数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课后作业题

1、归纳过程中的增减项

2、归纳法：归纳、猜想、证明

3、数归法求通项公式

4、数归法证明不等式

5、实际应用题中的数归法

      一、归纳过程中的增减项

理解数学归纳法的证明原理和证明过程。

1.   “指数”形式的左右两边增减项，如例题1
2.   多项式形式的增减，注意左边起点项和终点项的变化，如例题2
3.   整除形式，注意余项的变化，如例题3，稍微难点
4.   实际应用型，注意验证起点项要结合实际意义，如例题4
5.   分式型，起点项会出现漏项，如例题5
6.   验证首项，必须出归纳对应的一般规律，防止“惯性思维”产生错觉，这类题的重点题型如例题10

【典型例题】

【例1】．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（    ）

A．1项 B．k项

C．2k－1项 D．2k项

【例2】用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（    ）

A． B． C． D．

【例3】用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除.

A． B． C． D．

【例4】在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)

A．1

B．2

C．3

D．0

【例5】利用数学归纳法证明…且）时，第二步由到时不等式左端的变化是（　　）

A．增加了这一项

B．增加了和两项

C．增加了和两项，同时减少了这一项

D．以上都不对

【例6】某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，命题不成立

B．当时，命题可能成立

C．当时，命题不成立

D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立

【例7】用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（    ）

A．假设时命题成立              B．假设时命题成立

C．假设时命题成立             D．假设时命题成立

【例8】用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ）

A． B． C． D．

【例9】已知，用数学归纳法证明时，有______．

【例10】用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（    ）

A． B． C． D．

【对点实战】

1.利用数学归纳法证明“，”时，从””变到“”时，左边应增加的因式是

A． B． C． D．

2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成

A．假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确

B．假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确

C．假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确

D．假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确

3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（    ）

A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立

      二、数归法：归纳、猜想、证明

【典型例题】

【例1】已知数列{an}满足：，点在直线上．

（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

【例2】已知数列，首项，前项和足.

（1）求出，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

【例3】已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

【例4】已知数列，首项，前项和足.

（1）求出，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

      三、数归法证明求通项公式

【典型例题】

【例1】已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．

【例2】若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．

【例3】已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

【例4】猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

      四、数归法证明不等式

【典型例题】

【例1】用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).

【例2】求证：.

【例3】证明：对于一切自然数都有.

【例4】已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.

证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．

【例5】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．

【例6】证明：不等式，恒成立.

【例7】试用数学归纳法证明.

      五、应用猜想中的数学归纳法

【典型例题】

【例1】平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．

【例2】用数学归纳法证明：能被整除.

【例3】证明：能够被6整除．

【例4】汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.

（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）

（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.

【例5】求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.