初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共14页。试卷主要包含了下列配方中，变形正确的是等内容，欢迎下载使用。
第21章 一元二次方程（提升卷）-人教版九年级上册（含答案）
一．选择题
1．下列配方中，变形正确的是（　　）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
2．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100
D．9100（1+x）2＝2500
3．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（　　）
①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；
②B﹣A的最小值是2；
③若n是A+B＝0的一个根，则4n2+＝；
④若（2022﹣A）（A﹣2019）＝2，则（2022﹣A）2+（A﹣2019）2＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
5 ．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（　　）
A． B． C． D．
6 ．若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
7 ．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）

A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
8 ．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
9 ．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．20% B．25% C．30% D．35%
10 ．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
二．填空题
11 ．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
12 ．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
13 ．若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝　 　．
14 ．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　 　．
15 ．已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 　 　．

三．解答题
16 ．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
17 ．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
18 ．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝　 　；
（3）探究问题：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求xy的值．
（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k的值．
19 ．小军根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究．下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
x
…
﹣2
m

0

1

2

3
4
…
y
…



2

4

2


n
…
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；表中m的值为 　 　，n的值为 　 　．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，补全该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　 　．
（3）若关于x的方程无解，则k的取值范围是 　 　．

20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：x2+2x
＝x2+2x+1﹣1
＝（x+1）2﹣1，
A错误．
x2﹣4x﹣3
＝x2﹣4x+4﹣4﹣3
＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）
＝（x﹣2）2﹣7．
B错误．
2x2+4x+3
＝2（x2+2x）+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3
＝2（x+1）2﹣2+3
＝2（x+1）2+1．
C正确．
﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）
＝﹣（x2﹣2x+1）+1
＝﹣（x+1）2+1
D错误．
故选：C．
2．【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，
故选：B．
3．【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，
∴n＝±3，故结论正确；
②∵B﹣A
＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）
＝x2﹣2x+n2+3
＝（x﹣1）2+n2+2，
而（x﹣1）2+n2≥0，
∴B﹣A≥2，
∴B﹣A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，
把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0，
得3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，
解得n＝，
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2019）2
＝（2022﹣2019）2
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2（2022﹣A）（A﹣2019）
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2×2
＝9，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝5；故结论错误；
故选B．
4．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
5 ．【解答】解：令＝t，则（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可变形为：
（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，
整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，
则Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，
由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集为3﹣2≤t≤3+2，
故取最小值，此最小值为3﹣2；
故选：A．
6 ．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
7 ．【解答】解：∵AD＝AC＝，
∴AB＝AD+BD＝+BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（）2+b2＝（+BD）2，
∴+b2＝+aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
8 ．【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，
则x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．
故选：D．
9 ．【解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故选：C．
10 ．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，
所以第三边长为3或，
故选：D．

二．填空题
11 ．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
12 ．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
13 ．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
∴．
解得：．
∴a+b+c＝﹣1﹣2＝﹣．
故答案为：﹣．
14 ．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，
解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，
在等腰△ABC中，
①4为底时，则b＝a＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②4为腰时，b＝4，
∵2+4＞4，
∴能组成三角形，
∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．
综上可知，△ABC的周长是10．
故答案为：10．
15 ．【解答】解：设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝（a+b），xy＝，
∴y＝（a+b）﹣x，
∴x[（a+b）﹣x]＝，
整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0，
∵存在另一个矩形，则该一元二次方程有解，
∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab．
故答案为：（a+b）2≥12ab．

三．解答题
16 ．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
17 ．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB•AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
18 ．【解答】解：（1）∵29是“完美数”，
∴29＝52+22；
（2）∵x2﹣4x+5
＝（x2﹣4x+4）+1
＝（x﹣2）2+1，
又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2．
故答案为：2；
（3）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，
x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，
（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
∴xy＝1×（﹣2）＝﹣2；
（4）当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9
＝（x+2）2+（2y﹣3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y﹣3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
19 ．【解答】解：（1）由表格把（0，2），（1，4）代入函数中得：
∴，
∴，
∴y＝，
∵（x﹣1）2+1＞0，
∴自变量的取值范围为全体实数；
当y＝时，＝，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴m＝﹣1，
当x＝4时，y＝＝，
∴n＝；
（2）图象如图所示，当x≥1时，y随x的增大而减小；
（3）如图，
当y＝2k﹣1＝4时，关于x的方程有唯一解，
当y＝2k﹣1＞4，即k＞时，关于x的方程无解．
∵y＝，且（x﹣1）2+1＞0，
∴y＞0，
∴当2k﹣1≤0即k≤时，关于x的方程无解，
∴k＞或k≤时，关于x的方程无解．
故答案为：（1）y＝，自变量的取值范围为全体实数；m＝﹣1，n＝；
（2）图象如图所示，当x≥1时，y随x的增大而减小；
（3）k＞或k≤．

20 ．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．