2023届高考数学一轮复习作业二次函数与幂函数北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业二次函数与幂函数北师大版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若f (x)是幂函数，且满足eq \f(f 4,f 2)＝3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．3 B．－3 C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
C [设f (x)＝xα，由eq \f(f 4,f 2)＝3得eq \f(4α,2α)＝3，即2α＝3，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(α)＝eq \f(1,2α)＝eq \f(1,3)，故选C.]
2．函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))的图像是( )
A B
C D
B [函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))过点(1，1)，排除A、D.
当x∈(0，1)时，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))的图像在直线y＝x上方，故选B.]
3．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·x eq \s\up6(m2－6m＋8)在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3B．1
C．3D．2
B [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4m＋4＝1,m2－6m＋8＞0))，解得m＝1，故选B.]
4．(2021·西安模拟)已知函数f (x)＝x－3，若a＝f (0.60.6)，b＝f (0.60.4)，c＝f (0.40.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜c＜bB．b＜a＜c
C．b＜c＜aD．c＜a＜b
B [函数f (x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
且0.40.6＜0.60.6＜
∴f (0.60.4)＜f (0.60.6)＜f (0.40.6)，
即b＜a＜c，故选B.]
5．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( )
A．a＞0，4a＋b＝0B．a＜0，4a＋b＝0
C．a＞0，2a＋b＝0D．a＜0，2a＋b＝0
A [由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)＞f (1)，f (4)＞f (1)，∴f (x)先减后增，于是a＞0，故选A.]
6．二次函数f (x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f (x)＝f (4－x)成立，若f (1－2x2)＜f (1＋2x－x2)，则实数x的取值范围是( )
A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C [由题意知，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线x＝2，图像在对称轴左侧对应的函数为减函数．
又1－2x2＜2，1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f (1－2x2)＜f (1＋2x－x2)，得1－2x2＞1＋2x－x2，解得－2＜x＜0.故选C.]
二、填空题
7．已知二次函数f (x)的图像经过点(2，－6)，方程f (x)＝0的解集是{－1，4}，则f (x)的解析式为________.
f (x)＝x2－3x－4 [因为f (x)是二次函数，且方程f (x)＝0的解集是{－1，4}，
即f (x)的图像过点(－1，0)和(4，0)，
所以可设f (x)＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)．
又因为f (x)的图像经过点(2，－6)，
所以(2＋1)×(2－4)a＝－6，即a＝1.
故f (x)＝(x＋1)(x－4)＝x2－3x－4.]
8．已知函数f (x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f (x2＋1)＜f (a)恒成立，则实数a的取值范围是________.
(－∞，1) [由f (－x)＝－f (x)得(m－2)x2－(m－8)x＝－(m－2)x2－(m－8)x，
则m－2＝0，即m＝2，∴f (x)＝－6x，f (x)是R上的奇函数，且为减函数，由f (x2＋1)＜f (a)恒成立得x2＋1＞a恒成立．又当x∈R时，x2＋1≥1，所以a＜1.]
9．若关于x的方程x2－x－m＝0在[－1，1]上有解，则实数m的取值范围是________.
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)) [法一：由x2－x－m＝0得m＝x2－x，
设f (x)＝x2－x，
则f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，
当x∈[－1，1]时，f (x)min＝－eq \f(1,4)，
f (x)max＝f (－1)＝2，即－eq \f(1,4)≤f (x)≤2，∴－eq \f(1,4)≤m≤2.
法二：设f (x)＝x2－x－m，则f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－m－eq \f(1,4)，
因为方程f (x)＝0在[－1，1]上有解，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－m－\f(1,4)≤0，,f －1＝2－m≥0，))
解得－eq \f(1,4)≤m≤2.]
三、解答题
10．已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
[解] (1)当a＝2时，f (x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴为x＝－eq \f(3,2)∈[－2，3]，
∴f (x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f (x)max＝f (3)＝15，
∴函数f (x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)∵函数f (x)图像的对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，f (x)max＝f (3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)，满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq \f(1,2)时，f (x)max＝f (－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或－1.
11．已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在[－1，1]上，y＝f (x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．
[解] (1)∵f (x)是二次函数，且f (0)＝f (2)，
∴函数f (x)图像的对称轴为直线x＝1.
又f (x)的最小值为1，
故可设f (x)＝A(x－1)2＋1(A≠0)．
∵f (0)＝3，∴A＋1＝3，解得A＝2，
∴f (x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)要使f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a＜1＜a＋1，
解得0＜a＜eq \f(1,2).
(3)由已知得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，
化简得m＜x2－3x＋1.
设g(x)＝x2－3x＋1，
则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)在区间[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
∴m＜－1.
1．若函数f (x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
B [因为函数f (x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值、最小值在f (0)＝b，f (1)＝1＋a＋b，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝b－eq \f(a2,4)中取，所以M－m与a有关，但与b无关，故选B.]
2．已知函数f (x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，f (x)＞0都成立，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．[－4，＋∞)D．(－4，＋∞)
B [由题意得，对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，f (x)＞0都成立，
即a＞eq \f(2x－2,x2)＝－eq \f(2,x2)＋eq \f(2,x)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))都成立．
又－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)，
则实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).]
3．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x)满足f (－1＋x)＝f (－1－x)，且方程f (x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f (x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f (x)－kx在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值f (－1)，求实数k的取值范围．
[解] (1)由f (－1＋x)＝f (－1－x)可得f (x)的图像关于直线x＝－1对称，设f (x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f (x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，
x1x2＝1＋eq \f(h,a)，
所以|x1－x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(－\f(4h,a))＝2，
解得a＝1，
所以f (x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1，2]上单调递增，
又g(x)＝f (x)－kx＝x2－(k－2)x.
所以g(x)图像的对称轴为x＝eq \f(k－2,2)，则eq \f(k－2,2)≤－1，解得k≤0，故实数k的取值范围为(－∞，0]．