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    专题2.4线段、角的轴对称性-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

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    【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】专题2.4线段、角的轴对称性【名师点睛】一、        角平分线的性质角平分线的判定三、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的【典例剖析】【例1】(2019秋•广陵区校级月考)如图,在△ABC中,∠C90°,AD平分∠CABDEAB于点E,点FAC上,BEFC.求证:BDDF【分析】因为∠C90°,DEAB,所以∠C=∠DEB,又因为AD平分∠BAC,所以CDDE,已知BEFC,则可根据SAS判定△CDF≌△EDB,根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】证明:∵AD平分∠BACDEAB,∠C90°,DCDE在△DCF和△DEB中,∴△DCF≌△DEB,(SAS),BDDF【变式1】(2021秋•如皋市期中)如图,∠AOB90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OAOB交于点CD,证明:PCPD【分析】过点P点作PEOAEPFOBF,根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD90°,由OM是∠AOB的平分线,根据角平分线的性质得到PEPF,利用四边形内角和定理可得到∠PCE+PDO360°﹣90°﹣90°=180°,而∠PDO+PDF180°,则∠PCE=∠PDF,然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF,根据全等的性质即可得到PCPD【解答】证明:过点P点作PEOAEPFOBF,如图,∴∠PEC=∠PFD90°,OM是∠AOB的平分线,PEPF∵∠AOB90°,∠CPD90°,∴∠PCE+PDO360°﹣90°﹣90°=180°,而∠PDO+PDF180°,∴∠PCE=∠PDF在△PCE和△PDF∴△PCE≌△PDFAAS),PCPD【例2】(2019秋•新北区期中)作图题:在∠ABC内找一点P,使它到∠ABC的两边的距离相等,并且到点AC的距离也相等.(写出作法,保留作图痕迹)【分析】先作出∠ABC的角平分线,再连接AC,作出AC的垂直平分线,两条平分线的交点即为所求点.【解析】B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交BCABDE两点;分别以DE为圆心,以大于DE为半径画圆,两圆相交于F点;连接BF,则直线BF即为∠ABC的角平分线;连接AC,分别以AC为圆心,以大于AC为半径画圆,两圆相交于HG两点;连接GHBF延长线于点P,则P点即为所求.【例3】(2021秋•丹阳市期中)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点DE.已知△ADE的周长为13cm1)求线段BC2)分别连接OAOBOC,若△OBC的周长为27cm,则OA的长为  7 cm【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得DADBEAEC,即可得到BCDB+DE+ECAD+DE+EA13cm2)由BC13结合OB+OC+BC27得到OB+OC14,根据线段垂直平分线的性质可得OAOBOC,继而求得OA的长.【解析】(1)∵OM是线段AB的垂直平分线,DADB同理,EAEC∵△ADE的周长13AD+DE+EA13BCDB+DE+ECAD+DE+EA13cm);2)连接OBOC∵△OBC的周长为27OB+OC+BC27BC13OB+OC14OM垂直平分ABOAOB同理,OAOCOAOBOC7cm),故答案为:7【变式3】(2021秋•高港区月考)在△ABC中,AB的垂直平分线分别交线段ABBC于点MPAC的垂直平分线分别交线段ACBC于点NQ1)如图,当∠BAC80°时,求∠PAQ的度数;2)当∠BAC满足什么条件时,APAQ,说明理由;3)在(2)的条件下,BC10,求△APQ的周长.【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠B+C,再根据等边对等角的性质可得∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,然后代入数据进行计算即可得解;2)根据垂直平分线的性质可得∠PAB+QAC=∠B+C,再利用三角形内角和可得∠BAC的度数;3)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得APBPAQCQ,然后求出△APQ周长等于BC,从而得解.【解析】(1)∵MPNQ分别是ABAC的垂直平分线,APBPAQCQ∵∠BAC80°,∴∠B+C180°﹣80°=100°,APBPAQCQ∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C∴∠PAQ=∠BAP+CAQ﹣∠BAC=∠B+C﹣∠BAC100°﹣80°=20°;2)如图,APAQ∴∠PAQ90°,由(1)得,∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C∴∠B+C180°﹣∠BAC,∠BAP+CAQ=∠BAC90°,180°﹣∠BAC=∠BAC90°,∴∠BAC135°;答:当∠BAC135°时,APAQ3)∵△APQ周长=AP+PQ+AQBP+PQ+QCBCBC10∴△APQ周长=10【满分训练】一.选择题(共10小题)1.(2021秋•靖江市期末)如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的(  )处,这块薄板就能保持平衡.A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高线所在直线的交点 D.三边垂直平分线的交点【分析】根据题意得:支撑点应是三角形的重心.根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可得出答案.【解析】∵三角形的重心是三角形三边中线的交点,∴如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处,这块薄板就能保持平衡.故选:B2.(2021秋•江都区期末)如图,在△ABC中,ABAC的垂直平分线分别交BC于点EF,若∠BAC114°,则∠EAF为(  )A40° B44° C48° D52°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+C,根据线段垂直平分线的性质得到EAEB,根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B,结合图形计算即可.【解析】在△ABC中,∠BAC114°,则∠B+C180°﹣∠BAC180°﹣114°=66°,EGAB的垂直平分线,EAEB∴∠EAB=∠B同理:∠FAC=∠C∴∠EAB+FAC=∠B+C66°,∴∠EAF=∠BAC﹣(∠EAB+FAC)=114°﹣66°=48°,故选:C3.(2021秋•锡山区期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,若△ABC的周长为19cmAE3cm,则△ACD的周长为(  )A22cm B19cm C13cm D7cm【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DADBAB2AE6cm),根据三角形的周长公式计算,得到答案.【解析】∵△ABC的周长为19cmAB+AC+BC19cmDEAB的垂直平分线,AE3cmDADBAB2AE6cm),AC+BC19613cm),∴△ACD的周长=AC+CD+DAAC+CD+DBAC+BC13cm),故选:C4.(2021秋•徐州期中)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点EBC10DE3,则△BCE的面积为(  )A16 B15 C14 D13【分析】过EEEFBCF,根据角平分线性质得出EFDE3,根据三角形面积公式求出即可.【解析】EEFBCFCDAB边上的高线,BE平分∠ABCEFDE3BC10∴△BCE的面积为15故选:B5.(2021秋•崇川区期末)如图,在RtABC中,∠C90°,AD平分∠BACBC于点D,若AB8,△ABD的面积为16,则CD的长为(  )A2 B4 C6 D8【分析】作DEABE,根据三角形的面积公式求出DE,根据角平分线的性质求出CD【解析】DEABE,如图所示:×AB×DE16,即×8×DE16解得,DE4AD平分∠BAC,∠C90°,DEABCDDE4故选:B6.(2021秋•常州期末)如图,∠ABC、∠ACE的平分线BPCP交于点PPFBDPGBE,垂足分别为FG,下列结论:SABPSBCPABBCAPB+ACP90°;ABC+2APC180°,其中正确的结论有(  )A0 B1 C2 D3【分析】根据角平分线的性质得到PFPG,根据三角形的面积公式即可得到正确;过PPHACH,根据角平分线的定义和外角定理得到∠CAF=∠ABC+ACB2PAF,∠PAFABC+APB,求得∠ACB2APB,于是得到∠APB+ACP90°,故正确;根据四边形的内角和定理得到∠ABC+FPG180°,根据全等三角形的性质得到∠APF=∠APG,∠CPH=∠CPG,于是得到∠ABC+2APC180°,故正确.【解析】PB平分∠ABCPFBDPGBEPFPGSABPSBCPABPFBCPGABBC,故正确;PPHACHPC平分∠ACEPHPGPFPHPA平分∠CAFBP平分∠ABC∴∠CAF=∠ABC+ACB2PAF,∠PAFABC+APB∴∠ACB2APB∵∠ACB+ACE180°,=∠APB+ACP90°,故正确;PFABPGBC∴∠ABC+90°+FPG+90°=360°,∴∠ABC+FPG180°,RtPAFRtPAH中,RtPAFRtPAHHL),∴∠APF=∠APG同理:RtPCHRtPCGHL),∴∠CPH=∠CPG∴∠FPG2APC∴∠ABC+2APC180°,故正确;故选:D7.(2021秋•崇川区月考)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若AD3,△ACE的周长为13,则△ABC的周长为(  )A19 B16 C29 D18【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,易得AEBE,又由△ACE的周长是13,可求得AC+BC13,继而求得答案.【解析】DEAB的垂直平分线,AEBEAB2AD6∵△ACE的周长是13AC+AE+CEAC+BE+CEAC+BC13∴△ABC的周长是:AB+AC+BC6+1319故选:A8.(2020秋•天宁区期中)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE,分别与AB边和AC边交于点D和点EBC边的垂直平分线FG,分别与BC边和AC边交于点F和点G,又△BEG的周长为16,且GE1,则AC的长为(  )A16 B15 C14 D13【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EBEAGBGC,根据三角形的周长公式计算,得到答案.【解析】DEAB边的垂直平分线,EBEAFGBC边的垂直平分线,GBGC∵△BEG的周长为16GB+GE+EB16AE+GE+GC16AC+GE+GE16GE1AC16214故选:C9.(2020秋•射阳县校级月考)如图,四边形ABCD中,∠A90°,AD2,连接BDBDCD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是(  )A1 B1.5 C2 D2.5【分析】作DEBC,根据三角形内角和定理得到∠ABD=∠CBD,根据角平分线的性质解答即可.【解析】过点DDEBCE,则DE即为DP的最小值,∵∠BAD=∠BDC90°,∠ADB=∠C∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠CBDDAABDEBCDEAD2故选:C10.(2021秋•工业园区校级月考)如图,△ABC中,∠ABC、∠EAC的角平分线BPAP交于点P,延长BABCPMBEPNBF,则下列结论中正确的个数(  )CP平分∠ACFABC+2APC180°;ACB2APBSPACSMAP+SNCPA1 B2 C3 D4【分析】过点PPDACD,根据角平分线的判定定理和性质定理判断;证明RtPAMRtPAD,根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD,判断;根据三角形的外角性质判断;根据全等三角形的性质判断【解析】过点PPDACDPB平分∠ABCPA平分∠EACPMBEPNBFPDACPMPNPMPDPMPNPD∴点P在∠ACF的角平分线上,故正确;PMABPNBC∴∠ABC+90°+MPN+90°=360°,∴∠ABC+MPN180°,RtPAMRtPAD中,RtPAMRtPADHL),∴∠APM=∠APD同理:RtPCDRtPCNHL),∴∠CPD=∠CPN∴∠MPN2APC∴∠ABC+2APC180°,正确;PA平分∠CAEBP平分∠ABC∴∠CAE=∠ABC+ACB2PAM,∠PAMABC+APB∴∠ACB2APB正确;可知RtPAMRtPADHL),RtPCDRtPCNHLSAPDSAPMSCPDSCPNSAPM+SCPNSAPC,故正确,故选:D二.填空题(共8小题)11.(2020秋•玄武区校级期中)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据是  在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】过两把直尺的交点PPEAOPFBO,根据题意可得PEPF,再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上,可得OP平分∠AOB【解析】如图所示:过两把直尺的交点PPEAOPFBO∵两把完全相同的长方形直尺,PEPFOP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),故答案为:在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.12.(2022•广陵区一模)如图,△ABC中,∠C90°,AD平分∠CABBC于点DDEAB于点E,如果AC6cmBC8cm,则DE的长为  3 cm【分析】首先利用勾股定理求出AB,然后利用角平分线的性质得到CDDE,接着在RtDEB中利用勾股定理建立方程模型求解.【解析】AD平分∠CABBC于点DDEAB于点E,∠C90°,CDDEACAEAC6cmBC8cmAB10cmBEABAE10AC1064DEx,则CDxBD8xRtDEB中,BD2DE2+BE2∴(8x2x2+42xDE3cm故答案为:313.(2022•宿城区校级开学)如图,△ABC中,DE垂直平分ABAB于点D,交BC于点E,∠B30°,∠ACE50°,则∠EAC 70° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AEBE,根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠B30°,根据三角形的内角和定理即可得到结论.【解析】DE垂直平分ABAEBE∴∠BAE=∠B30°,∴∠AEC=∠B+BAE60°,∵∠C50°,∴∠EAC180°﹣∠C﹣∠AEC70°,故答案为:70°.14.(2021秋•如皋市期末)如图,在四边形ABCD中,∠A90°,AD4cmBC7cm,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为  14 cm2【分析】过DDEBCE,根据角平分线的性质得出DEAD4cm,再根据三角形的面积公式求出答案即可.【解析】DDEBCE∵∠A90°,对角线BD平分∠ABCADDEAD4cmDE4cmBC7cmSBCD14cm2),故答案为:1415.(2021秋•苏州期中)如图,在△ABC中,DMEN分别垂直平分ACBC,交ABMN两点,∠ACB135°,则∠MCN 90 度.【分析】据三角形内角和定理求出∠A+B;根据等腰三角形性质得∠ACM+BCN的度数,然后求解.【解析】∵∠ACB135°,∴∠A+B45°.AMCMBNCN∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN∴∠ACM+BCN45°.∴∠MCN=∠ACB﹣(∠ACM+BCN)=135°﹣45°=90°.故答案为:9016.(2021秋•锡山区期末)如图,已知△ABC的周长是10,∠B和∠C的平分线交于P点,过P点作BC的垂线交BC于点D,且PD2,则△ABC的面积是  10 【分析】过P点分别作PEABPFAC,垂足分别为EF,由角平分线的性质可求PEPFPD2,结合三角形的周长,利用SABCSABP+SPBC+SAPC可求解.【解析】P点分别作PEABPFAC,垂足分别为EF,连接AP∵∠B和∠C的平分线交于P点,PDBCPEPFPD2∵△ABC的周长是10AB+BC+AC10SABCSABP+SPBC+SAPC1017.(2021秋•泰兴市期末)如图,在锐角△ABC中、∠A80°,DEDF分别垂直平分边ABAC,则∠DBC的度数为 10 °.【分析】连接DADC,根据三角形内角和定理得到∠ABC+ACB100°,根据线段的垂直平分线的性质得到DADBDADC,进而得到DBDC,∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,根据等腰三角形的性质计算,得到答案.【解析】连接DADC∵∠BAC80°,∴∠ABC+ACB180°﹣80°=100°,DEDF分别垂直平分边ABACDADBDADCDBDC,∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA∴∠DBA+DCA=∠DAB+DAC80°,∴∠DBC=∠DBC×(100°﹣80°)=10°,故答案为:1018.(2018秋•惠山区期中)如图,已知△ABC中,∠ABC50°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交ABBC于点MN.若MPA的中垂线上,NPC的中垂线上,则∠APC的度数为 115° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠BMN+BNM130°,根据线段垂直平分线的性质得到MAMP,根据等腰三角形的性质,三角形的外角的性质计算.【解析】∵∠B+BMN+BNM180°,∴∠BMN+BNM180°﹣50°=130°,MPA的中垂线上,MAMP∴∠MAP=∠MPA同理,∠NCP=∠NPC∵∠BMN=∠MAP+MPA,∠BNM=∠NPC+NCP∴∠MPA+NPC×130°=65°,∴∠APC180°﹣65°=115°,故答案为:115°.三.解答题(共6小题)19.(2019秋•泰兴市期中)如图:已知OAOB两条公路,以及CD两个村庄,建立一个车站P,使车站到两个村庄距离相等即PCPD,且POAOB两条公路的距离相等.【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线,它们的交点为P点.【解析】如图,点P为所作.20.(2022•鼓楼区校级二模)如图,在△ABC中,AHBC,垂足为H,且BHCHEBA延长线上一点,过点EEFBC,分别交BCACFM1)求证∠B=∠C2)若AB5AH3AE2,求MF的长.【分析】(1)利用线段垂直平分线的店铺与性质可证明结论;2)证明△CMF∽△CAH,列比例式计算可求解.【解答】(1)证明:∵AHBC,垂足为H,且BHCHAHBC的垂直平分线.ABAC∴∠B=∠C2)解:∵AHBCABAC∴∠BAH=∠CAHAHBCEFBC∴∠AHB=∠EFB90°.AHEF∴∠BAH=∠E,∠CAH=∠AME∴∠E=∠AMEAMAE2ABAC5CMACCM3AHEF∴△CMF∽△CAHMF21.(2021秋•南京期末)如图,在△ABC中,ABAC的垂直平分线l1l2相交于点O1)求证:点OBC的垂直平分线上:2)若ABAC10BC12,则OA  【分析】(1)连接OA,根据线段垂直平分线的性质得到OAOBOAOC,得到OBOC,根据线段垂直平分线的判定定理证明结论;2)延长AOBCD,先证明AD垂直平分BC,由等腰三角形的性质可求BD6,再两次利用勾股定理可求解OA的长.【解答】(1)证明:连接OAABAC的垂直平分线l1l2相交于点OOAOBOAOCOBOC∴点OBC的垂直平分线上:2)解:延长AOBCDABAC10A点在BC的垂直平分线上,∵点OBC的垂直平分线上,AO垂直平分BCBC12BDCD6ADOD8AORtBDO中,BO2BD2+OD2OA262+8AO2解得OA故答案为:22.(2021秋•仪征市期中)如图,在△ABC中,DMEN分别垂直平分ACBCABMN1)若AB12cm,求△MCN的周长;2)若∠ACB118°,求∠MCN的度数.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得出AMCMBNCN,再求出△MCN的周长=AB,再代入求出答案即可;2)根据三角形内角和定理求出∠A+B180°﹣∠ACB62°,根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,求出∠ACM+BCN=∠A+B62°,再求出答案即可.【解析】1)∵DMEN分别垂直平分ACBCABMNAMCMBNCNAB12cm∴△MCN的周长是CM+MN+CNAM+MN+BNAB12cm 2)∵∠ACB118°,∴∠A+B180°﹣∠ACB62°,AMCMBNCN∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN∴∠ACM+BCN=∠A+B62°,∵∠ACB118°,∴∠MCN=∠ACB﹣(∠ACM+BCN)=118°﹣62°=56°.23.(2021秋•靖江市校级期中)如图,AD是△ABC的角平分线,DEDF分别是△ABD和△ACD的高.1)试说明AD垂直平分EF2)若AB6AC4SABC15,求DE的长.【分析】(1)先利用角平分线的性质得DEDF,利用“HL”证明RtAEDRtAFD得到AEAF,然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论;2)根据三角形的面积公式即可求得DE的长.【解析】1)∵AD是△ABC的角平分线,DEABDFACDEDFRtAEDRtAFD中,RtAEDRtAFDHL),AEAFDEDFAD垂直平分EF2)∵DEDFSABCSABD+SACDABED+ACDFDEAB+AC)=15AB6AC4×10×DE15DE324.(2021秋•虎丘区校级期中)已知:如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P,且PEABPFAC,垂足分别为EF1)求证:PEPF2)若∠BAC60°,连接AP,求∠EAP的度数.【分析】(1)过点PPDBCD,可得PDPEPF2)可得AP是∠BAC的平分线,则∠EAP可求出.【解析】1)过点PPDBCD∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P,且PEABPFACPDPEPDPFPEPF2)∵PEPFPEABPFACAP平分∠BAC∵∠BAC60°,∴∠EAP30°.

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