中考冲刺：几何综合问题--巩固练习（提高）

中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为（　　）

A.6cm     B.4cm     C.cm     D.cm

2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（    ）

     A                      B                      C                        D

二、填空题

3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点．D、B分别为直角顶点，连接DE、BE、DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB的度数为_______．

4.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动到△A″B″C″的位置，若BC=1cm，AC=cm，则顶点A运动到A″时，点A所经过的路径是_________

cm．

三、解答题

5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.

（1）EF+AC =AB；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.

（3）在（2）的条件下，当A1 E1=3，C1 E1=2时，求BD的长.

6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.
　　　　

　　　
 

7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE∥BF；
（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．
 

8.将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．
（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，则=_______，∠DMC=_____；
（2）如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，试探究与∠DMC的值，并证明你的结论；

（3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则=_______，

∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．
 

9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．
（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．
（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接

BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．
       

10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，

（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________

（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

2.【答案】B.

二、填空题

3.【答案】15°.

4.【答案】.

三、解答题

5.【答案与解析】

（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．
∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF，
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，MB=EF，
∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．

（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB
证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，
∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，
又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，
∴A1E1=A1P，
同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，
∴C1Q=C1E1，
由题意：A1A=C1C，
∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF1=QF1=QB，
∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，
即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，
∴E1F1+A1C1=AB．
（3）解：设PB=x，则QB=x，
∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，
Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，
即（3+x）2+（2+x）2=52，
∴x1=1，x2=-6（舍去），
∴PB=1，
∴E1F1=1，
又∵A1C1=5，
由（2）的结论：E1F1+A1C1=AB，
∴AB=，
∴BD=．

6.【答案与解析】

　当P运动到C点时：t=6
　当Q运动到A点：t=
　∴分两种情况讨论
(1)当0≤t≤6时，如图：
　　
　作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形
　此时AP=t，BQ=t，则AQ=-t
　PH=APsin45°=t
　∴S△AQP=AQ·PH
　=·(-t)·t
　=t2+3t
(2)当6＜t≤时，如图：

过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形
　　AC+CP=t，BQ=t
　　∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t
　　∴PH=BPsin45°=(12-t)
　　∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ
　　　=AC·BC-BQ·PH
　　　=·6·6-·t·(12-t)
　　　=18-t+t2
　　　=t2-t+18.
　　综上，.

7.【答案与解析】

（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵BF2+FC2=12+()2=4，
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°…（3分）
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…（4分）
（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC==2．
∵AF：FC=3：1，
∴AF=AC=，FC=AC=    
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中，EF==，
在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2
∵BE=BF
∴BF=EF=．

8.【答案与解析】

（1）如图2，连接BF，

∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠GBC=90°，
而BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，=
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，
∴=，∠DMC=45°；
（2）如图3，

∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，
∴B、E、D三点在同一条直线上，
而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴=，∠BCG=∠BDF
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°
=45°，
即∠DMC=45°；
（3）=，∠DMC=45°,图略.

9．【答案与解析】（1）CE⊥BD．
（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∴∠ACE=，∠ABD=，
∴∠ACE=∠ABD．
又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠BFM=90°，
∴∠BMC=90°，
∴CE⊥BD．
（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．

∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，
∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，
∵AE′=AC′
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN=C′G．
同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．
∴C′G=DH．
在△C′GM与△DHM中，
∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，
∴△C′GM≌△DHM，
∴C′M=DM，
∴．

10．【答案与解析】

 如图1，延长DM交FE于N，

图1
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2，
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN，
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；
（2）MD=MF，MD⊥MF．
如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，

∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM，
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°． 
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
∴△FDC≌△FNE，
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，
∴MD=MF，MD⊥MF；
（3）FM⊥MD，MF=MD．
如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．

∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
∴∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN． 
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°． 
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF． 
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°．
∴FM⊥MD，MF=MD．