2023四川省蓉城名校联盟高三上学期入学联考试题数学（文）含解析

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则（    ）．

A．1    B．2    C．    D．

2．已知集合，，且，则a＝（    ）．

A．0或   B．0或1   C．1或   D．0

3．若角的终边与单位圆的交点为，则（    ）．

A．    B．    C．    D．

4．设向量，，则“与共线”的充要条件是（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（    ）．

A．    B．    C．    D．

6．直线l与圆相交于A，B两点，则弦长且在两坐标轴上截距相等的直线l共有（    ）．

A．1条    B．2条    C．3条    D．4条

7．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）．

A．3    B．0    C．    D．

8．折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（    ）．

A．     B．

B．C．    D．

9．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（    ）．

A．0    B．1    C．    D．3

10．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（    ）．

A．     B．

C．     D．

11．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（    ）．

A．

B．平面平面OBC

C．OB与平面ABC所成角的正弦值为

D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为

12．对于三个不等式：①；②；③．其中正确不等式的个数为（    ）．

A．0    B．1    C．2    D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．四川省将于2022年秋季启动实施新高考综合改革，某校开展“新高考”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新高考”的认可程度，现采用分层抽样调查，抽取了一个容量为n的样本，其中教师与家长共抽取了55名，则n＝______．

14．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．

15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则b＝______．

16．已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（12分）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．

（1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；

（2）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．

附：

19．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，点E为棱上．

（1）若点E为棱的中点，求证：平面；

（2）当点E在棱上运动时，四棱锥的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

20．（12分）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点．

（1）当时，求的大小；

（2）若直线OA交直线于点D，求证：BD平行于抛物线的对称轴；

（3）分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

（1）当时，求B，C两点的极坐标；

（2）当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．解：，∴，故选D．

2．解：∵，∴或，∴或，

又由于集合元素的互异性，应舍去1，故选A．

3．解：，故选B．

4．解：，其中同向，反向，故选A．

5．解：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，

这个实验的样本空间可记为，

共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，

则，

则A包含的样本点个数为7，∴，故选C．

6．解：设直线l的方程为或，

由已知弦长为得或，

解得中，故选D．

7．解：如图，由，，组成的平面区域为可行域，

表示平行直线经过可行域内过，

最优解为过点，则z的最大值为0，故选B．

8．解：如图，由弧长公式，得，在直角三角形中，

化简得，故选A．

9．解：∵定义在R上的偶函数满足，

∴关于，对称，∴是周期为4的函数，

∴，故选C．

10．解：由已知，得，

∵，∴，∴，

故椭圆的方程为，故选D．

11．解：如图，

图一      图二

由已知中，平面ABC（点为AC中点），，

A选项，如图二，，不成立；

B选项，如图二，假设面面垂直，过点C作OB垂线，则该垂线垂直平面OAB，不成立；

C选项，如图一，OB与平面ABC所成角为，得，成立；

D选项，如图二，，不成立．综上，故选C．

（另解：本题也可以B为原点建立空间直角坐标系计算平面法向量和直线的方向向量来计算验证．）

12．解：不等式①：，故①正确；

不等式②：，或，故②正确；

不等式③：，

设函数，则，

当地，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴，故③正确，综上可知选D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．130

解：由，得，故填130．

14．1

解：由已知，得，解得，符合题意，

∴，故填1．

15．

解：，得，，

∴，得．故填．

16．

解：如图，

根据题意，，，

∴，，

∴，

当且仅当时等号成立，

即，，，

∴（舍负）．故填．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）

解：（1）∵，

可得，∴是公差为2的等差数列，

∴，．

（2），

∴，

∴

．

18．（12分）

解：（1），解得，

成绩不及格的频率为，

∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，

∵21％＞20％，

∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．

（2）由（1）样本中成绩优秀有20人，由此完成2×2列联表如下所示：

假设：此次竞赛成绩与性别无关，

，

∴没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．

19．（12分）

解：（1）由已知在四棱柱中，侧棱底面ABCD，

得底面，∴，

∵，，点E为棱的中点．

在中，，

又，，∴，即，

又∵，∴平面．

（2）当点E在棱上的运动时，四棱锥体积为定值．

∵，平面，平面，

∴平面，

∴当点E在棱上的运动时，点E到平面距离d为定值，

∴为定值．

如图，连接，在中，

∵，，∴，

又∵，，∴平面，

∴．

20．（12分）

解：（1）设直线l的方程为，

联立，得，

设，，则，，

当时，，，

∵，∴，

∴．

（2）由（1）知，，

由直线OA方程，得，

∴，

∴，即BD平行于抛物线的对称轴．

（3）由（1），，

抛物线在A，B两点的切线方程分别为，，

两式相除消去y得，

解得，

∵，∴，

∴两条切线的交点的轨迹方程为．

21．（12分）

解：（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）由已知得，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

∴，

由恒成立得，

取对数得，即．

设，，

当时，，∴单调递增，

当地，，∴单调递减．

∴，

∵，∴，得，即．

综上，a的取值范围为．

22．（10分）

解：（1）由题意知在中，，，

∴，∴点B的极坐标为，

在正方形OBCD中，，

∴点C的极坐标为．

（2）设，，且，

由题可知曲线M的极坐标方程为，

当时，O，B两点重合，不合题意，

∴点B的极坐标方程为，

将上式带入得点D的极坐标方程为．

（注：未说明范围不扣分）

23．（10分）

解：（1）∵函数，

∴当时，；

即，解得，∴；

当时，；

即，解得，∴无解；

当时，，

即，解得，∴．

综上，的解集为．

（2）由（1）得的最小值3，

原不等式有解等价于的最小值，

∴，

即，解得或，

∴实数a的取值范围为．