高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

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5.3.2
函数的极值与最大(小)值



【知识目录】




1、 极值最值概念
2、 图像与极值
3、 常见函数求最值与极值（基础无参）
4、 极值存在（含参，重点）
5、 三次函数
6、 压轴题：最值与范围综合（难点）


典例分类精讲




Ø 一、极值最值概念
区分以下一些容易混淆的概念。
1. 导函数等0与极值的关系，
2. 极值点不仅仅导函数为零，并且两边导函数“变号”

【典型例题】
【例1】已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【答案】B
【分析】
用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项
【详解】
导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；
根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误．
故选：B
【例2】连续函数在上（ ）
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
【答案】D
【详解】
由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
【例3】已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（ ）条件.
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】
结合极值点、充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.
是的极值点时，由于在上连续，所以.
所以是为函数极值点的必要不充分条件.故选：C
【例4】关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
【答案】D
【分析】
利用研究函数的最值.
【详解】
依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.
故选：D
【例5】函数的极大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.
【详解】
依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.故选B.
【例6】已知等差数列的前项和为，则的极大值为
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据等差数列前项和公式的特点，求得的值，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极大值.
【详解】
由于等差数列前项和公式中，常数项为，故，，故函数在上递增，在上单调递减，故当时取得极大值为.故选A.
【例7】已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，∴.
故选：C.

【对点实战】
1.函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝时，f(x)取最大值 B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值 D．当x＝－时，f(x)取最小值
【答案】D
【分析】
利用导数可求函数的最值，即可判断.
【详解】
∵函数f(x)＝x·2x，∴f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．故选：D
2.函数的极小值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】
利用导数讨论函数的单调性，进而得出函数的极小值.
【详解】
，由得，当时，
当时，则时为函数的极小值.
故选：B
3.关于函数说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
【答案】A
【分析】
对函数求导，利用导数求解函数的最值即可
【详解】
解：函数的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，没有最小值，
故选：A
4.下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据极值的定义进行求解即可.
【详解】
A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；
B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；
C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值；
D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，
故选：D
5.下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
【答案】C
【分析】
先函数进行求导，在令解出，再结合导函数的符号分析出极大值与极小值.
【详解】
由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以A错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值,也是最大值，所以有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.
故选：C

Ø 二、图像与极值
导函数图像与原函数图像：
1. 导函数看“正负”。
2. 原函数看“增减”
3. 极值点是导函数的“穿越根”
4. 注意“相切根”只是增减速度发生了改变，不对应极值点。
此处举例，可以用及其导函数图像来类比学习

【典型例题】
【例1】已知定义在上的函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．有极小值 B．有最大值
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】A
【分析】
依据图象直接依次进行判断即可.
【详解】
由图可知：有极小值，无最大值，且的定义域为，，
所以该函数不是奇函数，同时函数图象不关于轴对称，故不为偶函数，
所以答案为A
故选：A
【例2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合导函数图象确定正确选项.
【详解】
函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，
由图可知，一共有个点符合.故选：A
【例3】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．是的极小值点
B．是的极小值点
C．曲线在处的切线斜率小于零
D．在区间上单调递减
【答案】C
【分析】
根据导函数的图象可知，当或时，，当时，，再根据导函数与原函数的关系，得出的单调区间，从而可知极大值点和极小值点，即可判断A，B，D选项，还根据导数的定义和几何意义即可判断C选项，从而得出答案.
【详解】
解：由图象知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，所以A，B，D选项错误，
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，所以C选项正确.故选：C.
【例4】已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
【例5】已知定义在上的函数恰有3个极值点，则的导函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数极值点的定义，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据函数极值点的定义可知，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，
另一个是该点左、右两边的导数值异号，故A与C对应的函数只有2个极值点，
B对应的函数有4个极值点，D对应的函数有3个极值点．
故选：D.
【例6】设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B．函数f（x）有极小值f(-3)和f（3）
C．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D．函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）
【答案】D
【分析】
结合图象，讨论出原函数的单调区间，进而得到极值点的位置，最后得到答案.
【详解】
由题意，时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f（3）.故选：D.

【对点实战】
1.已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
结合导函数图象确定正确选项.
【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，
由图得：导函数值先负后正的点有1个．所以函数在区间内极小值点的个数是1．
故选：A
2.设f ′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f ′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（ ）

A．B．C． D．
【答案】D
【分析】
由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，即可得到答案；
【详解】
由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，
故选：D.
3.已知函数的导函数的图象如图，则（ ）

A．函数有个极大值点，个极小值点
B．函数有个极大值点，个极小值点
C．函数有个极大值点，个极小值点
D．函数有个极大值点，个极小值点．
【答案】B
【分析】
根据导函数值的正负判断原函数的单调性，再根据单调性的改变判断极值点.由单调递增变为单调递减为极大值，单调递减变为单调递增为极小值.
【详解】
由的图象可知，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以在为极大值，在时为极小值.
故选：B.
4.如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．是函数的极小值点
B．当或时，函数的值为0
C．函数关于点对称
D．函数在上是增函数
【答案】D
【分析】
A. 不是函数的极值点，所以该选项错误；
B.函数的值不一定为0，所以该选项错误；
C. 没有理由推出函数关于点对称，所以该选项错误；
D. 时，，函数单调递增，故该选项正确.
【详解】
A. 因为两边的导数都是负数，所以不是函数的极值点，所以该选项错误；
B. 当或时，的值为0，但是函数的值不一定为0，所以该选项错误；
C. 没有理由推出函数关于点对称，所以该选项错误；
D. 结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故该选项正确.
故选：D．
5.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．
【详解】
由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；
当时，，此时，，若，，
所以函数的图象可能是C．故选：C

Ø 三、常见函数求最值与极值（无参）
求最值或者极值，实质上是解方程。求解对数、指数以及幂函数等函数零点。这个点几个例题虽然不难，但是是后续含参讨论的基础之一，授课时注意针对不同函数，讲清楚零点求解特征。并且，【对点实战】练习题中的多函数组合（幂函数与的积和商）图像，非常重要，尽量用几何画板再画出让学生记下来，可当做二级结论记忆。
1. 对数函数闭区间最值，如例题1
2. 幂函数最值，如例题2，
3. 指数函数最值，如例题3
4. 三角函数最值，如例题4
5. “一元三次函数”最值，如例题5
6. 对勾函数极值，如例题6（实质上可画图得）
7. “反比例函数”最值极值，如例题7.

【典型例题】
【例1】函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【分析】
对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】
由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
【例2】函数的最大值为（ ）
A．32 B．27 C．16 D．40
【答案】A
【分析】
利用导数即可求解.
【详解】
因为，所以当时，；
当时，.
所以函数在上单调递增；在上单调递增,，
因此，的最大值为.
故选：A
【例3】在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，故选：B．
【例4】函数在上的最大值为（　　）
A． B．π C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，∴.故选：B
【例5】函数的极大值为（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】
根据极大值点的存在条件即可求出．
【详解】
因为，
当时，，当时，，当时，，
所以是函数的极大值点，极大值为．故选：D．
【例6】函数y＝x＋(－2