1)
解：小红从1、2、3、4中随意摸出一球，共有4种可能出现的结果，而方程的解为，，
所以小红摸出的小球上标的数为方程的解的概率为；
(2)
点所有可能出现的结果如下：

共有12中可能出现的结果情况，其中，，，，在函数图象上，
所以点在函数图象上的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的前提．
3．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证；
（2）延长交于点，可证，由一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形．
(1)
解：证明：点是边中点，
，
，
，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
；
(2)
延长交于点，

由（1）得，，
，
，
，

，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．
4．(1)不是，理由见解析
(2)207或225或243或261

【分析】（1）根据“竞合数”的定义直接判断，即可得出答案；
（2）先根据是完全平方数求出或9或16，再根据三位正整数是“竞合数”，求出，即可得出答案．
(1)
解：365不是“竞合数”，
理由：余2，
不能倍3整除，
不是“竞合数”；
726是“竞合数”，
理由：，
能被3整除，
，
能被2整除，
是“竞合数”；
(2)
根据题意得，，，
，
的值是一个完全平方数，
或9或16，
三位正整数是“竞合数”，
是3的倍数，
，
，
，
，
，
三位正整数的百位上的数字是2，十位上的数字是，个位上的数字是，且这个三位正整数是“竞合数”，
能被2整除，
或2或4或6，
或5或3或1，
三位正整数为207或225或243或261．
【点睛】此题主要考查了新定义，完全平方数，整除问题，求出是解本题的关键．
5．(1)，
(2)见解析
(3)或或

【分析】（1）把，代入即可求得的值，把代入即可求得的值；
（2）描点、连线即可得到函数图象，根据图象即可写出函数的一条性质；
（3）根据图象即可求得结果．
（1）
解：把，代入得：，则；
把代入得：；
故答案为：，；
（2）
函数图象如图：
一条性质：该函数有最小值；

（3）
由图象可知，
当时自变量的取值范围是或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
6．(1)200块
(2)25

【分析】（1）设购买型号地砖块，根据“采购地砖的费用不超过3200元”列不等式求解即可；
（2）根据“两种地砖的总费用为28800元”列方程求解即可．
(1)
解：设购买型号地砖块，
由题意得80，
解得，
答：最多能购买型号地砖200块；
(2)
由题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
答：的值为25．
【点睛】本题考查了一元一次不等式及一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的不等或等量关系，这是列不等式和方程的依据，难度不大．
7．(1)a=，b=
(2)，
(3)或或或

【分析】（1）将、代入，即可得的值为，的值为；
（2）连接，过作轴于，作轴于，设，则，，而，故四边形的面积最大即是四边形面积最大，又，可得时，最大，即四边形的面积最大，，；
（3）由，得原抛物线对称轴是直线，将向左平移个单位，再向下平移2个单位得：，即可得，，设，则，，，①当时，，，可解得，此时不能构成三角形，舍去，②当时，，解得或，③当时，，解得或．
(1)
解：将、代入得：
，解得，
的值为，的值为；
(2)
连接，过作轴于，作轴于，如图：

设，则，
由（1）知抛物线为，令得，
，
，
四边形的面积最大即是四边形面积最大，
而，
时，最大，即四边形的面积最大，
此时，；
(3)
，
原抛物线对称轴是直线，
将向左平移个单位，再向下平移2个单位得：，
在中令得，
，，
而新抛物线的对称轴是直线，
设，由（2）知，；
，，，
①当时，，
解得，
，此时为中点，不构成三角形，故舍去；
②当时，，
解得或，
或，
③当时，，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、四边形面积、等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．
8．(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）如图1中，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解决问题．
（2）如图2中，在上取一点，使得，并且延长至点，使，连接，．利用全等三角形的性质证明，再证明即可解决问题．
（3）如图3中，取的中点，连接，，过点作于．解直角三角形求出，，判断出当，，共线时，的值最小于是得到结论．
(1)
解：如图1中，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，

，
在中，，
，，
在中，，
，
在中，；
(2)
如图2中，在上取一点，使得，并且延长至点，使，连接，．

在和中，
，
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
又是的外角，
，
，
，
；
(3)
如图3中，取的中点，连接，，过点作于．

，，，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时，
故线段的长最小值是．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（1）；（2），．
【分析】（1）整理为一元二次方程的一般形式，用因式分解法求解；
（2）利用配方法求出解即可．
【详解】解：（1）整理得：，
，
解得：；
（2）整理得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是hi熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
10．（1）证明见解析，（2）50°．
【分析】（1）证△AEB≌△ADC即可；
（2）由全等可知∠AEB=∠ADC=115°，依据等腰三角形的性质求出∠AED即可．
【详解】解：（1）证明：由旋转可知，AE=AD，∠EAD=∠BAC=50°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴△AEB≌△ADC，
∴．
（2）∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=115°，
∵AE=AD，∠EAD=50°，
∴∠AED=，
∠BED=115°-65°=50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是抓住旋转的性质，联系全等三角形、等腰三角形解题．
11．（1）；（2）小明获胜的概率大．
【分析】（1）先解方程，根据概率公式即可得出概率；
（2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可．
【详解】解：（1）当代数式的值为0时，
，
解得，
所以，从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率为：；
（2）列表如下：
n         m
2
3
4
5
3
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)

总共有12种等可能结果，其中都是该方程的解的可能性有4种，
故小明获胜的概率为：；
都不是该方程的解的可能性有2种，
故小张获胜的概率为，
所以，小明获胜的概率大．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键．
12．（1）722是“余二数”，119不是“余二数”，理由见解析；（2）718,826,934．
【分析】（1）依据“余二数”的定义判断即可；
（2）先设十位为x，个位为y，依据题意列出方程，分析求解即可．
【详解】解：（1）722÷4=180…2，所以722是“余二数”，
119÷4=29…3，所以119不是“余二数”；
（2）设这个三位自然数的十位为x，个位为y，则百位为x+6，
∴0＜x＜4，各个数位上的数字之和为2x+y+6,
∵各个数位上的数字之和是某个整数的平方，
若为3的平方，则2x+y+6=9，即2x+y=3符合条件的数字为，
这个数为711，
∵711÷4=177…3，
∴711不是“余二数”，
若为4的平方，则2x+y+6=16，即2x+y=10，符合条件的数字为或或，
对应的数依次为：718,826,934,
∵718÷4=179…2，826÷4=206…2，934÷4=233…2,
∴满足条件的数为718,826,934．
【点睛】本题考查新定义下的运算，二元一次方程的应用．能读懂题意，掌握“余二数”的判断方式是解题关键．
13．（1），；（2）图象见解析；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法可求的a的值，再将（3，b）代入即可求得b的值；
（2）利用描点法即可画出函数图象；
（3）观察图象分析，函数图象在的图象上面（或重合）的部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：（1）将（0，1）代入
，，
∴，
将（3，b）代入
；
（2）函数图象如下：

（3）函数图象在的图象上面（或重合）的部分对应的x的取值范围为：或．
∴的解集为：或．
【点睛】本题考查多函数综合，反比例函数的性质．掌握待定系数法是解决（1）的关键；（2）中注意画函数图象时要用光滑的曲线；（3）中注意数形结合思想的运用．
14．（1）至少销售“川味香肠”300千克．（2）25．
【分析】（1）设销售“川味香肠”x千克，则销售“广味香肠”（600﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合销售总额不低于33000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）设销售“川味香肠”x千克，则销售“广味香肠”（600﹣x）千克，
依题意，得：50（600﹣x）+60x≥33000，
解得：x≥300．
答：至少销售“川味香肠”300千克．
（2）依题意，得：50（1+a%）×300+60（1﹣a%）×400（1+a%）＝（50×300+60×400）（1+），
整理，得：2.4a2﹣60a＝0，
解得：a1＝0，a2＝25．
答：a的值为25．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
15．（1），；（2）最大为；（3）存在，，，．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得，的值；
（2）过P作PM//y轴，交BC于M，利用割补法即可表示的面积，再根据二次函数的最值即可求得最大值；
（3）分①当BD为边时和②当BD为对角线时，两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）将，代入得
，解得，
即，；
（2）设P的坐标为，

在抛物线，
令，可得，故，
设BC为，
将B（-3,0），代入
，解得，
∴直线BC的解析式为：，
过P作PM//y轴，交BC于M，
则M(m，m+3)，
故，
，
当时，最大为；
（3）向左平移2个单位后，，
联立，解得，
∴，
∵，
∴
①当BD为边时，，
设，则，
即，解得，，
∴，；
②当BD为对角线时，,
，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在，，，．

【点睛】本题考查二次函数综合．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）掌握割补法求面积是解题关键；（3）需注意分情况讨论和两点之间距离公式．
16．（1），（2）BD=2FA，证明见解析（3）．
【分析】（1）由,可求AC，再根据，求出AD即可；
（2）延长BA至M,使AM=AB，连接ME、MC，证ME=BD即可；
（3）作点D关于AC的对称点G，过点G作CD的垂线，垂足为H，交AC于点K，连接AG，求出GH即可．
【详解】解：（1）由旋转可知，，∠DCE=90°，
∵，，，
∴，∠ABC=45°，
∴，
∴，
（2）与的数量关系是：BD=2FA，
证明：延长BA至M,使AM=AB，连接ME、MC，
∵，
∴BC=MC，
∴∠CBA=∠CMA=45°，
∴∠ACM=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠MCE，
∵，
∴△BCD≌△MCE，
∴BD=EM，∠CME=∠CBD=45°，
∴∠EMA=90°，
∴AF∥EM，
∴EM=2AF，
即BD=2AF；

（3）作点D关于AC的对称点G，过点G作CD的垂线，垂足为H，交AC于点K，连接AG，由作图可知，当M、N与H、K重合时，MN+DN最小，
∵∠BAC=90°，
∴D、A、G在一条直线上，
∵，
∴DA=2，
由对称可知，DG=4，
∵∠ACD+∠ADC=90°，∠G+∠ADC=90°，
∴∠G=∠ACD，
∵tan∠ACD=，
∴tanG=，
设DH=x，GH=3x，
，
∵x>0，解得x=,
∴GH=，
∴最小值为．

【点睛】本题考查了全等三角形，三角函数，勾股定理，中位线等知识，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形或最短路径．
17．（1），；（2），
【分析】（1）根据公式法进行求解一元二次方程；
（2）先将方程进行化简，然后利用配方法进行解一元二次方程．
【详解】解：（1），
，，，
，
，；
（2），
，
，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法与配方法解一元二次方程是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质证明，进而得证；
（2）结合（1）得出，最后根据三角形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：∵线段绕着点按逆时针方向旋转能与重合，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，， ，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据小刚从印有数字1,3,4的三个小球中摸出印有数字3的小球进行求解概率；
（2）根据题意画出树状图，进而求解．
【详解】解：（1）由题意知，小刚摸出的小球上的数字是3的概率为；
（2）画树状图如下：

一共有12种等可能情况，有三种情况满足条件，分别为：，，，
∴点在函数的图象上的概率为．
【点睛】本题考查等可能条件下的概率计算公式，画树状图或列表求解概率，熟知画树状图或列表法是解题的关键．
20．（1）；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）不等式的解集为或
【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；
（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；
（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴该函数的图象如图所示：

性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）由函数图象可知，写出不等式的解集为或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．
21．（1）；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n是“差数”，
【分析】（1）设三位数的十位上的数字是x，根据进行求解；
（2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解．
【详解】解：（1）设三位数的十位上的数字是x，
∴，
解得，，
∴个位上的数字为：，
∴；
（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，
∴，
显然n是“差数”，．
【点睛】本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键．
22．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）a的值为25
【分析】（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x，y盆，根据甲、乙两种绿色植物共1100盆和共花费了27000元列二元一次方程组即可；
（2）结合（1）根据题意列出关于a的方程，用换元法，设，化简方程， 求解即可．
【详解】解：（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x，y盆，
由题意知， ，
解得，，
答：该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；
（2）由题意知，，
令，原式可化为，
解得，（舍去），，
∴，
∴a的值为25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
23．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由勾股定理求出BF，进而得出AE的长，再次利用勾股定理得出AB的长，最后根据平行四边形的性质与勾股定理求出AD的长；
（2）设，根据勾股定理求出CH的长，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出EH的长，进而得出CE的长，根据得出，利用勾股定理求出BG，GH的长，根据求出BF，进而得证．
【详解】（1）解：∵，，且，，
∴由勾股定理知，，
∴，
∴由勾股定理知，，
∵四边形是平行四边形，，，
∴由勾股定理知，；
（2）证明：∵点为边的中点，，设，
∴，由勾股定理知，，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，，
∴解得，，，
∵易证，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与勾股定理是解题的关键．
24．（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或
【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；
（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．
【详解】解：（1）设，
∵，，
∴，即点，
将点C代入中，
解得， ，
∴，
设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，
∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积
，
∴当时，四边形面积最大，
∴点，
过点M作MF⊥OB，垂足为F，
∵，
∴要使最小，即使最小，
∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，
∴的最小值；

（2）存在；
由题意知，，线段所在的直线方程为，
分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，
∵ ，
解得，点K，H的横坐标分别为，，
∵四边形BCPN为平行四边形，设点，
当N取点K时，由中点坐标公式知， ，
解得，，
∴，即点，
同理可知，当点N取点K时，点；
②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，
∴点，
∴由中点坐标公式得，，
∵，
∴解得，或，
∴点或，
综上所述，点的坐标可以为，，或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．