2012-2021山东春季高考数学试题分类汇编 专题七 解析几何（2)

这是一份2012-2021山东春季高考数学试题分类汇编 专题七 解析几何（2)，文件包含7-专题七解析几何2答案版docx、7-专题七解析几何2原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1.（2012年春季高考数学第10题）已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 （ ）
A.y2=6x B. y2=-6x C.y2=3x D.y2=-3x
答案：A
解析：因为抛物线以坐标原点为顶点，且焦点在x轴正半轴上，所以设抛物线的标准方程是y2=2px，又因为焦点到准线的距离是3，所以p=3，所以抛物线的标准方程是y2=6x
2.（2012年春季高考数学第13题）椭圆的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，a2=9，b2=8，c2=a2-b2=1，所以a=3，b=2√2，c=1，所以c/a=
3.（2012年春季高考数学第24题）已知椭圆= 1 的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|:|PF2|等于 （ ）
A.3:2 B.2:3 C.9:1 D.1:9
答案：A
解析：|PF1|+|PF2|=2a=10①；线段PF1的中点在y轴上，取中点为N，又因为O为|PF1|和|PF2|的中点，所以NO//PF2,所以PF2⊥F1F2，所以|PF1|2=|PF2|2+20②；联立①②求得|PF1|=6，|PF2|=4，所以|PF1|:|PF2|=3:2
4.（2013年春季高考数学第14题）已知抛物线的准线方程为 ，则抛物线的标准方程为 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为抛物线的准线方程为 ，所以抛物线开口向左，设抛物线的标准方程为y2= - 2px，因为抛物线的准线方程为 ，所以p=4，所以抛物线的标准方程为y2= - 8x
5.（2014年春季高考数学第15题）第一象限内的点P在抛物线y2 ＝12x上，它到准线的距离为7，则点P的坐标为 （ ）
A.（４,４ ） B.（３,６） C.（２,２ ） D.（１，２ ）
答案：A
解析：因为抛物线为y2 ＝12x，所以焦点为（3,0），准线为x=-3，因为点P到准线的距离为7，所以P的横坐标为4，代入抛物线y2 ＝12x，解得y=4√3，所以点P的坐标为（４,４ ）
6.（2014年春季高考数学第19题）双曲线4x2－9y2＝1的渐近线方程为 （ ）
A.ｙ＝± EQ \F(３,２)ｘ B.ｙ＝± EQ \F(２,３)ｘ
C.ｙ＝± EQ \F(９,４)ｘ D.ｙ＝± EQ \F(４,９)ｘ
答案：B
解析：4x2－9y2＝1可化为x2/（1/4）－y2/（1/9）＝1，所以a2=1/4，b2=1/9，所以a=1/2，b=1/3，所以渐近线方程为ｙ＝±b/aｘ=± EQ \F(２,３)ｘ
7.（2015年春季高考数学第14题）关于x，y的方程，给出下列命题：
①当时，方程表示双曲线； ②当时，方程表示抛物线；
③当时，方程表示椭圆； ④当时，方程表示等轴双曲线；
⑤当时，方程表示椭圆.
其中，真命题的个数是 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：B
解析：当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
8.（2015年春季高考数学第20题）已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C.2 D.3
答案：A
解析：的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.
9.（2016年春季高考数学第13题）关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是 （ ）



答案：D
解析： 当的图象为椭圆时，，则的图象单调递增，且与y轴的截距大于0，A、B均不符；当的图象为双曲线时， eq \\ac(○,1)当时，双曲线的焦点在y轴上，的图象单调递减，且与y轴的截距大于0； eq \\ac(○,2)当时，双曲线的焦点在x轴上，的图象单调递增，且与y轴的截距小于0，综上所述，选项D正确.
10.（2017年春季高考数学第20题）已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点，则A1（﹣a，0）到直线y=x的距离d==，△A1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，则a2=b2﹣c2=c2，即a=c，双曲线的离心率e==.
11.（2018年春季高考数学第14题）y
关于x,y的方程 ，表示的图形不可能是 （ ）
y
y
y
O
X
X

O
X
O
O
答案：D
解析：因为x2+ay²=a2（a≠0），所以x2/a2+y2/a2=1，所以当a²>a>0时，表示A；当a²0>a时，表示C；选D.
12.（2018年春季高考数学第17题）己知抛物线x²=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且|MF |＝7，则焦点F到准线l的距离是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C
解析：因为|MF|=7，点M到x轴的距离为5.所以|a|/4=7-5,所以|a|=8，因此焦点F到准线l的距离是|a|/2=4，选C
13.（2019年春季高考数学第19题）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M（-2，4），则其标准方程是 （ ）
A. y2=-8x B. y2=－8x 或x2=y C. x2=y D. y2=8x 或x2=－y
答案：B
解析：因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以有两种情况
若对称轴为x轴，抛物线方程可设为 y2=2px，代入M（-2，4）可求得p=-4，即y2=－8x；
若对称轴为y轴，抛物线方程可设为 x2=2py，代入M（-2，4）可求得p=1/2，即x2=y
14.（2020年春季高考数学第17题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于 （ ）
A. 3B. 6C. 8D. 12
答案：B
解析：椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2a=10，2c=8，可得a=5，c=4，所以b2=a2-c²=25-16=9，可得b=3，所以该椭圆的短轴长2b=6，故选B.
15.（2021年春季高考数学第14题）关于，的方程，给出以下命题；
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：可化为x2+y2/（1/m）=1
①当时，方程表示双曲线，正确；
②当时，方程表示直线，错误；
③当时，方程表示椭圆，正确；
④当时，方程表示圆，错误；
⑤当时，方程表示椭圆，正确．
16.（2021年春季高考数学第20题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：A
解析：因为是的左焦点，所以（-c，0），因为点在双曲线上，直线与轴垂直，所以（-c，b2/a），又因为，所以b2/a=a，所以b2=a2，所以是等轴双曲线，所以离心率为
二、填空题
1.（2015年春季高考数学第24题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 .
答案：
解析：圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为
2.（2016年春季高考数学第23题）如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是 .
答案：
解析：因为抛物线上的点M到y轴的距离是3，所以点的横坐标为3，再将代入得到，所以点，又因为，准线，则点M到该抛物线焦点F的距离是5.
3.（2017年春季高考数学第23题）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于 ．
答案：24
解析：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6，b=4，设△PQF2的周长为l，则l=|PF2|+|QF2|+|PQ|=（|PF1|+|PF2|）+（|QF1|+|QF2|）=2a+2a，=4a=24．∴△PQF2的周长24，
4.（2018年春季高考数学第24题）已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是（0,3），若点（0,4）
在椭圆C上，则椭圆C的离心率等于 .
答案：3/5
解析：因为b=4，c=3，所以 a=5，e=3/5
5.（2019年春季高考数学第25题）已知O为坐标原点，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|+|BF|=8|OF|，则该双曲线的渐近线方程是 .
答案：y=±√6x/2
解析：因为A，B在抛物线上，所以A，B到准线的距离为|AF|+|BF|=8|OF|=4p，即ya+yb+p=4p，ya+yb=3p，
，得a2y2-2pb2y+a2b2=0，所以ya+yb=2pb2/a2=3p，即b2/a2=3/2，b/a=y=√6/2，所
x2=2py
以该双曲线的渐近线方程是y=±√6x/2
6.（2020年春季高考数学第25题） 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
答案：
解析：由题意知 - 2p= - c，所以p=2c，所以抛物线方程为y²= - 2px= - 4cx，∵M在抛物线上，所以M（-c，2c），因为M在双曲线上，所以c2/a2-4c2/b2=1，因为b2=c²-a²，所以c2-6a²c²+a2=0，所以e2=3±2√2，又e∈（1，+∞），所以e=√2+1. 故答案为√2+1
7.（2021年春季高考数学第24题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+my2-6mx-7=0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．
答案：
解析：,x2+my2-6mx-7=0为圆，所以m=1，所以圆心为（0,3），半径为4，因为右焦点与圆心重合，所以右焦点为（0,3），即c=3，因为长轴长等于圆的直径，所以2a=8，即a=4，所以b=√（a2-c2）=√7，所以短轴长等于
考点五 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.（2016年春季高考数学第20题）已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上，如果,那么点到轴的距离是 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析： 椭圆，即，设点的坐标为，又，点又在以原点为圆心，半径为2的圆上，圆方程为，即①，又②，联立①②得，点到轴的距离是.
二、填空题
1.（2013年春季高考数学第29题）设直线与圆的两个交点为A,B，则线段AB的长度为_________.
答案：8
解析：圆的圆心为（0,0）,半径为5，圆心为（0,0）到直线的距离为||/（12+（-1）2）=3，线段AB的长度为2√（52-32）=8
三、解答题
1.（2012年春季高考数学第35题）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F1（-2，0 )，F2（2 ，0），且双曲线经过点P（2,3）。
求双曲线的标准方程；
（2）设点A 是双曲线的右顶点，若直线l 平行于直线AP ，且l 与双曲线相交于M , N 两点，||=4试求直线l 的方程。
答案：（1）设双曲线的标准方程是x2/a2-y2/b2=1，（a>0，b>0），
因为点P（2，3）在双曲线上，所以22/a2-32/b2=1，①
由焦点坐标可知，半焦距c=2，
又因为a²+b²=c²，所以a²+b²=4，②
联立①②解得a²=1，b²=3，所以双曲线的标准方程是x2-y2/3=1，
（2） 因为a²=1，所以a=1，故双曲线的右顶点A的坐标是（1，0），
由此得到直线AP的方程是y=[（3-0）/（2-1）]（x-1），即y=3x-3，
因为l//AP，所以可设直线l的方程为y=3x+n，
设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与双曲线的方程得 y=3x+n，
x2-y2/3=1
消去y，并整理得到6x²+6mx+n²+3=0，③
于是，x1+x2=-n，y1+y2=(3x1+n)+(3x2+n)=3(x1+x2)+2n=-n，
因为直线1与双曲线有两个交点，所以（6n）²-4×6×（n²+3）>0，
解得n√6，即n的取值范围是{n|n√6}，
因为AM=（x1-1，y1），AN=（x2-1，y2），
所以，AM+AN=（x1+x2-2，y1+y2）=（-n-2，-n），
又因为|AM+AN|=4，所以√[（-n-2）2+（-n）2]=4，整理得n²+2n-6=0，解得n=√7-1或-√7-1。
又因为√7-1∉{n|n√6}，-√7-1∈{n|n√6}，
所以直线l的方程是y=3x-√7-1。
2.（2013年春季高考数学第35题）已知椭圆的一个焦点为,其离心率为。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）圆的任一条切线与椭圆均有两个交点A,B，求证：(O为坐标原点)。
答案：（1）由椭圆的一个焦点坐标为，得，由椭圆的离心率为，得，因此得，
从而，由已知得焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为。
（2）当圆的切线斜率存在时，设其方程为，
将其代人，整理得，
设，由韦达定理得， ，
所以，
由点到直线的距离公式知，原点到切线的距离为，
即，得，
因此，
所以，即 ，
当圆的切线斜率不存在时，切线方程为，
此时其中一条切线与椭圆的交点，
显然,即 。
同理可得，另一条切线也具有此性质。所以，切线斜率不存在时，也成立。
综上，。
3.（2014年春季高考数学第30题）如图，Ｆ１，Ｆ２分别是椭圆的左右两个焦点，且ａ＝ｂ，Ｍ为椭圆上一点，ＭＦ２垂直于ｘ轴，过Ｆ２且与ＯＭ垂直的直线交椭圆于Ｐ，Ｑ两点．
（１）求椭圆的离心率；
（２）若三角形ＰＦ１Ｑ的面积为４，求椭圆的标准方程．
答案：（1）√2/2 （2）
解析：（1）由题意知，a=√2b，a2=b²+c2，所以b=c，于是e=c/a=c/√2c=√2/2
（2）由（1）知，椭圆方程为x2/2c2+y²/c2=1，即x2+2y²=2c²，
设F2（c，0），M（e，m），将M（c，m）代入椭圆方程得m=√2c/2，
OM的斜率为√2/2，则PQ的斜率为-√2，
直线PQ的方程为y=-√2（x-c），
解方程组y=-√2（x-c），x2+2y²=2c²，
消去x，整理得5y²-2√2cy-2e²=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由韦达定理，得y1+y2=2√2c/5，y1y2=-2c²/5，
由△PF1Q=△PF1F2+△QF1F2=c|y1-y2|=c√（y1+y2）2-4y1y2，
于是，4√3=c√（8c2/25+8c2/5）
得c³=5，则a2=10，b²=5，所以椭圆的标准方程为x2/10+y²/5=1
4.（2015年春季高考数学第30题）已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.
答案：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，
因为点Q到焦点F的距离是1，所以点Q到准线的距离是1，
又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，
所以抛物线方程是.
假设直线l的斜率不存在，
与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，
易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，
则方程为，整理得，
设联立直线l与抛物线的方程得 ,
消去y，并整理得，
于是.
由①式变形得，代入②式并整理得，
于是，又因为，所以，即，
，解得或.
当时，直线l的方程是，不满足，舍去.
当时，直线l的方程是，即，
所以直线l的方程是
5.（2016年春季高考数学第30题）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.
（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；
（2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M,N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.

第30题图
答案：（1）根据题意设双曲线的标准方程为，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为；
向量是直线l的法向量，直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，又双曲线的方程为，即，，则，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，，则
6.（2017年春季高考数学第30题）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．
答案：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为：
（2）抛物线的准线方程为x=﹣1,由，解得，，
由A位于第二象限，则A（﹣1，），过点A作抛物线的切线l的方程为：
即直线l：4x﹣3y﹣4=0,由整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，
当k=0，解得：y=，不符合题意，
当k≠0，由直线与抛物线相切，则△=0,∴（﹣4）2﹣4k（4k+6）=0，解得：k=或k=﹣2，
当k=时，直线l的方程y﹣=（x+1），则，整理得：（x+1）2=0，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，
当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2（x+1），由，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2=，则y1=，y2=﹣，由以上可知点A（﹣1，），B（，﹣），∴丨AB丨==，
综上可知：线段AB长度为.
7.（2018年春季高考数学第30题）双曲线=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，抛物线y2=2px（p>0）的焦点与点F2重合，点M（2，）是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.
求双曲线及抛物线的标准方程；
设直线l与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于A，B两点，交双曲线于点C，若点C是线段AB的中点，求直线l的方程.
O
B
M
y
A
X
答案：（1）x2-y2/8=1 （2）2√2x-y-√2=0
解析：（1）把点 M(2,2√6)代入抛物线方程，得(2√6)2=2 p×2 ，解得p=6，所以抛物线的标准方程是y2 =12x ；抛物线的焦点和双曲线的右焦点 F2坐标是（3，0），即c=3，把点 M(2,2√6)代入双曲线方程，得 (22/a2)-[(2√6)2/（3-a2）]=1，解得 a2=1 或 a2=36（舍去），所以双曲线的标准方程是：x2-y2/8=1.
（2）设A（x1，y1），B（x2、y2），因为双曲线的过一、三象限象的渐近线方程为 y=2√2x ，所以设直线l的方程为 y=2√2x+m ，由题意得： y=2√2x+m ，化 为 8x2+（4√2m-12）x+ m2=0 ，
y=2√2x
得x1+x2=（3-√2m）/2 ， x1x2=m2/8 ,y1+y2=（2√2x1+m）+（2√2x2+m） = 2√2 ×[（3-√2m）/2]+2m=3√2 ， 所以线段AB中点C的坐标为（（3-√2m）/4 ，3√2/2），因为点 C 在双曲线上，所以[ （3-√2m）/4]2-（3√2/2）2/8=1，化为m2-3√2m-8=0 ，解得：m=-√2 或 m=4√2 ，因为 m=4√2 时，方程8x2+（4√2m-12）x+m2=0化为8x2+20x+32=0 ，△＜0 ， 不合题意，故舍去； m=-√ 2 ，符合题意，所以所求直线l的方程为 2√2x-y-√2=0
8.（2019年春季高考数学第29题）如图所示，已知椭圆 的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1、B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点P.
(l)求椭圆的标准方程；
O
F1
F2
M
y
x
B2
B1
(2)与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率 ，且与椭圆在第一象限交于点M，求线段MF1、MF2的长度．答案：（1）x2/2+y2=1 （2）4√2/3，2√2/3
解析：（1）因为四边形F1B2F2B1为正方形，所以|F1F2|=|B1B2|，因为|F1F2|=2c，|B1B2|=2b，所以c=b，因为a²=b+c²，所以a=√2b，因此椭圆的方程可化为x2/2b2+y2/b2=1，解得b=1，因为椭圆经过点P（1，√2/2），所以1/2b2+（√2/2）2/b2=1，解得b=1，故a=√2b=√2，所以椭圆的标准方程是x2/2+y2=1
（2）由（1）可知c=1，设双曲线的实半轴长为d，因为e=3√2/2，且双曲线与椭圆有公共的焦点，故c/d=3√2/2，即1/a2=3√2/2，解得a’=√2/3，由椭圆和双曲线的定义可知
|MF1|+|MF2|=2a，即 |MF1|+|MF2|=2√2，解得 |MF1|=4√2/3，
|MF1|-|MF2|=a’ |MF1|-|MF2|=2√2/3 |MF2|=2√2/3
所以线段 MF1，MF2的长度分别是4√2/3，2√2/3
9.（2020年春季高考数学第30题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线标准方程；
（2）若过点直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）
解析：（1）由椭圆x2/4+y²=1可知a²=4，b²=1，所以a=2，b=1，则A2（2，0），因为抛物线的焦点为 A2，可设抛物线方程为y2=2px（p>0），所以p/2=2，即p=4，所以抛物线的标准方程为y2=8x.
（2）由椭圆x2/4+y²=1①,，可知A1（-2，0），B1（0，-1）。若直线L无斜率，则其方程为x= - 2，经检验，不符合要求；所以直线L斜率存在，设为k，直线L 过点A1（-2，0），则直线L方程为y=k(x+2)②，设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立①、②消去y得：k²x²+（4k²-8）x+4k²=0③，因为直线L与抛物线有两个交点，所以k²≠0、△>0，即k≠0，（4k²-8）2-4k²×4k²>0，解得-1