吉林省长春市东北师大附中新城校2021-2022学年中考数学模拟预测题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．﹣2018的相反数是（　　）

A．﹣2018 B．2018 C．±2018 D．﹣

2．对于一组统计数据1，1，6，5，1．下列说法错误的是（　　）

A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6

3．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

4．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为

A．-2 B．2 C．4 D．-4

5．如图是测量一物体体积的过程：

步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；

步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)(　　).

A．10 cm3以上，20 cm3以下 B．20 cm3以上，30 cm3以下

C．30 cm3以上，40 cm3以下 D．40 cm3以上，50 cm3以下

6．以下各图中，能确定的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是（   ）

A．4b+2c B．0 C．2c D．2a+2c

8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

9．如图，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

10．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）

A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6

11．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

12．a、b互为相反数，则下列成立的是（　　）

A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．=-1

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△OBC的面积为____．

14．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第根图形需要____________根火柴.

15．若圆锥的地面半径为，侧面积为，则圆锥的母线是__________．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为_____．

17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm．

18．中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为___．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．

请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．

20．（6分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）

21．（6分）在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　   　三角形；∠ADB的度数为　   　．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为　   　．

22．（8分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调査结果绘制了如下尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题:这次接受调查的市民总人数是_______人；扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是_________；请补全条形统计图；若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

23．（8分）先化简：，再从、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．

24．（10分）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC．

25．（10分）如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 11 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

26．（12分）如图，矩形中，对角线、交于点，以、为邻边作平行四边形，连接

求证：四边形是菱形若，，求四边形的面积

27．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。求证：D是BC的中点；如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、B

【解析】

分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

详解：-1的相反数是1．

故选：B．

点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2、D

【解析】
根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解.

【详解】

A、这组数据中1都出现了1次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；

B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；

C、S2= [（1﹣4）2+（1﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（1﹣4）2]=1.6，故此选项正确；

D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第1个数是1，故中位数为1，故此选项错误；

故选D．

考点：1.众数；2.平均数；1.方差；4.中位数.

3、D

【解析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．

【详解】

不等式组整理得：，

由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，

即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，

分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=，

由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4、D

【解析】
，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：

m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．

当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，

故选D．

5、C

【解析】

分析：本题可设玻璃球的体积为x，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．

详解：设玻璃球的体积为x，则有

解得30＜x＜1．

故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，1cm3以下．

故选C．

点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x的取值范围．

6、C

【解析】
逐一对选项进行分析即可得出答案．

【详解】

A中，利用三角形外角的性质可知，故该选项错误；

B中，不能确定的大小关系，故该选项错误；

C中，因为同弧所对的圆周角相等，所以，故该选项正确；

D中，两直线不平行，所以，故该选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

7、A

【解析】

由数轴上点的位置得：b<a<0<c，且|b|>|c|>|a|，

∴a+c>0，a−2b>0，c+2b<0，

则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c.

故选：B.

点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

8、C

【解析】
根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9、D

【解析】
求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

【详解】

把，代入反比例函数 ，得：，，

，

在中，由三角形的三边关系定理得：，

延长交轴于，当在点时，，

即此时线段与线段之差达到最大，

设直线的解析式是，

把，的坐标代入得：，

解得：，

直线的解析式是，

当时，，即，

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．

10、B

【解析】

试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，

∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，

∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===，

∴⊙C的半径为，故选B．

考点：圆的切线的性质；勾股定理．

11、D

【解析】

分析：

详解：如图,

∵AB⊥CD,CE⊥AD,

∴∠1=∠2,

又∵∠3=∠4,

∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,

即∠A=∠C.

∵BF⊥AD,

∴∠CED=∠BFD=90°,

∵AB=CD,

∴△ABF≌△CDE,

∴AF=CE=a,ED=BF=b,

又∵EF=c,

∴AD=a+b-c.

故选:D.

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.

12、B

【解析】
依据相反数的概念及性质即可得．

【详解】

因为a、b互为相反数，

所以a+b=1，

故选B．

【点睛】

此题主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、6

【解析】
根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC的面积．

【详解】

设点A的坐标为(a,),点B的坐标为(b,)，

∵点C是x轴上一点，且AO=AC，

∴点C的坐标是(2a,0)，

设过点O(0,0),A(a, )的直线的解析式为：y=kx，

∴=k⋅a，

解得k=，

又∵点B(b, )在y=x上，

∴=⋅b,解得, =或=− (舍去)，

∴S△OBC==6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.

14、

【解析】
根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.

【详解】

第一个图中有8根火柴棒组成，

第二个图中有8+6个火柴棒组成，

第三个图中有8+2×6个火柴组成，

……

∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.

故答案为6n+2

【点睛】

本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.

15、13

【解析】

试题解析：圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

设母线长为R，则： 

解得:

故答案为13.

16、5

【解析】
作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a＋，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．，AG＝CH＝a＋，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．

【详解】

解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，

设CM＝a，

∵AB＝AC，

∴BC＝2CM＝2a，

∵tan∠ACB＝2，

∴＝2，

∴AM＝2a，

由勾股定理得：AC＝a，

S△BDC＝BC•DH＝10，

•2a•DH＝10，

DH＝，

∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，

∴四边形DHMG为矩形，

∴∠HDG＝90°＝∠HDC＋∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，

∵∠ADC＝90°＝∠ADG＋∠CDG，

∴∠ADG＝∠CDH，

在△ADG和△CDH中，

∵，

∴△ADG≌△CDH（AAS），

∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a＋，

∴AM＝AG＋MG，

即2a＝a＋＋，

a2＝20，

在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，

∵AD＝CD，

∴2AD2＝5a2＝100，

∴AD＝5或−5（舍），

故答案为5．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG＝CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．

17、36.

【解析】

试题分析：∵△AFE和△ADE关于AE对称，∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE.∵tan∠EFC＝＝，∴可设EC＝3x，CF＝4x，那么EF＝5x，∴DE＝EF＝5x.∴DC＝DE＋CE＝3x＋5x＝8x.∴AB＝DC＝8x.

∵∠EFC＋∠AFB＝90°, ∠BAF＋∠AFB＝90°,∴∠EFC＝∠BAF.∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴＝.∴AB＝8x,∴BF＝6x.∴BC＝BF＋CF＝10x.∴AD＝10x.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2.∴（10x）2＋（5x）2＝（5）2.解得x＝1.∴AB＝8x＝8,AD＝10x＝10.∴矩形ABCD的周长＝8×2＋10×2＝36.

考点：折叠的性质；矩形的性质；锐角三角函数；勾股定理.

18、

【解析】

设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得：

故答案是：或 ．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）见解析；（2）图见解析；.

【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．

（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．

【详解】

解：（1）△A1B1C1如图所示．

（2）△A2B2C2如图所示．

∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为．

∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．

20、17.3米.

【解析】

分析：过点C作于D，根据，得到 ，在中，解三角形即可得到河的宽度.

详解：过点C作于D，

∵

∴

∴米，

在中，

∵

∴

∴

∴米，

∴米．

答：这条河的宽是米．

点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

21、（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+或7﹣

【解析】
（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；

②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．

（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．

（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．

【详解】

（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，

在△ABD和△ABD′中，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等边三角形，

②∵△D′BC是等边三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

在△AD′B和△AD′C中，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（1）∵∠DBC＜∠ABC，

∴60°＜α≤110°，

如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β，

同（1）①可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣（α+β），

∵α+β=110°，

∴∠D′BC=60°，

由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°．

（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，

由（1）知，∠ADB=30°，

作AE⊥BD，

在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，

∴DE=，

∵△BCD'是等边三角形，

∴BD'=BC=7，

∴BD=BD'=7，

∴BE=BD﹣DE=7﹣；

第②情况：当0°＜α＜60°时，

如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α，

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣α），

同（1）①可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]=180°﹣（α+β），

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°，

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，

∴DE=，

∴BE=BD+DE=7+，

故答案为：7+或7﹣．

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

22、 (1)1000；(2)54°；（3）见解析；（4）32万人

【解析】
根据“每项人数＝总人数×该项所占百分比”，“所占角度＝360度×该项所占百分比”来列出式子，即可解出答案.

【详解】

解：

(1)400÷40%＝1000(人)

(2)360°×＝54°，

故答案为：1000人； 54° ；

(3)1－10%－9%－26%－40%＝15%

15%×1000＝150(人)

(4)80×＝52.8(万人)

答：总人数为52.8万人.

【点睛】

本题考查获取图表信息的能力，能够根据图表找到必要条件是解题关键.

23、-1.

【解析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在、2、3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

，

当时，原式．

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

24、证明见解析.

【解析】

由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．

证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，

在△ABE和△FDC中，

∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F

∴△ABE≌△FDC（ASA），

∴AE=FC．

“点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．

25、不会有触礁的危险,理由见解析.   

【解析】

分析：作AH⊥BC，由∠CAH=45°，可设AH=CH=x，根据可得关于x的方程，解之可得．

详解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．

    由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=1．

    设AH=x，则CH=x．

    在Rt△ABH中，∵，

解得：．

∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

26、（1）见解析；（2）S四边形ADOE =.

【解析】
(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB.即可证明四边形AOBE为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.

(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO.根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=.根据面积公式SΔADC，即可求解.

【详解】

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴OA=OB=OC=OD.

∵平行四边形ADOE，

∴OD∥AE，AE=OD.

∴AE=OB.

∴四边形AOBE为平行四边形.

∵OA=OB，

∴四边形AOBE为菱形.

（2）解：∵菱形AOBE，

∴∠EAB=∠BAO.

∵矩形ABCD，

∴AB∥CD.

∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.

∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.

∵∠EAO+∠DCO=180°，

∴∠DCA=60°.

∵DC=2，

∴AD=.

∴SΔADC=.

∴S四边形ADOE =.

【点睛】

考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强.

27、（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

【详解】

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵点E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD，

∴D是BC的中点；

（2）若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AFBD是矩形．

【点睛】

本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．