广东省揭阳市2022-2023学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷

广东省揭阳市2022-2023学年九年级上学期数学第一次月考

模拟试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、单选题 (共10题；共30分)

1．（3分）根据下表： 

确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（　　）

A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6

C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5

2．（3分）如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘，同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后(若指针指在边界处则重转)，两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是(　　)

A． B． C． D．

3．（3分）已知下列命题：

①若 ＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（3分）已知关于x的方程x2﹣2mx﹣m2+1＝0的一个根是﹣2，则m的值是（　　）  

A．5或﹣1 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣5或1

5．（3分）如图，若DE是△ABC的中位线，则S△ADE：S△ABC=（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4

6．（3分）已知关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（　　）  

A．当a＝0时，方程无实数根

B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根

C．当a＝1时，有两个不相等的实数根

D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根

7．（3分）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） 

A．对角线相等 B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角

8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（　　） 

A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1

9．（3分）在 中， ， ，BC上的高AD长为15，则 的面积为（　　）． 

A．210 B．90 C．210或90 D．84或120

10．（3分）如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题 (共7题；共28分)

11．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　     　．

12．（4分）在一个10万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是　     　．  

13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是　     　． 

14．（4分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有　     　人患有流感．

15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　                          　． 

16．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝ EF，则正方形ABCD的面积为　     　. 

17．（4分）如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．则 　     　． 

三、解答题 (共8题；共62分)

18．（6分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程 ．

解：原方程可变形，得 ，

，

，

直接开平方，得 ， ．

我们称这种解法为“平均数法”

（1）（3分）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程： 

解：原方程可变形，得 ，

，

，

直接开平方，得 ， ．

上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　     　，　     　，　     　，　     　．

（2）（3分）请用“平均数法”解方程： ． 

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．

（1）（3分）求CE的长；  

（2）（3分）写出点E的坐标．     

20．（6分）今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：

根据以上信息，解答以下问题：

（1）（2分）表中的x＝　     　；  

（2）（2分）扇形统计图中m＝　     　，n＝　     　，C等级对应的扇形的圆心角为　     　度；  

（3）（2分）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．  

21．（8分）某农户欲通过电商平台销售自家农产品，已知这种产品的成本价为元/千克.通过市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）大致有如下关系：

.设这种产品每天的销售利润为（元）.

（1）（4分）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（2）（4分）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/千克，该农户想要每天获得元的销售利润，销售价应定为多少元？

22．（8分）某校初三年级（ ）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学分别转动下图中两个可以自由转运的均匀转盘A、B，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为 的倍数，则这个同学要表演唱歌；若指针所指两个区域的数字之和为 的倍数，则这个同学要表演跳舞；如果落在分割线上，则需要重新转运转盘.

（1）（4分）若小东同学随机转动A转盘，则指针指向偶数区域的概率是　     　.

（2）（4分）若小凯同学做这个游戏，请用列表或画树状图的方法，求出他表演唱歌的概率.

23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． 

（1）（4分）求证：△ABE∽△DEF； 

（2）（4分）若正方形的边长为4，求BG的长． 

24．（10分）已知矩形ABCD， ， ，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转 ，得到矩形AEFG.

（1）（3分）如图1，当点E在BD上时 求证： ；  

（2）（3分）当a为何值时， ？画出图形，并说明理由；  

（3）（4分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转 的过程中，求CD扫过的面积.  

25．（10分）（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形 中， 的顶点E，F分别在 ， 上（可与点A，B，C重合），且满足 . 的高线 交线段 于点G（可与E，F重合），设 . 

（1）（3分）求k的值.

（2）（3分）判断k的值是否改变.若改变，请求出k的取值范围；若不改变，请证明.

（深入探究）在（模型构建）的基础上，设 的面积为S.

（3）（4分）①求S的最小值；

②当S取到最小值时，直接写出 与 的数量关系.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】

12．【答案】

13．【答案】2

14．【答案】729

15．【答案】

16．【答案】32

17．【答案】

18．【答案】（1）5；3；2；﹣12

（2）解：原方程可变形，得 ， 

，

，

直接开平方，得 ， ．

19．【答案】（1）解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8）， ∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，

∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

∴AD＝AF＝10，DE＝EF，

 在Rt△AOF中，OF＝ ＝6， ∴FC＝10﹣6＝4，

设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，

在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，

即EC的长为3．

（2）∵EC的长为3， 

∴点E的坐标为（10，3）．

20．【答案】（1）14

（2）10；40；144

（3）解：列表如下： 

由表可知共有12种等可能结果，其中恰好选取的是a1和b1的有2种结果，

∴恰好选取的是a1和b1的概率为 ＝

21．【答案】（1）解：根据题意可得：

y=w（x10）

=（x10）（4x+80）

=4x2+120x800

=4（x15）2+100，

∴当x=15时，y有最大值100.

故当销售价定为15元/千克时，每天可获最大销售利润100元；

（2）解：当y=84时，可得方程84=4x2+120x-800，

整理，得x230x+221=0，

解得：x1=13，x2=17.

故当销售价定为13元/千克或17元/千克时，该农户每天可获得销售利润84元.

22．【答案】 （ ）若小凯同学做这个游戏，请用列表或画树状图的方法，求出他表演唱歌的概率. 解：树状图如下： ∴这个同学表演唱歌的概率： .

（1）

（2）解：树状图如下： ∴这个同学表演唱歌的概率： .

23．【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形， 

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴ ，

∵DF= DC，

∴ ，

∴ ，

∴△ABE∽△DEF

（2）解：∵ABCD为正方形， 

∴ED∥BG，

∴ ，

又∵DF= DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10

24．【答案】（1）解：由旋转可得， ， ， ，  

，

又 ，

，

又 ，

≌ ，

，

又 ，

（2）解：如图，当 时，点G在BC的垂直平分线上，  

分两种情况讨论：

当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

，

，

四边形ABHM是矩形，

，

垂直平分AD，

，

是等边三角形，

，

旋转角 ；

当点G在AD左侧时，同理可得 是等边三角形，

，

旋转角

（3）解：如图3， 

， ，

25．【答案】（1）解：如图1所示，把ΔDAE，ΔDCF分别沿着DE、DF翻折，

  在正方形ABCD中， ADC= DAB= DCB=90°’，AD=CD，

ADE+ CDF= ADC- EDF=90°-45°=45°，

翻折后，AD，CD重合.

设重合线为AG'，则 DG'E= DG'F=90°，

DG' EF，且E、G'、F三点共线，则G'在EF上。

又 DG EF，

DG'与DG重合，

DG=DG'=AD.

k=   =1.

（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形 ”改为“长 、宽 的矩形 ”（其他条件不变）.

（2）解：k的值发生改变.

①如图2所示，当点G与点E重合时，DG取最小值，

DEF=90°

又 EDF=45°，

ΔDEF是等腰直角三角形，则DE=EF.

易证ΔADE   ΔBEF，

AD=BE=6，

AE=AB-BE=8-6=2，

在RtΔADE中，由勾股定理，得DE=   ，

②如图3所示，当点F与点C重合时，DG取最大值，

EDC=45°，

AB//DF，则 AED= EDC=45°，

ΔDAE是等腰直角三角形，则AD=AE=6，

BE=AB-AE=8-6=2，

在RtΔEBC中，由勾股定理得：CE= ，

易证ΔDGC~ΔCBE，   ，即DG=   ，

  ，

综上所述， .

（3）解：①设BE=m，BF=n，

易知ΔBEF的周长为2.

  ，

一元二次方程   有求根公式：

  ， ，

所以 ，

，

则m，n是关于x的方程   的两个实数根，

  ，解得：   .

S= DG·EF= EF，

当EF= 时，S取最小值 .

②GB=（ ）DG