吉林省长春市实验繁荣校2021-2022学年中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．将一副三角尺（在中，，，在中，，）如图摆放，点为的中点，交于点，经过点，将绕点顺时针方向旋转（），交于点，交于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5

3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（　　）

A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile

4．估计﹣1的值在（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

5．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是

A．6.75×103吨 B．67.5×103吨 C．6.75×104吨 D．6.75×105吨

6．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

7．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是(　 　)

A． B． C． D．

8．下列方程中有实数解的是（　　）

A．x4+16=0 B．x2﹣x+1=0

C． D．

9．平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．一个多边形的内角和是，则它是______边形．

12．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是_____（用含n的代数式表示）

13．如图，中，，则 __________．

14．分解因式：8a3﹣8a2+2a=_____．

15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是_____．

16．如下图，在直径AB的半圆O中，弦AC、BD相交于点E，EC＝2，BE＝1． 则cos∠BEC＝________．

17．一个两位数，个位数字比十位数字大4，且个位数字与十位数字的和为10，则这个两位数为_______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分） (1)如图，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？

(2)如图，在中，，，为边的中点，于点，交于，求的值

(3)如图，中，，为边的中点，于点，交于，若，，求.

19．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．求证：△ABE∽△DEF．若正方形的边长为4，求BG的长．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC＝4，AC＝1．点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC或BC于点M．又过点P作AC的平行线，与过点M的PM的垂线交于点N．设边AP＝x，△PMN与△ABC重合部分图形的周长为y．

（1）AB＝　   　．

（2）当点N在边BC上时，x＝　   　．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（4）在点N位于BC上方的条件下，直接写出过点N与△ABC一个顶点的直线平分△ABC面积时x的值．

21．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

22．（10分）某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：

（1）求购进的第一批文化衫的件数；

（2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？

23．（12分）已知抛物线y=﹣2x2+4x+c．

（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；

（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根．

24．（14分）阅读下列材料：

材料一：

早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.

材料二：

以下是某同学根据网上搜集的数据制作的年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.

他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.

根据以上信息解决下列问题：

（1）补全以下两个统计图；

（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．

【详解】

∵点D为斜边AB的中点，

∴CD=AD=DB，

∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CPD=60°，

∴∠MPD=∠NCD，

∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），

∴∠PDM=∠CDN=α，

∴△PDM∽△CDN，

∴=，

在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，

∴=tan30°=．

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．

2、B

【解析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．

【详解】

∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−，
解得，m=-1，
故选B．

3、B

【解析】
如图，作PE⊥AB于E．

在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，

∴PE=AE=×60=n mile，

在Rt△PBE中，∵∠B=30°，

∴PB=2PE=n mile．

故选B．

4、B

【解析】
根据，可得答案.

【详解】

解：∵，

∴，

∴

∴﹣1的值在2和3之间.

故选B.

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，先确定的大小，在确定答案的范围.

5、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×2．故选C．

6、D

【解析】
由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，

∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，

解得：m＜1．

故选D．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．

7、C

【解析】
从正面看到的图形如图所示：

，

故选C．

8、C

【解析】
A、B是一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；C是无理方程，容易看出没有实数根；D是分式方程，能使得分子为零，分母不为零的就是方程的根．

【详解】

A.中△=02﹣4×1×16=﹣64＜0，方程无实数根；

B.中△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程无实数根；

C.x=﹣1是方程的根；

D.当x=1时，分母x2-1=0，无实数根．

故选：C．

【点睛】

本题考查了方程解得定义，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解答本题的关键是针对不同的方程进行分类讨论.

9、D

【解析】

分析：根据题意得出a和b的正负性，从而得出点B所在的象限．

详解：∵点A在第三象限，  ∴a＜0，－b＜0，  即a＜0，b＞0， ∴点B在第四象限，故选D．

点睛：本题主要考查的是象限中点的坐标特点，属于基础题型．明确各象限中点的横纵坐标的正负性是解题的关键．

10、D

【解析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

【详解】

A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；

B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；

D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．

故选D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、六

【解析】

试题分析：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=1．则这个正多边形的边数是六，故答案为六．

考点：多边形内角与外角．

12、3n+1

【解析】
根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13个图案，由此可得出规律．

【详解】

解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，

∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1

故答案为：3n+1.

【点睛】

本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型．

13、17

【解析】

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA= ，

∵，∴AC＝8，

∴AB= =17,

故答案为17.

14、2a（2a﹣1）2

【解析】
提取2a,再将剩下的4a2-4a+1用完全平方和公式配出（2a﹣1）2，即可得出答案.

【详解】

原式=2a（4a2-4a+1）=2a（2a﹣1）2.

【点睛】

本题考查了因式分解，仔细观察题目并提取公因式是解决本题的关键.

15、4

【解析】
连接把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为的面积的2倍．

【详解】

解：连接OP、OB，

∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，

图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积−△BOP的面积，

又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，

∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，

∴两部分面积之差的绝对值是

点睛：考查扇形面积和三角形的面积，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.

16、

【解析】

分析：连接BC，则∠BCE＝90°，由余弦的定义求解.

详解：连接BC，根据圆周角定理得，∠BCE＝90°，

所以cos∠BEC＝.

故答案为.

点睛：本题考查了圆周角定理的余弦的定义，求一个锐角的余弦时，需要把这个锐角放到直角三角形中，再根据余弦的定义求解，而圆中直径所对的圆周角是直角.

17、37

【解析】
根据题意列出一元一次方程即可求解.

【详解】

解：设十位上的数字为a,则个位上的数为（a+4）,依题意得：

a+a+4=10,

解得：a=3,

∴这个两位数为：37

【点睛】

本题考查了一元一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系是解题关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (1)相等，理由见解析；(2)2；(3).

【解析】
（1）先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF≌△DAE，即可得出结论；
（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；
（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出结论．

【详解】

解：（1）BF=AE，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，

 (2) 如图2，
过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于M，延长BF交CM于G，
 

∴四边形ABCM是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴▱ABCM是矩形，
∵AB=BC，
∴矩形ABCM是正方形，
∴AB=BC=CM，
同（1）的方法得，△ABD≌△BCG，
∴CG=BD，
∵点D是BC中点，
∴BD=BC=CM，
∴CG=CM=AB，
∵AB∥CM，
∴△AFB∽△CFG，

∴

 (3) 如图3，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵点D是BC中点，
∴BD=BC=2，
过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于N，延长BF交CN于P，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴▱ABCN是矩形，
同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，
∵∠ABD=∠BCP=90°，
∴△ABD∽△BCP，

∴

∴

∴CP=

同（2）的方法，△CFP∽△AFB，

∴

∴

∴CF=.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出（1）题的图形，是解本题的关键．

19、（1）见解析；（2）BG=BC+CG=1．

【解析】
（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AE：AB=DF：DE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF∽△GCF，再根据相似的性质即可求得CG的长，那么BG的长也就不难得到.

【详解】

（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.

∵AE=ED，

∴AE：AB=1：2.

∵DF=DC，

∴DF：DE=1：2，

∴AE：AB=DF：DE，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴△EDF∽△GCF，

∴ED：CG=DF：CF.

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=1.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

20、（1）2；（2）；（1）详见解析；（4）满足条件的x的值为．

【解析】
（1）根据勾股定理可以直接求出（2）先证明四边形PAMN是平行四边形，再根据三角函数值求解（1）分情况根据t的大小求出不同的函数关系式（4）不同条件下：当点G是AC中点时和当点D是AB中点时，根据相似三角形的性质求解.

【详解】

解：（1）在中，,

故答案为2．

（2）如图1中，

∴四边形PAMN是平行四边形，

当点在上时，，

．

（1）①当时，如图1，

．

②当时，如图2，

y

③当时，如图1，

（4）如图4中，当点是中点时，满足条件

.

如图2中，当点是中点时，满足条件．

.

综上所述，满足条件的x的值为或．

【点睛】

此题重点考查学生对一次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定，相似三角形的性质和三角函数值的综合应用能力，熟练掌握勾股定理和三角函数值的解法是解题的关键.

21、（1）两次下降的百分率为10%；       

（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．

【解析】
（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为 x．

40×（1﹣x）2＝32.4

x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，

由题意，得

解得：＝1.1，＝2.1，

∵有利于减少库存，∴y＝2.1．

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．

22、（1）50件；（2）120元．

【解析】
（1）设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价÷单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据第二批购进的件数比第一批多40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设第一批购进文化衫x件，

根据题意得： +10=，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进文化衫50件；

（2）第二批购进文化衫（1+40%）×50=70（件），

设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，

根据题意得：（50+70）y﹣4000﹣6300≥4100，

解得：y≥120，

答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

23、 (1)c＞﹣2；(2) x1=﹣1，x2=1．

【解析】
（1）根据抛物线与x轴有两个交点，b2-4ac＞0列不等式求解即可；
（2）先求出抛物线的 对称轴，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系解答．

【详解】

（1）解：∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

即16+8c＞0，

解得c＞﹣2；

（2）解：由y=﹣2x2+4x+c得抛物线的对称轴为直线x=1，

∵抛物线经过点（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴方程﹣2x2+4x+c=0的根为x1=﹣1，x2=1．

【点睛】

考查了抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程，解题关键是运用了根与系数的关系以及二次函数的对称性．

24、（1）见解析；（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可

【解析】
分析：（1）根据2015年网络售票占17.33%，2017年8月实现网络售票占比77%，2017年10月2日，首次实现全部网络售票，即可补全图1，根据2016年度中国国家博物馆参观人数及年增长率，即可补全图2;（2）根据近两年平均每年增长385000人次，即可预估2018年中国国家博物馆的参观人数.

详解：（1）补全统计图如

（2）近两年平均每年增长385000人次，预估2018年中国国家博物馆的参观人数为8445000人次．（答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．）

点睛：本题考查了统计表、折线统计图的应用，关键是正确从统计表中得到正确的信息，折线统计图表示的是事物的变化情况.