吉林省吉林市永吉县重点名校2022年中考适应性考试数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（     ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

3．单项式2a3b的次数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．在数轴上到原点距离等于3的数是(   )

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．不知道

6．小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元，她的付款方式有（ ）种．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（     ）

A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M

8．如图，已知，那么下列结论正确的是（     ）

A． B． C． D．

9．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．50°

10．下列事件是确定事件的是（　　）

A．阴天一定会下雨

B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．

12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADC=4，反比例函数y=（x＞0）的图像经过点E， 则k=_______ 。

13．内接于圆，设,圆的半径为，则所对的劣弧长为_____(用含的代数式表示).

14．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板固定不动，把含30°角的三角板绕直角顶点沿逆时针方向匀速旋转一周，第一秒旋转5°，第二秒旋转10°，第三秒旋转5°，第四秒旋转10°，…按此规律，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为_____．

15．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____．

16．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：=10，=0.02；机床乙：=10，=0.06，由此可知：________（填甲或乙）机床性能好.

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）【发现证明】

如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．

【类比引申】

（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

【联想拓展】

（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

18．（8分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．

（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；

（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：∠BAC=∠DAC．

（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

20．（8分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度 的长，他过 两点画两条相交于点 的射线，在射线上取两点 ，使 ，若测得 米，他能求出 之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．

21．（8分）化简（），并说明原代数式的值能否等于-1．

22．（10分）如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．

(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；

(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；

(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．

23．（12分）如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

24．我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.

2、C

【解析】
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．

【详解】

A．|a|与不是同类二次根式；

B．与不是同类二次根式；

C．2与是同类二次根式；

D．与不是同类二次根式．

故选C．

【点睛】

本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

3、C

【解析】

分析：根据单项式的性质即可求出答案．

详解：该单项式的次数为：3+1=4

故选C．

点睛：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型．

4、B

【解析】

简单几何体的三视图．

【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．故选B．

5、C

【解析】
根据数轴上到原点距离等于3的数为绝对值是3的数即可求解.

【详解】

绝对值为3的数有3，-3.故答案为C.

【点睛】

本题考查数轴上距离的意义，解题的关键是知道数轴上的点到原点的距离为绝对值.

6、C

【解析】

分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x，y都是非负整数可求得x，y的值．

详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，

由题意，2x+5y=27

∴x=（27-5y）

∵x，y是非负整数，

∴或或，

∴付款的方式共有3种．

故选C.

点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再根据实际意义求解．

7、C

【解析】
根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答

【详解】

设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例是解题的关键

8、A

【解析】
已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．

【详解】

∵AB∥CD∥EF，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．

9、D

【解析】
根据两直线平行，内错角相等计算即可.

【详解】

因为m∥n，所以∠2=∠1+30°，所以∠2=30°+20°=50°，故选D.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键.

10、D

【解析】

试题分析：找到一定发生或一定不发生的事件即可．

A、阴天一定会下雨，是随机事件；

B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；

C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；

D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件．

故选D．

考点：随机事件．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∵AE⊥BD，

∴△ABE∽△ADB，

∵E是BC的中点，

过F作FG⊥BC于G，

故答案为

12、8

【解析】
设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，然后根据S△ADF=S梯形ABOD+S△DOF-S△ABF=4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．

【详解】

设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，

∴BF=OB+OF=m+n，

，

∴=8，

∵点E(n.n)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，

∴k==8，

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

13、或

【解析】
分0°＜x°≤90°、90°＜x°≤180°两种情况，根据圆周角定理求出∠DOC，根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：当0°＜x°≤90°时，如图所示：连接OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=2x°，
∴∠DOC=180°-2x°，
∴∠OBC所对的劣弧长=，
当90°＜x°≤180°时，同理可得，∠OBC所对的劣弧长= ．
故答案为：或．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．

14、14s或38s．

【解析】

试题解析：分两种情况进行讨论:

如图：

旋转的度数为：

每两秒旋转

如图：

旋转的度数为：

每两秒旋转

故答案为14s或38s.

15、2

【解析】
试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

2πr=，解得r=2cm．

考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系．

16、甲．

【解析】

试题分析：根据方差的意义可知，方差越小，稳定性越好，由此即可求出答案．

试题解析：因为甲的方差小于乙的方差，甲的稳定性好，所以甲机床的性能好．

故答案为甲．

考点：1.方差；2.算术平均数．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）DF=EF+BE．理由见解析;（2）CF=1．

【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AEF≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）根据旋转的性质的AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF.

解：（1）DF=EF+BE．理由：如图1所示，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C、D、G在一条直线上，∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=15°，∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣15°=15°，∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∵FD=FG+DG，∴DF=EF+BE；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=15°，而∠EAG=90°，∴∠GAF=90°﹣15°，

在△AGF与△AEF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，∴CF=1．

“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．

18、（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4）

【解析】
（I）当m=3时，抛物线解析式为y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用对称性得到C（5，5），从而得到BC的长；

（II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用对称性得到C（2m-1，2m-1），再根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可；

（III）如图，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，则根据P点坐标得到2m-2=m，解得m=2，再计算出ME=1得到此时E点坐标；作PH⊥y轴于H，如图，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后计算出HE′得到E′点坐标．

【详解】

解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，

当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0），

抛物线的对称轴为直线x=3，

∵P（1，3），

∴B（1，5），

∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C

∴C（5，5），

∴BC=5﹣1=4；

（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），

B（1，2m﹣1），

∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，

∴C（2m﹣1，2m﹣1），

∵PC⊥PA，

∴PC2+AC2=PA2，

∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，

整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，

即m的值为；

（III）如图，

∵PE⊥PC，PE=PC，

∴△PME≌△CBP，

∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，

而P（1，m）

∴2m﹣2=m，解得m=2，

∴ME=m﹣1=1，

∴E（2，0）；

作PH⊥y轴于H，如图，

易得△PHE′≌△PBC，

∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，

而P（1，m）

∴m﹣1=1，解得m=2，

∴HE′=2m﹣2=2，

∴E′（0，4）；

综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．

19、证明见解析

【解析】

试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；

（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.

试题解析：

（1）在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFB=∠AFD．
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

20、可以求出A、B之间的距离为111.6米.

【解析】
根据，（对顶角相等），即可判定，根据相似三角形的性质得到，即可求解.

【详解】

解：∵，（对顶角相等），

∴，

∴，

∴，

解得米．

所以，可以求出、之间的距离为米

【点睛】

考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.

21、见解析

【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，若原代数式的值为﹣1，则=﹣1，截至求得x的值，再根据分式有意义的条件即可作出判断．

【详解】

原式=[

=

=

=，

若原代数式的值为﹣1，则=﹣1，

解得：x=0，

因为x=0时，原式没有意义，

所以原代数式的值不能等于﹣1．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

22、（1）作图见解析；点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；（2）作图见解析；（3）

【解析】

分析：（1）直接利用已知点位置得出B点坐标即可；

    （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

    （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．

详解：（1）如图所示：点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；

    故答案为（﹣2，﹣5）；

    （2）如图所示：△AB2C2，即为所求；

    （3）如图所示：P点即为所求，P点坐标为：（﹣2，1），四边形ABCP的周长为：+++=4+2+2+2=6+4．

    故答案为6+4．

点睛：本题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键．

23、（1）详见解析；（1）①详见解析；②1；③.

【解析】
（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（1）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=m，EB=m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（1）①解：如图1中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，

∴S△BMN=•x（4-x）=-（x-1）1+1，

∵-＜0，

∴x=1时，△BMN的面积最大，最大值为1．

③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=m，EB=m．

∴EG=m+m=（1+）m，

∵S△BEG=•EG•BN=•BG•EH，

∴EH==m，

在Rt△EBH中，sin∠EBH=．

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，

24、1.

【解析】

分析：利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．

详解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=1，

所以二进制中的数101011等于十进制中的1．

点睛：本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．