湖南省衡阳市衡阳县2021-2022学年七年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1. 以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数值中，是二元一次方程的解的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示四个图形中，线段能表示三角形的高的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列说法中错误的是(    )

A. 三角形的一个外角大于任何一个内角
B. 有一个内角是直角的三角形是直角三角形
C. 任意三角形的外角和都是
D. 三角形的中线、角平分线，高线都是线段

6. 等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是(    )

A.   B.  
C.  或  D.  

7. 数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
   
   魔术师能立刻说出观众想的那个数．小玲告诉魔术师的数是，那么她心里想的数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点出发，沿直线走米后向左转，接着沿直线前进米后，再向左转如此下去，当他第一次回到点时，发现自己走了米，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知关于，的方程组，其中，下列结论：
    当时，，的值互为相反数；是方程组的解；当时，方程组的解也是方程的解；若，则．
    其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠且完全实现铺设的正多边形组合是(    )

A. 正三边形、正四边形 B. 正四边形、正五边形
C. 正五边形、正六边形 D. 正五边形、正十边形

12. 已知非负数，，满足，设，则的最大值与最小值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

13. 若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于______ ．
14. 如果方程组的解与方程组的解相同，则的值为______ ．
15. 如图，是的中线，是上的一点，且，连接，若，则图中阴影部分面积是______．

16. 如图，若是由平移后得到的，已知点、之间的距离为，，则 ______ ．

17. 衡阳县某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了美绘、演讲与口才、书法、跆拳道、中国象棋个特色课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中美绘、演讲与口才、书法、跆拳道、中国象棋分别被选了、、、、次，那么等于______．
18. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为______．

19. 若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______．
20. 我国劳动法对劳动者的加班工资作出了明确规定，“五一”长假期间，前天月日至月日是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的支付加班工资．后天月日至月日是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的支付加班工资．小屈由于工作需要，今年月日、日、日共加班三天，已知小屈的日工资标准为元，则小屈“五一”长假加班三天的加班工资应不低于______元．

三、解答题（本题共7小题，共60分）

21. 解方程
     
22. 解方程组．
23. 解不等式组并写出不等式组的所有整数解．
24. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为，与构成的图形是中心对称图形．
    画出此中心对称图形的对称中心；
    画出将沿直线方向向上平移格得到的；
    要使与重合，则绕点顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？不要求证明

25. 为加快老旧小区改造，某企业需运输一批物资．据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资：辆大货车与辆小货车一次可以运输箱物资．
    求辆大货车和辆小货车一次分别运输多少箱物资；
    计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货次需费用元．若运输物资不少于箱，且总费用小于元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需費用最少，最少费用是多少？
26. 【阅读理解】题目：如图，和的边与互相平行，边与交于点若，，求的度数．
    老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空理由或数学式．
    解：如图，过点作．
    ______
    ，
    ．
    ______，
    如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
    ______
    ，
    ．
    ______
    【问题迁徙】如图，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、是线段上一点，连结、若，，求的度数．
    【拓展应用】如图，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、是射线上一点，连结、若，，直接写出与、之间的数量关系．
     

27. 定义：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“分差”，例如，对于，，，因为，，，所以，，的“分差”为．
    ，，的“分差”为______；
    调整“，，”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______；
    调整，，这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：将代入等式成立，符合题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
将代入，得到，等式不成立，不符题意；
故选：．
分别将选项中的解代入方程，检验方程是否成立，即可求解．
本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入运算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，线段能表示三角形的高时，于．
选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
选项中，与不垂直；
线段是的高的图是选项．
故选：．
根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，那么线段是的高，再结合图形进行判断．
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
A.，不等式成立，故A选项不符合题意；
B.，不等式成立，故B选项不符合题意；
C.，若为负数，则不等式不成立，故C选项符合题意；
D.，不等式成立，故D选项不符题意；
故选：．
根据不等式的性质分别判断各个选项即可．
此题主要考查了不等式的性质，解答此题的关键是要明确：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的外角和、直角三角形的定义以及三角形的中线、角平分线，高线的概念．依据多边形的外角和、直角三角形的定义以及三角形的中线、角平分线，高线的概念，即可得出结论．
【解答】
解：三角形的一个外角可能大于、小于或等于任何一个内角，故本选项错误；
B.有一个内角是直角的三角形是直角三角形，故本选项正确；
C.任意三角形的外角和都是，故本选项正确；
D.三角形的中线、角平分线，高线都是线段，故本选项正确；
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：是腰长，
，
、、不能组成三角形，
是腰长，能够组成三角形，
，
所以，三角形的周长是．
故选：．
根据等腰三角形的两腰相等，分是腰长，是腰长，两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，注意要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，然后再求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：小玲心里想的数是，
，
解得，
故选：．
根据题意和题目中的顺序，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题目中的运算顺序，列出相应的方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将绕点逆时针旋转角度得到，
，
，
，
，
旋转角的度数是，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
多边形的边数为：．
根据多边形的外角和为，
他每次转过的角度．
故选：．
小聪第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．
本题考查多边形的外角和．解题的关键时判断出小丽第一次返回点时，所经过的路径构成一个正多边形．
 

10.【答案】 

【解析】解：解方程组得，
当时，，，，的值互为相反数，故正确；
当时，则，解得，不合题意，故错误；
当时，方程组的解为，满足方程，故正确；
若，
，
，故正确；
故选：．
解方程组得，把代入求得，，即可判断；求得，不符合；把代入求得，，即可判断；由题意可知，解不等式组即可判断．
本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是，，所以能铺满，符合题意；
B.正四边形每个内角，正五边形每个内角，显然不能组合成，所以不能铺满，不符合题意；
C.正五边形每个内角，正六边形每个内角，显然不能组合成，所以不能铺满，不符合题意；
D.正五边形每个内角，正十边形每个内角，显然不能组合成，所以不能铺满，不符合题意；
故选：．
两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于，并以此为依据进行求解．
本题考查了平面镶嵌问题．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故选：．
首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：直角三角形的一个锐角为，
另一个锐角，
故答案为：．
根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程组，
得：，
，得：，
则．
故答案为．
把代入方程组，得到一个关于，的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值．
此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：
根据三角形的中线的性质进行解答即可．
本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图形可知：是由沿向右移动的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得．
所以，
故答案为：．
根据平移的性质，结合图形可直接求解．
此题考查平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
，
又每位同学至少选择一门特色课程，且共统计了位同学的选课情况，
，，
．
故答案为：．
根据每位同学不能重复选择同一门课程即位同学选择课程的总数量等于个特殊课程被选择的总数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，结合“每位同学至少选择一门特色课程，且共统计了位同学的选课情况即，均为正整数，且”，即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，，
，
，
，
故答案为：．
由题意可知：，，，然后求出，，最后利用三角形的外角性质即可求出答案．
本题考查三角形的外角性质，解题的关键是正确求出的度数，本题属于基础题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组只有个整数解，
，
解得，
故答案为．
分别求出每一个不等式的解集，不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：设小屈“五一”长假加班三天的加班工资应不低于元，
由题意得：，
解得：元，
故答案为：．
设小屈“五一”长假加班三天的加班工资应不低于元，由“前天月日至月日是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的支付加班工资．后天月日至月日是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的支付加班工资”，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，找准对应关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
 

21.【答案】解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
去分母得：
去括号，得：，
移项合并得：，
解得：． 

【解析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
方程去括号，移项合并同类项，把系数化为，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项合并同类项，把系数化为，即可求出解．
 

22.【答案】解：，
由得：，
把代入得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

23.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，，． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

24.【答案】解：对称中心点；分

如图所示；分

度．分 

【解析】连接一对对应点，找出该线段的中点即可；
将的各个顶点按平移条件找出它的对应点、、，顺次连接、、，即得到平移后的图形；
观察一对对应点的位置关系即可求出答案．
无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．
 

25.【答案】解：设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资；
设有辆大货车，辆小货车，
由题意可得：，
解得：，
又须为整数，
，，；
共有三种方案，
方案辆大货车，辆小货车，方案辆大货车，辆小货车，方案辆大货车，辆小货车；
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
当有辆大货车，辆小货车时，费用元，
，
方案，即当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元． 

【解析】设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，由“辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱”，可列方程组，即可求解；
设有辆大货车，辆小货车，由“运输物资不少于箱，且总费用小于元”可列不等式组，可求整数的值，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，列二元一次方程组解实际问题的运用，总运费每吨的运费吨数的运用，解答时求出辆大货车与辆小货车一次运货的数量是关键．
 

26.【答案】两直线平行，同旁内角互补  已知     

【解析】解：【阅读理解】如图，过点作，
两直线平行，同旁内角互补，
，
，
已知，
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
，
，
，
，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；；；
【问题迁移】
如图，过点作，

，
，
，
，
，
【拓展应用】当点在线段上，如图，
过点作，
，
，
，
，
，
当点在线段的延长线上时，如图，

，
，
，
综上，或．
【阅读理解】：如图，过点作，根据推理步骤，写出理由；
【问题迁移】：如图，过点作，先求出，再求，得，
【拓展应用】当点在线段上，过点作，先证明，再证明，得，
当点在线段的延长线上时，先证明，已知，得．
本题考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角的和差等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
 

27.【答案】；
 ；
 “分差”为，
三个数的顺序不能是，，和，，和，，．
，，，
，，
若，得，，不符合．
若，得，，不符合．
，，，
，，
若，得，，不符合．
若，得，，符合．
，，
，，
若，得，，符合．
若，得，，不符合．
综上所述，的值为或． 

【解析】

解：，，
，，，
，，的“分差”为
故答案为：

若，，
则，，，
，，的“分差”为
若，，
则，，
，，的“分差”为
若，，
则，，
，，的“分差”为
若，，
则，，
，，的“分差”为
若，，
则，，
，，的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：．

见答案．
【分析】

按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
三个数顺便不同可以有种组合，除第题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
由“分差”为是正数和可知，不能对应，，，所以剩三种情况：，，或，，或，，每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含的式子等于，求出，再代入检查此时“分差”是否为．
本题考查了实数的加减、一元一次方程的解法，分类讨论．分类的依据是个数顺序不同时算法不同，还要再检验求出的是否满足题意．