专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练（重难点培优）

【知识点1】利用线段垂直平分线的性质进行计算与证明

1．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题．

【详解】

解：连接AD．

∵PQ垂直平分线段AB，

∴DA=DB，设DA=DB=x，

在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，

∴x2=32+（5-x）2，

解得x=，

∴CD=BC-DB=5-=，

故答案为．

【点睛】

本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

2．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝10 cm， AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22 cm．

(1)证明：BE+EC=AC；

(2)求AC的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)AC的长为12

【解析】

【分析】

（1）根据垂直平分线的性质定理可得，等量代换可证结论；

（2）由题意知，可求的值，进而可得的值．

(1)

证明：∵ 是线段AB的垂直平分线

∴

∵

∴．

(2)

解：∵的周长为，

∴

∵

∴

∴

∴的长为12cm．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质定理．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的性质定理．

3．（2022·江苏·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连接CD．

(1)则MN是BC的 　   　线．

(2)若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．

【答案】(1)垂直平分；

(2)△ACD的周长＝12

【解析】

【分析】

（1）先证明，得出，再利用等腰三角形的“三线合一”即可得出答案；

（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．

(1)

解：如图1，连接BM、CM、BN、CN，令MN与BC相交于点O，

∵在和中，

,

∴，

∴，

∵，

∴直线MN是线段BC的垂直平分线，

故答案为：垂直平分；

(2)

解：∵MN垂直平分线段BC，

∴DC＝DB，

∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12

【点睛】

本题考查尺规作图——作线段垂直平分线以及线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质定理．

4．（2021·江苏镇江·八年级期中）使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹，用水笔描黑）

(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；

(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；

(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为       ．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)5

【解析】

【分析】

（1）作出∠C的角平分线交AC于P，点P即为所求；

(2)作线段BC的垂直平分线，交CP于点Q，点Q即为所求；

（3）如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，根据CP为∠ACB的平分线，得到QF=QE，根据垂直平分线的性质得到∠QEC=90°，也可以证∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根据角平分线的性质得到QF=QE=5，即可求解；

(1)

作出∠C的角平分线，标出点P

(2)

作出BC的垂直平分线标出点Q

(3)

如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，

∵QE为BC的垂直平分线，

∴QE⊥BC，∠QEC=90°

∵CP为∠ACB的平分线，

∴QF=QE

∴∠PCE=∠ACP=°，

∵∠QEC=90°

∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，

所以∠QCE=∠CQE

所以CE=QE

∵QE为BC的垂直平分线，

∴BE=CE=

∴CE=QE=5

所以QF=QE=5

∴点Q到边AC的距离为5，

故答案为：5

【点睛】

本题考查作图，应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．

5．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．

【答案】AC＝6，AE＝

【解析】

【分析】

在Rt△ABC中根据勾股定理直接求得AC的长，连接AE，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，设AE＝x，则BE＝8-x，在Rt△ACE中根据AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．

【详解】

在Rt△ABC中，

∵AB2＋AC2＝BC2，

∴82＋AC2＝102，

∴AC＝6；

连接CE，设AE＝x，则BE＝8-x，

∵DE为边BC的垂直平分线，

∴CE＝BE＝8-x，

在Rt△ACE中，∠A＝90°

∴AE2＋AC2＝CE2，

x2＋36＝（8－x）2，

解得x＝，

∴AE＝．

【点睛】

本题考查了勾股定理和垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

6．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；

（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．

【详解】

（1）证明：连接CD，

∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，

∴CD＝DB，

∵BD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2＝AD2+AC2，

∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；

（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，

∴AD＝3，BD＝5，

∴DC＝5，

∴AC＝．

【点睛】

本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．

7．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．

（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．

（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．

【答案】（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后根据角平分线的性质定理可得点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；

（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，根据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根据勾股定理即可求出BC的长．

【详解】

解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；

故答案为：AB和AC（或AC和AB）；

（2）∵AB＝AC，D是BC中点，

∴AD垂直平分BC，

∴CF＝BF，

∵EG垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴AF＝CF＝BF＝3，

∵AF＝CF，

∴∠FAC＝∠FCA，

∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，

同理可得：∠BFD＝2∠BAD，

∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，

在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，

∴BC＝＝＝3．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．

8．（2021·江苏·无锡市江南中学八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．

（1）求的度数；

（2）如果BC=8，求△DAF的周长．

【答案】（1）30°；（2）8

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC-∠EAD-∠FAC=110°-（∠B+∠C）求出即可．

（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．

【详解】

解：（1）设∠B=x，∠C=y．

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴105°+∠B+∠C=180°，

∴x+y=75°．

∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA=BD，FA=FC，

∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．

∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=105°-75°=30°．

（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA=BD，FA=FC，

∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=8．

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用．

9．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．

（1）求证：BD＝CE；

（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠B＝30°．

【解析】

【分析】

（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．

（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．

【详解】

（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．

∵AB＝AC，AD＝AE．

∴BF＝CF，DF＝EF，

∴BD＝CE．

（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，

DA＝DB，

∵DB＝DE，

∴DA＝DE，

∵AD＝EA，   

∴DA＝DE＝AE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠ADE＝60°，

∵∠ADE是△ADB的外角，

∴∠ADE＝∠B+∠BAD，

∵DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD＝30°．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．

10．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC上一点D，BD=6，CD＝10

（1）若AD平分∠BAC，求点D到AC边的距离；

（2）若点D恰好在AC边的垂直平分线上，求AB的长．

【答案】（1）6；（2）8

【解析】

【分析】

（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得出结论；

（2）根据D恰好在AC边的垂直平分线上得出AD=CD=10，在Rt△ABD中根据勾股定理即可得出AB的长．

【详解】

（1）过点D作DH⊥AC于点H，

∵AD平分∠BAC，∠B=90°，

∴DH=BD=6，

即点D到AC边的距离是3；

（2）∵点D恰好在AC边的垂直平分线上，

∴AD=CD=10，

在Rt△ABD中，

∵AD=10，BD=6，

∴AB=．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

11．（2019·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

求证：AD垂直平分EF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

证明，可得，进而可得垂直平分EF．

【详解】

证明：AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

又

在的垂直平分线上

即垂直平分EF．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．

12．（2021·江苏宿迁·八年级期中）已知：如图，在中，是高，E、F分别是、的中点．

（1），，求四边形的周长；

（2）求证：．

【答案】（1）14；（2）见详解

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=AB，DF=AF=AC，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；

（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．

【详解】

（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，

∴DE=AE=AB=×6=3，DF=AF=AC=×8=4，

∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=3+3+4+4=14；

（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，

∴EF垂直平分AD，

即：．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟记性质与线段垂直平分线的判定方法是解题得解．

13．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上，判断EB与EC数量关系，并说明理由．

【答案】EB=EC，理由见解析．

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的判定和性质解答即可．

【详解】

解：连接BC，

∵AB=AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，

又∵DB=DC，

∴点D在BC的垂直平分线上，

∵两点确定一点直线，

∴点AD是BC的垂直平分线，

∵点E在直线AD上，

∴EB=EC．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的判定和性质，熟知垂直平分线上任意一点到两顶点的距离相等是解本题的关键．

14．（2020·江苏南通·八年级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边，连接DC，以DC为边作等边，使点B和点E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE．

（1）根据题中给定的条件，补全图形；

（2）求证：；

（3）求证：BD垂直平分CE．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的定义作图连线即可；

（2）根据等边三角形及等腰直角三角形的定义，利用SSS证明；

（3）证明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到点B在CE的垂直平分线上，根据ED=CD，得到点D在CE的垂直平分线上，即可得到结论．

【详解】

（1）解：补图如下：

（2）证明：∵△ABD和△DCE是等边三角形，

∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC．

在△ACD和△BCD中，

∴△ACD≌△BCD（SSS）．

（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，

∴∠ADC=∠BDC=30°，

∴∠BDE=60°-30°=30°．

在△BED和△ACD中，

∴△BED≌△ACD（SAS）．

∴BE=AC．

∴BE=BC．

∴点B在CE的垂直平分线上．

又ED=CD，

∴点D在CE的垂直平分线上．

∴BD垂直平分CE．

【点睛】

此题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，作图能力，掌握各知识点、逻辑推理能力是解题的关键．

15．（2021·江苏常州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

【答案】（1）△DEF是等边三角形，见解析；（2）CF=4

【解析】

【分析】

（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证；

（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长．

【详解】

解：（1）△DEF是等边三角形．

理由是：∵AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形．

∴∠ABD=∠ADB=60°．

∵CE∥AB，

∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，

∴∠CED=∠ADB=∠DFE，

∴△DEF是等边三角形；

（2）连接AC交BD于点O，

∵AB=AD，CB=CD，

∴AC是BD的垂直平分线，

即AC⊥BD．

∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴∠BAC=∠DAC=30°．

∵CE∥AB，

∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，

∴AE=CE=8，

∴DE=AD-AE=12-8=4．

∵△DEF是等边三角形，

∴EF=DE=4，

∴CF=CE-EF=8-4=4．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．

16．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．

（1）求证：AB＝AC；

（2）连接BC，求证：AD⊥BC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意证明△ADB≌△ADC即可证明AB＝AC；

（2）连接BC，由中垂线的逆定理证明即可．

【详解】

证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC（AAS），

∴AB＝AC；

（2）连接BC，

∵△ADB≌△ADC，

∴AB＝AC，BD＝CD，

∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，

∴AD是线段BC的垂直平分线，

即AD⊥BC．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．

17．（2019·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求证：DE平分∠ADC；

（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）40°；（2）见解析；（3）DE＝AD＋BD，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和垂直平分线的判定可得∠ABC=∠ACB=50°，点A在线段BC的中垂线上，从而证出∠DBC=∠DCB，根据等角对等边可得DB=DC，得出AD垂直平分BC，再根据三线合一即可求出结论；

（2）利用三角形内角和定理和外角的性质分别求出∠ADC和∠ADE，即可证出结论；

（3）在DE上截取点F，使DF=AD，根据等边三角形的判定证出△ADF为等边三角形，从而得出∠AFD=60°，AD=AF，然后利用AAS证出△ABD≌△AEF，从而得出BD=EF，从而证出结论．

【详解】

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，

∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上

∵∠ABD＝∠ACD＝20°，

∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB

∴DB=DC

∴点D在线段BC的中垂线上

∴AD垂直平分BC

∵AB=AC

∴AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC＝40°；

（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°

∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°

∴∠ADC=2∠ADE

∴DE平分∠ADC；

（3）DE＝AD＋BD，理由如下：

在DE上截取点F，使DF=AD

∵∠ADE=60°

∴△ADF为等边三角形

∴∠AFD=60°，AD=AF

∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°

∴∠ADB=∠AFE

∵AB＝AE

∴∠ABE=∠E

∴△ABD≌△AEF

∴BD=EF

∴DE=DF＋EF=AD＋BD

【点睛】

此题考查的是等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质是解题关键．

18．（2019·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）AB=6，AC=4，求四边形AEDF的周长；

（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．

【答案】（1）10；（2）EF垂直平分AD.

【解析】

【分析】

（1）根据线段中点的性质、直角三角形的性质计算；

（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到E、F在线段AD的垂直平分线上，得到答案．

【详解】

解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴AE=AB=3，AF=AC=2，

∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，

∴DE=AB=3，DF=AC=2，

∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA=10；

（2）EF垂直平分AD．

证明：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵E是AB的中点，

∴DE=AE， 同理：DF=AF，

∴E、F在线段AD的垂直平分线上，

∴EF垂直平分AD.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

【知识点3】有关线段垂直平分线的作图问题

19．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，有点A、B、C、D，请用无刻度直尺和圆规画出一点P，使PA＝PB且PC＝PD（不写作法，请把作图痕迹用黑水笔描清楚）．

【答案】作图见解析

【解析】

【分析】

利用线段垂直平分线的性质结合尺规作图分别作出线段AB，CD的垂直平分线，进而得出答案．

【详解】

解：如图所示，点P即为所求：

【点睛】

此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图方法是解题关键．

20．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图）．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

要使得供水站到三个厂的距离相等，即供水站要在线段AB、BC、AC的垂直平分线上，因此作出AB、BC、AC的垂直平分线，三者的交点P即为所求．

【详解】

解：如图所示：连接AB，AC，BC，

以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两者分别交于M、N，连接M、N，则MN为线段AB的垂直平分线，同理作出线段AC，BC的线段垂直平分线，三者交点P即为所求．

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．

21．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．

（1）如图1，画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；

（2）如图2，在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求：用圆规和直尺作图）

（3）如图2，连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

（4）如图3，已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走的总路程最短，请在图中作出该点Q的位置．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形PABC的面积为；（4）见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，点P即为所求；

（3）根据S四边形PABC＝S△ABC＋S△APC列式计算即可得解；

（4）过直线作点的对称点，连接,与的交点即可点的位置．

【详解】

解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）如图所示，作BC的垂直平分线交直线l于点P，此时PB＝PC；

（3）如图：

S四边形PABC＝S△ABC＋S△APC＝×5×2＋×5×1＝；

（4）过直线作点的对称点，连接,与的交点即可点的位置，

如图所示：

；

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．（2020·江苏·宜兴市实验中学八年级期中）请利用直尺完成下列问题

（1）如图（1）示，利用网格画图：

①在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；

②在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．

（2）如图（2）已知在ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中点，在BC上一点E，利用尺规作图作出直线DE，使直线DE平分ABC周长（保留作图痕迹）．

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）①P到AB和AC的距离相等，即点P在的角平分线上，据此解题；

②射线AP上一点Q，使QB＝QC，即点Q在线段BC的垂直平分线上，根据中位线性质，可得线段BC的中点O，再将线段OC（也可视为斜边为OC，直角边分别为2，3的小直角三角形）绕点O顺时针旋转90°，其所在的射线与射线AP的交点即是点Q；

（2）作AC的垂直平分线，取线段AC的中点D，延长CB到F,使得BF=AB，作CF的中垂线，交BC于E，画直线DE即可解题．

【详解】

（1）①如图（1）所示，点P即为所求作的点；

②如图（1）所示，点Q即为所求作的点；

（2）如图所示：直线DE即为所作的直线．

【点睛】

本题考查尺规作图，涉及直线、射线、线段，角平分线、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

23．（2020·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，在中，．

（1）用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．

【答案】（1）见解析；（2）10．

【解析】

【分析】

（1）作线段BC的垂直平分线，交AB于点P,点P即为所求；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出△APC的周长为=AP+PB+AC= AB+AC，进而得出答案．

【详解】

解：（1）如下图所示：

（2）连接如下图所示：

由题易知，并且由（1）知

所以

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24．（2020·江苏镇江·八年级期中）（1）请在下图中画出两个以AB为腰的等腰△ABC．

（要求：1.锐角三角形，直角三角形各画一个；2.点C在格点上．）

（2）如图所示，OD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A．B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．

（2）作∠DOE和∠DOF的角平分线，然后作线段AB的垂直平分线，与角平分线的交点为点C的位置，即可得到图形.

【详解】

（1）解：如图所示即为所求，

（2）解：如图，C1、C2点即为所求：

【点睛】

本题考查了复杂作图，作垂直平分线，作角平分线，以及在网格中作等腰三角形等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确的作出图形.