2023届高考数学一轮复习作业概率与统计统计案例的综合题北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业概率与统计统计案例的综合题北师大版（答案有详细解析），共5页。
1．(2021·广州市阶段训练)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸(单位：mm)，得到如下的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)；
(2)已知尺寸在[63.0，64.5)内的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．
[解] (1)由[62.0，63.0)内的频率为(0.075＋0.225)×0.5＝0.15，
[63.0，63.5)内的频率为0.75×0.5＝0.375，
得0.15＋0.375＝0.525＞0.5，
令这80个零件尺寸的中位数为x，则x∈[63.0，63.5)，
则有0.15＋(x－63)×0.75＝0.5，
解得x≈63.47．
故这80个零件尺寸的中位数为63.47．
(2)从频率分布直方图中可得80个零件中尺寸在[63.0，64.5)之外的零件共有(0.075＋0.225＋0.100)×0.5×80＝16(个)，
故从80个零件中随机抽取1个零件，则所抽取的零件为二等品的概率为P＝eq \f(16,80)＝0.2．
所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．
2．(2021·高新区校级月考)为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6 000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、印刷品等，各类商贩所占比例如图①．
图①
图②
(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图②．
①请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
②若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．
[解] (1)由题意知，小吃类所占比例为：
1－25%－15%－10%－5%－5%＝40%，
按照分层抽样的方式随机抽取，
应抽取小吃类商贩：100×40%＝40(家)，
果蔬类商贩100×15%＝15(家)．
(2)①该果蔬经营点的日平均收入为：
(75×0.002＋125×0.009＋175×0.006＋225×0.002＋275×0.001)×50＝152.5(元)．
②该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为a1，a2，其余4天为b1，b2，b3，b4，
随机抽取两天的所有可能情况为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共9种．
所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)．
1．某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
(1)从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另外三天的数据，求出y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up8(^))＝eq \(b,\s\up8(^))x＋eq \(a,\s\up8(^))；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up8(n),\s\d8(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\(\x\t(x)) \(\x\t(y)),\(∑,\s\up8(n),\s\d8(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up8(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up8(^))eq \(\x\t(x))．
[解] (1)由题意，设这两天发芽的种子数分别为m，n．m，n的所有取值有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共有10个，
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件有(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，
所以P(A)＝eq \f(3,10)，
故从这5天中任选2天，发芽的种子数均不小于25的概率为eq \f(3,10)．
(2)由数据得eq \x\t(x)＝12，eq \x\t(y)＝27，
∴3eq \(\x\t(x)) eq \(\x\t(y))＝972，3eq \x\t(x)2＝432．
又eq \(∑,\s\up11(3),\s\d4(i＝1))xiyi＝977，eq \(∑,\s\up11(3),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝434，
∴eq \(b,\s\up8(^))＝eq \f(977－972,434－432)＝eq \f(5,2)，eq \(a,\s\up8(^))＝27－eq \f(5,2)×12＝－3，
∴y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up8(^))＝eq \f(5,2)x－3．
(3)当x＝10时，eq \(y,\s\up8(^))＝eq \f(5,2)×10－3＝22，|22－23|＜2，
当x＝8时，eq \(y,\s\up8(^))＝eq \f(5,2)×8－3＝17，|17－16|＜2．
故所得到的线性回归方程是可靠的．
2．某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：
(1)根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？
(2)分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
(3)估计该厂产量为2 000件产品时的利润以及一等级产品的利润．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d．
[解] (1)根据已知数据可建立列联表如下：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(200×20×65－35×802,55×145×100×100)
＝eq \f(1 800,319)≈5.643＜6.635，
所以没有99%的把握认为一等级产品与生产线有关．
(2)A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：
eq \x\t(x1)＝eq \f(1,100)×(10×20＋8×60＋6×20)＝8(元)，
获利方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,100)×[(10－8)2×20＋(8－8)2×60＋(6－8)2×20]＝1.6．
B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：
eq \x\t(x2)＝eq \f(1,100)×(10×35＋8×40＋6×25)＝8.2(元)，
获利方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,100)×[(10－8.2)2×35＋(8－8.2)2×40＋(6－8.2)2×25]＝2.36，
所以seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)，
则A生产线的获利更稳定．
(3)法一：A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：
eq \f(1,200)×[10×(20＋35)＋8×(60＋40)＋6×(20＋25)]＝8.1(元)，
由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，
估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．
又因为A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，有该工厂生产产品为一等级的概率估计值为eq \f(20＋35,200)＝eq \f(11,40)．
当产量为2 000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2 000×eq \f(11,40)×10＝5 500(元)．
法二：由(2)可知，由于A，B生产线各随机抽取100件产品，则产品获利的平均数为：eq \f(\x\t(x1)＋\x\t(x2),2)＝eq \f(8＋8.2,2)＝8.1(元)．
由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，
估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．
其余解同法一．日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
一等级
非一等级
合计
A生产线
20
80
100
B生产线
35
65
100
合计
55
145
200