2021届山西省太原市第五中学高三上学期9月阶段性考试 数学（文） PDF版

太原五中阶段性测试

出题，校对：阴瑞玲 2020.09

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知，则   ．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了诱导公式及二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
由题意，直接利用诱导公式及二倍角公式求解即可．
【解答】
解：．
故选A．
 

2. 已知，则     

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题；
利用，将要求式除以，然后分子分母同时除以即可求解；

【解答】

解：由题意，，
则

．
故选B．

3. 已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象     

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查的图象变换规律，是基础题．
利用辅助角公式化简，结合的图象变换规律及正弦函数、余弦函数的奇偶性得出结论．
【解答】
解：
，
将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象，
显然，为奇函数，
故选C．
 

4. 如图，在中，，P为CD上一点，且，则m的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：，
，
又，
，且C，P，D三点共线，
，解得．
故选：B．
根据即可得出，从而得出，然后根据C，P，D三点共线即可求出m的值．
本题考查了向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点A，B，C共线，且时，，考查了计算能力，属于基础题．
 

5. 已知非零向量，满足，且，则，的夹角为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查向量的夹角与向量的数量积，属于中档题；

由，且，可得，进一步得，，又，，即可求解；
【解答】
解：，且，

 ，，

且，，

，，

，，

又，，
，．
故选D．

6. 设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的值为

A. 28 B. 36 C. 42 D. 46

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力．

先根据等差数列的性质和前n项和公式求出首项和公差的关系，再根据求出首项和公差，最后利用等差数列的前n项和公式求出结果．

【解答】

解：解法一：因为，，成等差数列，
所以，所以，
所以，
所以，所以．
设的公差为d，因为，
所以，
所以．

解法二：因为，，成等差数列，
所以，设的公差为d，
则，
得．
又，所以，，
所以．

7. 已知函数则关于它该函数性质的说法中，正确的是

A. 最小正周期为
B. 将其图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称
C. 对称中心为
D. 上单调递减

【答案】B

【解析】解：函数
，
周期为：，所以A不正确；
将其图象向右平移个单位，所得函数，则图象关于y轴对称，所以B正确；
令，，解得，对称中心为，所以C不正确；
当时，，函数先减后增，所以D不正确；
故选：B．
化简函数的解析式，求出函数的周期怕啥A；利用函数的平移变换求解函数的解析式判断B；利用函数的对称中心判断C，函数的单调性判断D；
本题考查三角函数的图象变换，三角函数的化简求值，函数的单调性对称轴以及函数的周期的求法，是中档题．
 

8. 若，且，那么是，

A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用．
先由余弦定理化简可求得cosA的值，进而可求A得值，再由，利用正弦定理和余弦定理化简可得，进而可求答案．
【解答】

解：，

，．

根据余弦定理，

得，即，

，．
又，

，即，
化简可得，即，

是等边三角形．
故选B．

9. 已知为锐角，，则   

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】
本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系式，属于基础题．
由已知为锐角，，即，故仍为锐角，再根据诱导公式和两角和的正弦公式计算即可．
【解答】
解：由已知为锐角，
所以，
即，故仍为锐角，，
．
故选C．
 

10. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象变换及零点问题，属于较难题．

根据的图象变换规律，求得的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围．

【解答】
解：函数的图象先向右平移个单位长度，

可得的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，

得到函数的图象，

周期，

若函数在上没有零点，

，

，

，解得，

又，解得，

当时，解，

当时，又，可得，

故选B．

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 已知向量，若，则在上的投影是_______________．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查向量的投影的求法，考查向理垂直的充要条件应用，是基础题．
首先由，得到，然后代入投影公式计算即可．
【解答】
解：，，
，
，
在上的投影是．
故答案为．
 

12. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______．
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于基础题．
根据三角函数的图象求出A，和的值即可得到结论．
【解答】
解：由图象可知，，
所以，．
将点代入，得，
又，
所以，
故所求解析式为．
故答案为．
 

13. 已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为______ ．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查数列的通项公式的求法，考查递推关系，是中档题．
令，得，当时，，由此推导出数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而得到．
【解答】
解：令，得，解得，
当时，
由，
得，
两式相减得，
即，
整理得，
数列是首项为，公比为3的等比数列，
，．
故答案为．
 

14. 在中，，，，点D在BC边上，，则AD的长为______．

【答案】

【解析】解：如图所示，由，，，

在中，由余弦定理得
；
；
在中，由正弦定理得，
，
；
过点D作AB的垂线DE，垂足为E，
由得：，
中，．
故答案为：．
由余弦定理求得BC的值，由正弦定理求得sinB，再求出cosB；过点D作，利用直角三角形求得AD的值．
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，是基础题．
 

15. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面向量的运算，属于基础题．
基底法可以先取，为一组基底，化简，，再用平面向量的数量积计算公式求解即可；坐标法可以建系，表示E、F坐标，再依据平面向量的坐标运算，即可推出结论．
【解答】
解：

法一：取，为一组基底，
则，，
所以．

法二：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系．
由于AB，BC，ABC，
所以CD，等腰梯形ABCD的高为，
所以A，B，D，C，
所以，，
又因为，，
所以E，F，
因此．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）

16. 已知函数．
    求的最小正周期；
    讨论在区间上的单调性；

【答案】解：，
；
依题意，令，
解得，
的单调递增区间为；
设，易知，
当时，在区间上单调递增，区间上单调递减．

【解析】化简可得，进而求得最小正周期；
先求得的单调递增区间为，进而求得在区间上的单调性．
本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．
 

17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知
    求角B的大小；
    设，，求b和的值．

【答案】解：在中，由正弦定理，
可得，
又由，得，
即，
又因为，所以，
可得．
在中，由余弦定理及，，，
有，
故，
由，可得，
因为，故，
因此，
，
所以
，
所以．

【解析】本题主要考查两角和差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理，以及二倍角公式的应用，属于基础题．
由正弦定理得，又，由此可解得B．
由余弦定理得，由，得，则，由此能求出．
 

18. 已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和，．

证明：是等比数列，并求；

求数列的前n项和．

【答案】证明：由得，，
因为，
所以，
从而由得，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
故．
解：根据题意，设等差数列的公差为d，首项为，
则，，
解得，，．
所以，
设，
则，
所以
，
所以，
由．
所以数列的前n项和为．

【解析】本题考查等比数列的判定和证明，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的通项公式和求和公式，错位相减法求和，属于中档题．
通过递推关系，用“两式相减法”可得，从而可得，即可求解；
设等差数列的公差为d，由题意可建立方程组，解得，，从而可得，运用错位相减法与分组转化法求解数列的前n项和即可．
 

19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，且，A为锐角．
    Ⅰ求角A的大小；
    Ⅱ若，求的面积的最大值．

【答案】解：Ⅰ，，，且，
，
，
，

为锐角
；
Ⅱ，
当且仅当时等号成立
时，bc取得最大值4
的面积等于
的面积的最大值为．

【解析】Ⅰ利用向量共线的条件，建立等式，结合A为锐角，即可求角A的大小；
Ⅱ根据，利用余弦定理及基本不等式，结合三角形面积公式，即可求的面积的最大值．
本题考查向量共线的条件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．