专题3.1勾股定理-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

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【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】专题3.1勾股定理【名师点睛】勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 +=．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式 +=变形有： a=, b=, c=（4）由于 +=＞，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．【典例剖析】【考点1】勾股定理的有关计算【例1】（2021秋•苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：（1）CD的长；（2）BD的长．【分析】（1）根据勾股定理AB＝，代入求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，由勾股定理可得，AB＝＝＝25，∴AB的长是25；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的长是12．（2）∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，由勾股定理可得，BD＝＝＝9，∴BD的长为9．【变式1】．（2021秋•盱眙县期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若AB＝50，CD＝48，求MN的长．【分析】（1）连接MC，MD，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到MC＝MD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论；（2）依据MN⊥CD，利用勾股定理即可求得Rt△MND中，MN的长．【解析】（1）如图所示，连接MC，MD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中点．∴Rt△ABC中，CM＝AB，Rt△ABD中，DM＝AB，∴MC＝MD，又∵N是CD的中点，∴MN⊥CD．（2）∵AB＝50，∴MD＝×50＝25，∵CD＝48，∴ND＝×48＝24，又∵MN⊥CD，∴Rt△MND中，MN＝＝＝7．【考点2】勾股定理的证明【例2】（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．【分析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121．（2）由（1）可知，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．【解析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，∴2mn＝60，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121； （2）由（1）可知，∴，∴AC＝5，BC＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，∴AD＝＝＝13，∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．【变式2】（2020秋•宿城区校级期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．【解析】（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．【考点3】勾股定理的简单应用【例3】（2021秋•溧阳市期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）一尺，不合二，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求门槛AB的长．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，根据勾股定理解答即可求出OA，进而得到AB的长．【解析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，即门槛AB的长为101寸．【变式3】（2021秋•靖江市期中）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解析】（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•东台市期末）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（　　）A．17 B．10 C．6 D．7【分析】由正方形的性质得BC2＝15，∠ABC＝90°，则∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的长即可．【解析】∵正方形ABCD的面积为15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝7，故选：D．2．（2021秋•泗阳县期末）如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．【解析】∵AB＝6，∴该正方体的棱长为3＝，∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，所以该正方体A、B两点间的距离为3，故选：B．3．（2021秋•宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（　　）A．30 B．40 C．50 D．60【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．【解析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，故选：A．4．（2021秋•海门市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【分析】由勾股定理求出BD、CD的长，再分两种情况分别计算即可．【解析】如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝20，AD＝12，∴BD＝＝＝16，又∵AC＝13，∴CD＝＝＝5，∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面积＝×21×12＝126；如图2，BC＝BD﹣CD＝11，∴△ABC的面积＝×11×12＝66；综上所述，△ABC的面积为126或66，故选：D．5．（2021秋•高淳区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）A．5 B．6 C．12 D．13【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，∴正方形的面积＝AB2＝13，故选：D．6．（2021秋•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　）A．25 B．144 C．150 D．169【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以得到AC2+BC2＝AB2＝13，然后即可得到正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和，本题得以解决．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝13，∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是169，故选：D．7．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（　　）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据勾股定理直接求即可．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝．故选：B．8．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（　　）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【解析】连接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，故选：C．9．（2022春•海安市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（　　）A．6 B．2 C．11 D．24【分析】根据题意，可以得到BC2＝5，AB2＝16，然后根据勾股定理即可得到AC2的值，从而可以求得S2的值．【解析】∵以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，∴BC2＝5，AB2＝16，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，∴AC2＝16﹣5＝11，即S2＝11，故选：C．10．（2021春•安徽期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　）A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2022春•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 　15°　．【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．【解析】设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，则x+5x＝90°，解得：x＝15°，则较小的一个锐角为15°，故答案为：15°．12．（2021秋•大丰区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 　5　．【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．【解析】作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝+＝，∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案为：5．13．（2021秋•大丰区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 　5　cm．【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，AB＝（cm），∵点D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝5cm，故答案为：5．14．（2021秋•锡山区期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+BC2+AC2的值为 　18　．【分析】由直角三角形结合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出结果．【解析】∵Rt△ABC中，斜边BC＝3，∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18，故答案为：18．15．（2022春•平舆县期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在网格格点的位置上，则△ABC的中线BD的长为 　　．【分析】首先根据勾股定理求得AB，BC，AC的长度，然后由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，则根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．【解析】如图，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AC2＝42+32＝25．∴AB2+BC2＝AC2．∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°．∵BD是斜边AC上的中线，∴BD＝AC＝＝．故答案是：．16．（2021春•武汉期中）一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为　9　米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故答案为：9．17．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　9π　．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π．18．（2021春•瑶海区期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为 　2n﹣2　．【分析】分别求出第1、2、3个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第n个直角三角形的直角边的长，求出面积即可．【解析】∵第1个三角形的直角边长为1，∴第2个三角形直角边长为，第3个三角形的直角边长为2＝（）2，……第n个直角三角形直角边为（）n﹣1，∴S①＝＝2﹣1S②＝＝1＝20，S③＝，……∴第n个等腰直角三角形的面积为：＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．三．解答题（共6小题）19．（2022春•镇江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AE∥BC，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D．（1）依题意，补全图形；（2）求证：∠ADC与∠ACB互余．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）根据直角三角形的性质得到∠B+∠ACB＝90°，根据平行线的性质、同角的补角相等得到∠ADC＝∠B，证明结论．【解答】（1）解：补全图形如图所示；（2）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵AE∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CF∥AB，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠ACB＝90°，即∠ADC与∠ACB互余．20．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．（1）△ABC的面积是 　150　．（2）求BC、AD的长．【分析】（1）由直角三角形的面积公式直接求解即可；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式得出BC•AD＝150，然后即可求出AD．【解析】（1）△ABC的面积是：•AB•AC＝＝150．故答案是：150；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，∵S△ABC＝150＝BC•AD，∴300＝25AD，∴AD＝12．21．（2018秋•台儿庄区校级月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．【解析】由勾股定理得，BC＝＝＝120米，v＝120÷6＝20米/秒，∵20×3.6＝72，∴20米/秒＝72千米/小时，72＞70，∴这辆小汽车超速了．22．（2021秋•裕华区期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】由题意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC＝＝＝0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE＝＝＝1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的顶部下滑0.9米．23．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．【分析】由面积的和差关系可求解．【解答】证明：∵，∴c2+ab＝ab+b2+a2+ab，∴c2＝a2+b2．24．（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　个；  ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝　m2　；②b与c的关系为　b＝c　，a与d的关系为　a+d＝m　．【分析】（1）①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（2）在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2＝c2．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a2+b2＝c2．（2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2＝S3．（3）根据勾股定理即可得①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【解析】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．