北京课改版八年级上册12.5 全等三角形的判定一课一练

2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册

课堂提升训练

第十二章　三角形

二　全等三角形

12.5　全等三角形的判定

知识点1　基本事实1(ASA)

1.(2021四川攀枝花中考)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具,他带　　　　去最省事.(　　) 

A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.①③

2.(2022独家原创)如图,在△ABD和△ACD中,我们根据AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足为D,可以得到从而得到△ABD≌△ACD.

3. 如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.

知识点2　基本事实2(SAS)

4.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则下列结论不一定正确的是(　　)

A.∠BAD=∠CAE　　　

B.△ABD≌△ACE

C.AB=BC　　　

D.BD=CE

5.(2022北京延庆期末)如图,线段AB,CD相交于点O,AO=BO,添加一个条件,能使△AOC≌△BOD,所添加的条件是　　　　(写出一个条件即可). 

6.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF的度数是　　　. 

7.(2021陕西中考)如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:∠D=∠ABC.

8.(2022独家原创)如图,AB=CD,AB∥DC.求证:∠A=∠C.

知识点3　基本事实3(SSS)

9. 工人师傅常用角尺平分一个角.做法如下:如图,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法是利用了全等三角形对应角相等,图中判断三角形全等的依据是　　　　. 

10.(2021云南中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.

知识点4　全等三角形的判定定理(AAS)

11. 如图,a、b、c为三角形ABC三边的长,则甲、乙、丙三个三角形中,一定和△ABC全等的是(　　)

A.甲和乙　　　B.乙和丙　　　C.甲和丙　　　D.只有丙

12.(2022独家原创)如图,AB=CD,AC=BD,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有　　　　对. 

13.(2021甘肃兰州中考B卷)如图,点E,C在线段BF上,∠A=∠D,AB∥DE,BC=EF.求证:AC=DF.

14. 一天课间,顽皮的小明拿着老师的等腰三角板玩,等腰三角板不小心掉到两根柱子(每根柱子由若干块砖摞成)之间,如图所示,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题.

(1)求证:AD=CE;

(2)如果每块砖的厚度a=6 cm,请你帮小明求出三角板ABC的面积.

能力提升全练

15.(2021重庆中考A卷,7,)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加下列四个条件中的一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A.AB=DE　　　B.∠A=∠D

C.AC=DF　　　D.AC∥FD

16. 如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是(　　)

A.0.5　　　B.1　　　C.1.5　　　D.2

17.(2022北京二中教育集团期末改编,8,)根据下列已知条件,不能画出唯一的△ABC的是(　　)

A.∠A=60°,∠B=45°,AB=4

B.∠A=30°,AB=5,BC=3

C.∠B=60°,AB=6,BC=10

D.AC=4,AB=5,BC=3

18. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(　　)

A.a+c　　　B.b+c

C.a-b+c　　　D.a+b-c

19.(2021黑龙江齐齐哈尔中考,12,)如图,AC=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△AED,应添加的条件是　　　　　　.(写出一个条件即可) 

20.(2022北京房山期末,11,)如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),要测量工件内槽宽AB,只要测量A'、B'的距离即可,这种做法的依据是　　　　. 

21.(2021四川泸州中考,18,)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.

22.(2022北京昌平期末,19,)如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=EC,AC=DF,AC∥DF.求证:∠A=∠D.

23. 如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.

24.(2021北京一六一中学期中,24,)已知:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°.

(1)按要求作出图形:

①延长BC到点D,使CD=BC;

②延长CA到点E,使AE=2CA;

③连接AD,BE.

(2)猜想(1)中线段AD与BE的大小关系,并证明你的结论.

素养探究全练

25.[逻辑推理]如图1,已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE.

(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由;

(2)将CD沿CB方向平移得到图2,其余条件不变,此时AC1与C2E的位置关系是怎样的?请说明理由.

图1                       图2

答案全解全析

基础过关全练

1.C　由图形可知,③有完整的两个角与这两个角的夹边,根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形,所以最省事的做法是带③去.故选C.

2.∠CAD;∠ADB;∠ADC

解析　∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,

∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.

3.证明　∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,

∵BF=CE,∴BC=EF,

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(ASA).

4.C　由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE,再结合AB=AC,AD=AE,可判定△ABD≌△ACE,所以BD=CE,所以A、B、D选项都是正确的,C选项无法判断是否正确,故选C.

5.CO=DO(答案不唯一)

解析　添加CO=DO,结合条件AO=BO,对顶角∠AOC=∠BOD,利用SAS可判定△AOC≌△BOD.

6.60°

解析　在△EBD和△DCF中,

∴△EBD≌△DCF(SAS),

∴∠DEB=∠FDC,

在△BDE中,∠DEB+∠EDB=180°-60°=120°,

∴∠FDC+∠EDB=120°,

∴∠EDF=180°-(∠EDB+∠FDC)=180°-120°=60°.

7.证明　∵BD∥AC,∴∠ACB=∠EBD,

在△ABC和△EDB中,

∴△ABC≌△EDB(SAS),

∴∠ABC=∠D.

8.证明　如图,连接BD.

∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC,

在△ABD和△CDB中,

∴△ABD≌△CDB(SAS),∴∠A=∠C.

9.SSS

解析　在△MCO和△NCO中,根据三边分别相等,利用SSS即可证明△MCO≌△NCO.

10.证明　在△CDA和△DCB中,

∴△CDA≌△DCB(SSS),

∴∠DAC=∠CBD.

11.B　依据SAS可得乙三角形与△ABC全等,依据AAS可得丙三角形与△ABC全等,不能判定甲三角形与△ABC全等,故选B.

12.7

解析　利用SSS判定△ACB≌△DBC,△ACD≌△DBA,进而得出对应角相等,再利用AAS判定△ACE≌△DBF,△AEB≌△DFC,△ACO≌△DBO,△AOB≌△DOC,进而证明△AEO≌△DFO,共7对.

13.证明　∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.

在△ABC与△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(AAS),

∴AC=DF.

14.解析　(1)证明:由题意,得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC.在△ADC和△CEB中,∴△ADC≌△CEB(AAS).∴AD=CE.

(2)∵△ADC≌△CEB,a=6 cm,∴AD=4a=24 cm=CE,BE=3a=18 cm=DC,∴DE=DC+CE=42 cm,

∴△ABC的面积=×(18+24)×42-2××18×24=450(cm2).∴三角板ABC的面积为450 cm2.

能力提升全练

15.C　∵BF=EC,∴BC=EF,又∵∠B=∠E,∴当添加的条件为AB=DE时,△ABC≌△DEF(SAS),故选项A不符合题意;当添加的条件为∠A=∠D时,△ABC≌△DEF(AAS),故选项B不符合题意;当添加的条件为AC=DF时,无法判定△ABC≌△DEF,故选项C符合题意;当添加的条件为AC∥FD时,∠ACB=∠DFE,故△ABC≌△DEF(ASA),故选项D不符合题意.故选C.

16.B　根据平行线的性质,得出∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,结合DE=FE,根据AAS得出△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质,得出AD=CF=3,所以DB=AB-AD=4-3=1.故选B.

17.B　选项A符合“ASA”,能画出唯一的△ABC;选项C符合“SAS”,能画出唯一的△ABC;选项D符合“SSS”,能画出唯一的△ABC;选项B不能画出唯一的△ABC.故选B.

18.D　∵AB⊥CD,BF⊥AD,∴∠A+∠D=90°,∠A+∠B=90°,∴∠B=∠D.∵CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠AFB=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∴AD=AE+DE=AF-EF+DE=a-c+b=a+b-c,故选D.

19.∠B=∠E(答案不唯一)

解析　利用∠1=∠2可得到∠BAC=∠EAD,结合AC=AD,根据全等三角形的判定方法添加条件.

答案不唯一,如添加∠B=∠E,可根据“AAS”判定△ABC≌△AED.

20.SAS,全等三角形对应边相等

解析　如图,连接A'B',

∵点O分别是AA'、BB'的中点,

∴OA=OA',OB=OB',

在△AOB和△A'OB'中,

∴△AOB≌△A'OB'(SAS).

∴AB=A'B'.

因此只需要测量A'、B'的距离,即可得出工件内槽宽AB.

21.证明　在△ABE与△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(ASA).

∴AD=AE.∵AB=AC,

∴AB-AD=AC-AE,∴BD=CE.

22.证明　∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,

∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF,

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠A=∠D.

23.证明　∵AB∥CD,∴∠A=∠D.

∵EC∥BF,∴∠AHB=∠DGC.

在△ABH和△DCG中,

∴△ABH≌△DCG(AAS),∴AH=DG.

又∵AH=AG+GH,DG=DH+GH,∴AG=DH.

24.解析　(1)如图:

(2)BE=AD,

理由:在AE上截取AF=AC,连接BF,

∵∠BAC=90°,∴∠BAF=180°-90°=90°,

∴∠BAC=∠BAF,

在△ABF与△ABC中,

∴△ABF≌△ABC(SAS),∴BF=BC,∠BFA=∠BCA,

∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BCA+∠DCA=180°,

∴∠BFE=∠DCA,

∵BC=DC,BC=BF,∴BF=DC,

∵AC=AF,∴AE=2AC=2AF,∴AF=EF,∴EF=AC,

在△BFE和△DCA中,

∴△BFE≌△DCA(SAS),∴BE=AD.

素养探究全练

25.解析　(1)AC⊥CE.

理由:∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°,

又AB=CD,BC=DE,

∴△ABC≌△CDE,∴∠A=∠DCE,

∵∠A+∠ACB=90°,

∴∠DCE+∠ACB=90°,∴∠ACE=90°,∴AC⊥CE.

(2)AC1⊥C2E.

理由:∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°,

∵AB=C2D,BC1=DE,

∴△ABC1≌△C2DE,∴∠A=∠EC2D,

∵∠A+∠AC1B=90°,∴∠EC2D+∠AC1B=90°,

∴∠C1MC2=90°,∴∠AME=∠C1MC2=90°,

∴AC1⊥EC2.