专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）：等边三角形

【名师点睛】

1.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

2.等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

【典例剖析】

【例1】（2020秋•赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；

（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP＝BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，

∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）

（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．

【变式1】（2021秋•玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．

【分析】由等边三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，证出∠CDE＝∠CED＝30°，则可得出结论．

【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，

∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠CED＝30°，

∴∠DBC＝∠CED，

∴BD＝DE．

【例2】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；

（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．

【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AE＝BE，

∴∠B＝∠EAB，

∴∠EAB＝30°，

∵∠BAC＝120°，

∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，

即∠CAE＝90°；

（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，

∵∠C＝30°，

∴∠AEC＝60°，

∴∠DEA＝60°，

∵点D为线段EC的中点，

∴AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE，

又∵∠DEA＝60°，

∴∠DEA＝∠DAE＝60°，

∴∠ADE＝60°，

∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，

∴△ADE是等边三角形．

方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，

∵∠C＝30°，

∴∠AEC＝60°，AE＝CE，

∴∠DEA＝60°，

∵点D为EC的中点，

∴AD＝CE＝DE，

∴AD＝DE＝AE，

∴△ADE是等边三角形．

【变式2.1】（2019秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．

（1）求证：△BED是等腰三角形：

（2）当∠BCD＝　150　°时，△BED是等边三角形．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE．

（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．

【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，

∴BE＝AC，DE＝AC，

∴BE＝DE，

∴△BED是等腰三角形；

（2）∵AE＝ED，

∴∠DAE＝∠EDA，

∵AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，

∠EAB+∠EBA＝∠BEC，

∴∠DAB＝∠DEB，

∵△BED是等边三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．

故答案为：150．

【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．

【解析】△APQ为等边三角形．

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC．

在△ABP与△ACQ中，

∵，

∴△ABP≌△ACQ（SAS）．

∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．

∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，

∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，

∴△APQ是等边三角形．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2019秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　）

A．4 B．30 C．18 D．12

【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝4，可求得其周长．

【解析】∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，

∴△ADE的周长为12．

故选：D．

2．（2022春•江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（　　）

A．80° B．70° C．45° D．30°

【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60°的角即可．

【解析】∵3×180°＝540°，3×60°＝180°，

∴540°﹣180°﹣180°＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝180°，

∵∠1+∠2＝100°，

∴∠3＝80°，

故选：A．

3．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（　　）

A．点E在AB的垂直平分线上 

B．点E到AB、BC、AC的距离相等 

C．点E是AD的中点 

D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C

【分析】由等边三角形的性质可得E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，即可求解．

【解析】在等边三角形ABC中，AD是高，BE平分∠ABC，

∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，

∴点E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，

∴故选项A，B，D不合题意，

故选：C．

4．（2021秋•崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由等边三角形三边相等求出BC的长度，由E、F是CB的三等分点求出EF的长度，再求出△DEF的周长．

【解析】∵等边三角形ABC的周长为6，

∴边长BC＝2，

∵E，F是边BC上的三等分点，

∴BC＝3EF＝2，

∵ED∥AB，FD∥AC，

∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，

∴∠DEF＝∠DFE＝60°，

∴△DEF是等边三角形，

∴C△DEF＝3EF＝2．

故选：B．

5．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．

【解析】设等边三角形ABC的边长为a，

A、铺设的电缆长为a+a＝2a；

C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，

∴D为BC的中点，

∴BD＝DC＝BC＝a，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，

则铺设的电缆长为a+a＝a；

B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；

D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，

∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，

故x2+（ ）2＝（2x）2，

解得：x＝a，

则BO＝a，

则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，

∵a＜a＜2a，

∴方案D中光缆最短；

故选：D．

6．（2021秋•如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．

【解析】如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，

∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，

∴∠OEB＝90°，∠EBO＝∠ABC＝30°，

∴∠BOE＝60°，

故选：C．

7．（2021秋•新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）

A．不变 B．变小 

C．变大 D．先变大后变小

【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．

【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，AB＝AC，

∵BD＝2AE，

∴AD＝EN，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝EF，∠DEF＝60°，

∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，

∴∠ADE＝∠NEF，

在△ADE和△NEF中，，

∴△ADE≌△NEF（SAS），

∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，

∴FN＝CN，

∴∠NCF＝∠NFC，

∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，

∴∠NCF＝30°，

即∠ECF＝30°，

故选：A．

8．（2019秋•玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）

A．1 B．3 C．2 D．4

【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°

又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B＝∠C＝60°，

∴OE＝OB•sin60°＝OB，同理OF＝OC．

∴OE+OF＝（OB+OC）＝BC．

在等边△ABC中，高h＝AB＝BC．

∴OE+OF＝h．

又∵等边三角形的高为2，

∴OE+OF＝2，

解法二：三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，三角形ABC是等边三角形，所以三个三角形是等底，高OF+高OE等于三角形ABC的高2．

故选：C．

9．（2015秋•北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2015B2015A2016的边长为（　　）

A．4028 B．4030 C．22014 D．22015

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．

【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1＝A2B1，

∵∠MON＝30°，

∴OA1＝A1B1＝1，

∴A2B1＝1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，

∴A3B3＝4B1A2＝4，

A4B4＝8B1A2＝8，

A5B5＝16B1A2＝16，

以此类推：△A2015B2015A2016的边长为 22014．

故选：C．

10．（2016秋•建湖县期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确；④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．

【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，

∴P在∠BAC的平分线上，故①正确；

∵PA＝PA，PS＝PR，

∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），

∴AS＝AR，故②正确；

∵AQ＝PQ，

∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，

∴PQ∥AR，故③正确；

由③得，△PQC是等边三角形，

∴△PQS≌△PCS，

又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，

∵①②③④都正确，

故选：D．

二．填空题（共8小题）

11．（2021秋•泰兴市月考）如图，BD、CE是等边△ABC的中线，则∠EFD的度数为 　120°　．

【分析】利用等边三角形的性质得到BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，然后利用四边形的内角和可计算出∠EFD的度数．

【解析】∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，

∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，

∴∠AEF＝∠ADF＝90°，

∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A

＝180°﹣60°

＝120°．

故答案为120°．

12．（2021秋•工业园区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝3，则AD的长为 　3　．

【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BAD的度数和BD的长，再利用勾股定理求出AD．

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

∵CD＝AC，

∴∠D＝∠CAD．

∵∠ACB＝∠D+∠CAD，

∴∠D＝30°．

∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠B

＝90°．

在Rt△ABD中，∵∠D＝30°，

∴BD＝2AB＝6．

∴AD＝

＝

＝3．

13．（2021秋•东台市期中）如图，等边△ABC中，AD是中线，点E是AC边上一点，AD＝AE，则∠EDC＝　15°　．

【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．

【解析】∵AD是等边△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，

∴∠ADC＝90°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．

故答案为：15°．

14．（2019秋•崇川区校级月考）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　130°　．

【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，且∠3＝α+β＝80°，可求得∠1+∠2．

【解析】如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，

∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°，

且∠3＝α+β，

∴α+β＝80°，

∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°，

故答案为：130°．

15．（2019秋•鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝　2　．

【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题；

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，

∵BD＝2，

∴EB＝2BD＝4，

∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，

故答案为：2．

16．（2021秋•新吴区期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　2　．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．

【解析】过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP＝PF＝AF，

∵PE⊥AC，

∴AE＝EF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，

∴PF＝CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD＝CD，

∵AE＝EF，

∴EF+FD＝AE+CD，

∴AE+CD＝DE＝AC，

∵AC＝4，

∴DE＝．

故答案为：2．

17．（2019秋•江阴市期中）在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是　①②③④　．

【分析】依据等边三角形的判定方法进行判断：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

【解析】①有三个角是60°的三角形是等边三角形，正确；

②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；

③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．

④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，正确；

故答案为①②③④．

18．（2020春•淮安区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形，②△CFG一定为等边三角形，③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的是　①②　．（填写序号）

【分析】依据线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及等边三角形的判定，即可得出结论．

【解析】∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，

∴FE＝FD，

∴△DEF为等腰三角形，故①正确；

∵DE⊥AB，DE⊥FG，

∴AB∥FG，

∴∠FGC＝∠B＝60°，

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°，

∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，

∴△CFG是等边三角形，故②正确；

∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，

∴△CDF不可能是等腰三角形，故③错误；

故答案为：①②．

三．解答题（共6小题）

19．（2021秋•徐州期中）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）求证：DC＝CF．

【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．

（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．

【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠B＝∠EDC＝60°，

∵DE⊥EF，

∴∠DEF＝90°，

∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠B＝∠EDC＝60°，

∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，

∴△DEC是等边三角形，

∴CE＝CD，

∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，

∴∠CEF＝∠F＝30°，

∴EC＝CF，

∴CD＝CF．

20．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）若BC＝10，求△ODE的周长．

【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．

（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．

【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°；

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，

∴△ODE为等边三角形．

（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，

∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，

∴∠DOB＝∠DBO，

∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；

∴△ODE的周长＝BC＝10．

21．（2021秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数．

（2）求证：DC＝CF．

【分析】（1）利用平行线的性质求出∠EDC，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．

（2）想办法证明EC＝CD，EC＝CF即可解决问题．

【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠B＝∠EDC＝60°，

∵DE⊥EF，

∴∠DEF＝90°，

∴∠F＝90°﹣60°＝30°．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠B＝∠EDC＝60°，

∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，

∴△DEC是等边三角形，

∴CE＝CD，

∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，

∴∠CEF＝∠F＝30°，

∴EC＝CF，

∴CD＝CF．

22．（2019秋•平山县期中）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．

【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°．

∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．

又∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠CED．

又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，

∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．

∴∠DBC＝∠DEC．

∴DB＝DE（等角对等边）．

23．（2011秋•启东市校级月考）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．

【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．

【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．

在△BAD与△CAE中，

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

24．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．

（1）判断△ADE的形状，并说明理由．

（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，由DE∥BC得出∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，进而得出∠A＝∠AED＝∠ADE，即可证明△ADE是等边三角形；

（2）由（1）可知AE＝DE，由平行线性质、角平分线的性质可得出∠EDB＝∠ABD，进而得出AE＝DE＝EB，即可证明结论．

【解析】（1）△ADE是等边三角形，

理由：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，

∴∠A＝∠AED＝∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形；

（2）AE＝AB，

理由：∵△ADE是等边三角形，

∴AE＝DE，

∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∴∠EDB＝∠ABD，

∴EB＝ED，

∴AE＝DE＝EB，

∴AE＝AB．