专题1.5全等三角形的性质与判定（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题1.5全等三角形的性质与判定（重难点培优）

【名师点睛】

【典例剖析】

【例1】（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；

（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．

【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AD⊥BD，AE⊥EC，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（AAS）；

（2）解：∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠BOC＝140°，

∴∠OBC＝∠OBC＝20°．

【变式】（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．

（1）求证：△ABD≌△BAC；

（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．

【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可知△ABD和△BAC都是直角三角形，因为AB＝BA，AD＝BC，所以根据“HL”可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC；

（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出∠BAD的度数，则由∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD即可求出∠CAO的度数．

【解答】（1）证明：如图，∠C＝∠D＝90°，

在Rt△ABD和Rt△BAC中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），

即△ABD≌△BAC；

（2）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝35°，

∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，

∵∠BAD＝∠ABC＝35°，

∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°，

∴∠CAO的度数为20°．

【例2】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．

（1）求证：△ABC≌△DFE；

（2）求证：点O为BF的中点．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；

（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．

【解答】证明：（1）∵AB∥DF，

∴∠B＝∠F，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DFE中，

，

∴△ABC≌△DFE（SAS）；

（2）∵△ABC≌△DFE，

∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，

在△ACO和△DEO中，

，

∴△ACO≌△DEO（AAS），

∴EO＝CO，

∴点O为BF的中点．

【变式】（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．

【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．

【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，

∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，

∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠ECA＝∠BAD，

在△BAD与△ACE中，

，

∴△BAD≌△ACE（AAS），

∴CE＝AD，AE＝BD＝3，

∵DE＝AD+AE＝10，

∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．

∴CE＝7．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．

【解答】解：∵FC∥AB，

∴∠DAE＝∠FCE，

在△DAE与△FCE中，

，

∴△DAE≌△FCE（AAS），

∴AD＝CF，

∵CF＝3，

∴AD＝CF＝3，

又∵AB＝5，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，

故选：B．

2．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（　　）

A．68° B．69° C．71° D．72°

【分析】先证明△BDE≌△BDC（SAS），可得∠BDE＝∠BDC，根据∠ADB+∠CDB＝180°，即可求出∠ADB的度数．

【解答】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠CBD，

在△BDE和△BDC中，

，

∴△BDE≌△BDC（SAS），

∴∠BDE＝∠BDC，

∵∠ADE＝38°，

∴∠BDC＝∠ADB+38°，

∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，

∴∠ADB＝71°，

故选：C．

3．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（　　）

A．155° B．125° C．135° D．145°

【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．

【解答】解：在△ACD和△AEB中，

，

∴△ACD≌△AEB（AAS），

∴∠ABE＝∠ADC，

∵∠CDE＝55°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，

∴∠ABE＝∠ADC＝125°，

故选：B．

4．（2022春•济南期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC 

C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°

【分析】在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC＝EC，∠B＝∠AEC，可求得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，证得∠B＝∠CDE，即可得出结果．

【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠EAC，

在△ABC与△AEC中，

，

∴△ABC≌△AEC（SAS），

∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，

∵CB＝CD，

∴CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED，

∴∠B＝∠CDE，

∵∠ADC+∠CDE＝180°，

∴∠ADC+∠B＝180°．

故选：C．

5．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（　　）

A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b

【分析】由题意可证△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的长．

【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，

∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，

∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，

∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，

∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，

故选：B．

6．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（　　）

A．75° B．80° C．65° D．95°

【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．

【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°

∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，

∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°

∴∠FDB＝85°

在△BDF和△CED中，

，

∴△BDF≌△CED（SAS），

∴∠BFD＝∠CDE＝30°，

又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，

∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．

故选：C．

7．（2021春•涿鹿县期中）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，则AB是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】证明△DAB≌△CBA（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BD，根据勾股定理可求出答案．

【解答】解：在△DAB和△CBA，

，

∴△DAB≌△CBA（AAS），

∴AC＝BD，

∵AC＝3，AD＝4，

∴BD＝3，

∴AB＝＝＝5．

故选：C．

8．（2020秋•射阳县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（　　）

A．HL B．SSS C．SAS D．ASA

【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．

【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，

∴△COM≌△CON，

∴∠AOC＝∠BOC，

即OC即是∠AOB的平分线．

故选：B．

9．（2019秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9

【分析】利用SSS证明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面积＝△ACD的面积，通过拼接可得阴影部分的面积＝△ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解．

【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD＝BC＝4，

∴AD是BC的中垂线，

∴BE＝CE，BF＝CF，

在△BEF和△CEF中，

∴△BEF≌△CEF（SSS），

∴S△BEF＝S△CEF，

∴S阴影＝S△ADB＝×CD×AD＝12，

故选：C．

10．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．

【解答】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，

∴AD⊥BC，故①正确；

②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，

∴无法证明CF⊥AE，故②错误；

③无法证明∠1＝∠2，故③错误；

④∵D是BC的中点，

∴BD＝DC，

∵AB＝CE，

∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．

故其中正确的结论有①④，共两个．

故选：B．

二．填空题（共6小题）

11．（2021秋•武进区期中）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件　AC＝BD　，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．

【分析】根据SAS的判定方法可得出答案．

【解答】解：补充条件AC＝BD．

理由：在△ABC和△BAD中，

，

△ABC≌△BAD（SAS）．

故答案为：AC＝BD．

12．（2021秋•泰州月考）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是　CD＝BD　（只添一个条件即可）．

【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB＝DC，利用SAS判定其全等．

【解答】解：需添加的一个条件是：CD＝BD，

理由：∵∠1＝∠2，

∴∠ADC＝∠ADB，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

故答案为：CD＝BD．

13．（2011春•太仓市期末）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为 　①、③、④　．（注：把你认为正确的答案序号都填上）

【分析】由∠CAE＝∠DAB，得∠CAB＝∠DAE；则△CAB和△DAE中，已知的条件有：∠CAB＝∠DAE，CA＝AD；要判定两三角形全等，只需添加一组对应角相等或AE＝AB即可．

【解答】解：∵∠CAE＝∠DAB，

∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；

又AC＝AD；

所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：

①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．

故填①、③、④．

14．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　0或2或4或6　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．

【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．

【解答】解：∵CA⊥BC，BM⊥BQ，

∴∠ACB＝∠PBN＝90°，

①当P在线段BC上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），

∴BP＝AC＝2cm，

∴CP＝BC﹣BP＝4（cm），

∴点P的运动时间为4÷2＝2（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），

∴PB＝BC＝6cm，

∴CP＝0，因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），

∴BP＝AC＝2cm，

∴CP＝BC+BP＝8（cm），

∴点P的运动时间为8÷2＝4（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），

∴BP＝BC＝6cm，

∴CP＝BC+BP＝12（cm），

点P的运动时间为12÷2＝6（秒），

故答案为：0或2或4或6．

15．（2019秋•江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为　（1）（2）（3）　．

【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．

【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

，

∴Rt△POE≌Rt△POF，

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

，

∴△PEM≌△PFN，

∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，

∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，

故答案为：（1）（2）（3）

16．（2018秋•邗江区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是　①②③④　．

【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．

【解答】解：∵BF∥AC，

∴∠C＝∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC＝∠CBF，

∴∠C＝∠ABC，

∴AB＝AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，

在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；

∵AE＝2BF，

∴AC＝3BF，故④正确；

故答案为：①②③④

三．解答题（共4小题）

17．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．

（1）求证：△ADF≌△CEF；

（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．

【分析】（1）根据线段中点求出AF＝CF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACE，根据平行线的判定得出AB∥CE，根据平行四边形的判定定理得出四边形BCED是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出即可．

【解答】（1）证明：∵F为AC的中点，

∴AF＝CF，

在△ADF和△CEF中，

，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）解：∵△ADF≌△CEF，

∴∠A＝∠ACE，

∴AB∥CE，

∵DE∥BC，

∴四边形BCED是平行四边形，

∴BC＝DE，

∵DE＝4，

∴BC＝4．

18．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．

【分析】先证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS），即可得出结论．

【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠D＝∠E．

19．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．

（1）求证：△BDO≌△CEO；

（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．

【分析】（1）根据已知条件，可证△BDO≌△CEO（AAS）；

（2）根据全等三角形的性质可得BD＝CE，进一步可得AE的长．

【解答】（1）证明：∵O为BC的中点，

∴BO＝CO，

∵BD∥AC，

∴∠C＝∠OBD，∠CEO＝∠BDO，

在△BDO和△CEO中，

，

∴△BDO≌△CEO（AAS）；

（2）解：∵△BDO≌△CEO，

∴BD＝CE，

∵BD＝4，

∴CE＝4，

∵AC＝6，

∴AE＝6﹣4＝2．

20．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．

（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）易证BD＝CD，∠BFD＝∠CED＝90°，再由AAS即可证得△BDF≌△CDE；

（2）由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵D是BC边中点，

∴BD＝CD，

∵CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠BFD＝∠CED＝90°，

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（AAS）；

（2）解：由（1）得：△BDF≌△CDE，

∴CE＝BF，

∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AD•BF+AD•CE＝AD•CE＝5×2＝10．