江苏南通市启秀中学2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）

A． B． C． D．

2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）

A． B． C． D．

3．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为

A． B．

C． D．

4．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．75° B．60° C．55° D．45°

5．-4的相反数是（     ）

A． B． C．4 D．-4

6．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（　　）

A． B． C． D．3

7．如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （   ）

（A）33       （B）34      （C）35       （D）36

8．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

9．点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）

A．＞ B．= C．＜ D．不能确定

10．如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为3，则k的值为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．6

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．分解因式：=　　　　.

12．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．

13．在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为_____．

14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____．

15．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．

16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为                .

17．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为______米（结果保留根号）．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN

19．（5分）学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．

（1）请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；

（2）如图④，等边△ABC边长AB＝4，点O为它的外心，点M、N分别为边AB、BC上的动点（不与端点重合），且∠MON＝120°，若四边形BMON的面积为s，它的周长记为l，求最小值；

（3）如图⑤，等边△ABC的边长AB＝4，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，请用含x的代数式表示△BDQ的面积S△BDQ．

20．（8分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

21．（10分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：

（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量　    　，a为　     　：

（2）n为　     　°，E组所占比例为　     　%：

（3）补全频数分布直方图；

（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有　    　名．

22．（10分）（2017江苏省常州市）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中的样本容量是      ；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．

23．（12分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．

（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为     ；

（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；

（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为     ．

24．（14分）如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．

(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；

(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；

(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故选B．

2、A

【解析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【详解】

解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形，
故选：A．

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

3、A

【解析】
直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．

【详解】

解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：

﹣=1．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．

4、B

【解析】
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，

∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；

故选：B．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

5、C

【解析】
根据相反数的定义即可求解.

【详解】

-4的相反数是4，故选C.

【点晴】

此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.

6、B

【解析】
根据勾股定理和三角函数即可解答.

【详解】

解：已知在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，

设a=x,则c=3x,b==2x.

即tanA==.

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.

7、D

【解析】

试题分析：过点E作EM⊥OA，垂足为M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36；

故选D．

考点：反比例函数综合题．

8、B

【解析】
根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、C

【解析】

试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．

考点：反比例函数的性质．

10、B

【解析】
先根据矩形的特点设出B、C的坐标，根据矩形的面积求出B点横纵坐标的积，由D为AB的中点求出D点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式.

【详解】

解：如图：连接OE，设此反比例函数的解析式为y=（k＞0），C（c，0），

则B（c，b），E（c， ），

设D（x，y），

∵D和E都在反比例函数图象上，

∴xy=k，

即 ，

∵四边形ODBC的面积为3，

∴

∴

∴bc=4

∴

∵k＞0

∴ 解得k=2，

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，涉及到矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适中.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：。

12、（，1）或（﹣，1）

【解析】
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可

【详解】

根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．

当y=1时， x1-1=1，解得x=±

当y=-1时， x1-1=-1，方程无解

故P点的坐标为（）或（-）

【点睛】

此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．

13、3.05×105

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，解题关键是熟记科学计数法的表示方法.

14、

【解析】
延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．

【详解】

如图，延长AD、BC相交于点E，

∵∠B=90°，

∴，

∴BE=，

∴CE=BE-BC=2，AE=，

∴，

又∵∠CDE=∠CDA=90°，

∴在Rt△CDE中，，

∴CD=.

15、1

【解析】
根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．

【详解】

∵a+b＝3，ab＝2，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．

16、（10，3）

【解析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．

【详解】

∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),

∴AD=BC=10，DC=AB=8，

∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

∴AD=AF=10，DE=EF，

在Rt△AOF中,OF= =6，

∴FC=10−6=4，

设EC=x，则DE=EF=8−x，

在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，

即(8−x)2=x2+42，

解得x=3，即EC的长为3.

∴点E的坐标为(10,3).

17、．

【解析】

解：如图，连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=AN=（米），故答案为．

点睛：此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、详见解析.

【解析】
只要证明∠EAM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明.

【详解】

证明：∵AB∥CD，

∴∠EAB=∠ECD，

∵∠1=∠2，

∴∠EAM=∠ECN，

∴AM∥CN．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．

19、（1）详见解析；（2）2+2；（3）S△BDQx+．

【解析】
（1）根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可．

（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．证明△OEM≌△OFN（ASA），推出EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，推出S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，证明Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），推出BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，推出欲求最小值，只要求出l的最小值，因为l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM所以欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，由此即可解决问题．

（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明△PDF≌△QDE（ASA），即可解决问题．

【详解】

解：（1）如图1，作一边上的中线可分割成2个全等三角形，

如图2，连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，

如图3，连接各边的中点可分割成4个全等三角形，

（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．

∵△ABC是等边三角形，O是外心，

∴OB平分∠ABC，∠ABC＝60°∵OE⊥AB，OF⊥BC，

∴OE＝OF，

∵∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴∠EOF+∠EBF＝180°，

∴∠EOF＝∠NOM＝120°，

∴∠EOM＝∠FON，

∴△OEM≌△OFN（ASA），

∴EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，

∴S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，

∵OB＝OB，OE＝OF，∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），

∴BE＝BF，

∴BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，

∴欲求最小值，只要求出l的最小值，

∵l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM，

欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，

∵OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，

此时定值最小，s＝×2×＝，l＝2+2++＝4+，

∴的最小值＝＝2+2．

（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠DEA＝∠DEQ＝∠AFD＝90°，

∴∠EAF+∠EDF＝180°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠EDF＝∠PDQ＝120°，

∴∠PDF＝∠QDE，

∴△PDF≌△QDE（ASA），

∴PF＝EQ，

在Rt△DCF中，∵DC＝2，∠C＝60°，∠DFC＝90°，

∴CF＝CD＝1，DF＝，

同法可得：BE＝1，DE＝DF＝，

∵AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，PA＝x，

∴PF＝EQ＝3+x，

∴BQ＝EQ﹣BE＝2+x，

∴S△BDQ＝•BQ•DE＝×（2+x）×＝x+．

【点睛】

本题主要考查多边形的综合题，主要涉及的知识点：全等三角形的判定和性质、多边形内角和、角平分线的性质、等量代换、三角形的面积等，牢记并熟练运用这些知识点是解此类综合题的关键。

20、（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．

【解析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；

（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；

（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．

【详解】

解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1

∴k1=

设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，

∴k2=48

∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）

∴ 

（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30

即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．

（3）把y=3代入，得：x=4

把y=3代入，得：x=16

∵16﹣4=12

所以这次消毒是有效的．

【点睛】

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

21、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940

【解析】

分析：（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．

本题解析：

（）调查的总人数为，

∴，

，

（）部分所对的圆心角，即，

组所占比例为：，

（）组的频数为，组的频数为，

补全频数分布直方图为：

（），

∴估计成绩优秀的学生有人．

点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.

22、（1）100；（2）作图见解析；（3）1．

【解析】

试题分析：（1）根据百分比= 计算即可；

（2）求出“打球”和“其他”的人数，画出条形图即可；

（3）用样本估计总体的思想解决问题即可.

试题解析：（1）本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100，

故答案为100；

（2）其他有100×10%=10人，打球有100﹣30﹣20﹣10=40人，条形图如图所示：

（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=1人．

23、（1）；（1） ；（3）；

【解析】
（1）直接根据概率公式求解；

（1）先画树状图展示所有10种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；

（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P1．

【详解】

解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；

（1）画树状图为：

共有10种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为11，

所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；

（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，

所以两个项目都是径赛项目的概率P1==．

故答案为．

考点：列表法与树状图法．

24、（1）作图见解析；点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；（2）作图见解析；（3）

【解析】

分析：（1）直接利用已知点位置得出B点坐标即可；

    （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

    （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．

详解：（1）如图所示：点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；

    故答案为（﹣2，﹣5）；

    （2）如图所示：△AB2C2，即为所求；

    （3）如图所示：P点即为所求，P点坐标为：（﹣2，1），四边形ABCP的周长为：+++=4+2+2+2=6+4．

    故答案为6+4．

点睛：本题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键．