2023届高考数学一轮复习作业函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数y＝Asinωx＋φ的图像及三角函数模型的简单应用北师大版（答案有详细解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )

A B C D
A [令x＝0，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，排除B、D．
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0，排除C，故选A．]
2．函数f (x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq \f(π,2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3) C．1 D．eq \r(3)
D [由题意可知该函数的周期为eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)，ω＝2，f (x)＝tan 2x．∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)．]
3．要得到函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,6)))的图像，可将函数g(x)＝sin eq \f(π,2)x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向左平移eq \f(2,3)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
D．向右平移eq \f(2,3)个单位长度
B [f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,3)))))，
因此只需将函数g(x)＝sin eq \f(π,2)x的图像向左平移eq \f(2,3)个单位长度即可，故选B．]
4．(2021·南昌模拟)已知函数f (x)＝asin ωx＋acs ωx(a＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则实数a，ω的值分别为( )
A．a＝2，ω＝2
B．a＝2，ω＝1
C．a＝2，ω＝eq \f(3,2)
D．a＝2，ω＝eq \f(1,2)
C [由f (0)＝2得a＝2，则f (x)＝2sin ωx＋2cs ωx＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))．
由f (0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))及结合图形知，函数f (x)在x＝eq \f(π,6)处取得最大值，∴eq \f(π,6)ω＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
即ω＝12k＋eq \f(3,2)，k∈Z．
∵eq \f(T,2)＞eq \f(π,3)，即eq \f(π,ω)＞eq \f(π,3)，∴0＜ω＜3，∴ω＝eq \f(3,2)，故选C．]
5．若ω＞0，函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图像向右平移eq \f(π,3)个单位长度后与函数y＝sin ωx的图像重合，则ω的最小值为( )
A．eq \f(11,2) B．eq \f(5,2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
B [函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图像向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(ωπ,3)＋\f(π,3)))与函数y＝sin ωx的图像重合，则eq \f(π,3)－eq \f(ωπ,3)＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)．
解得ω＝eq \f(5,2)－6k(k∈Z)
当k＝0时，ω＝eq \f(5,2)，故选B．]
6．(2021·福州三模)已知函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)图像的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)，把f (x)图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移eq \f(5π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图像，则( )
A．g(x)＝－cs 4xB．g(x)＝cs 4x
C．g(x)＝－cs xD．g(x)＝cs x
D [依题意，知eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，所以f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))．
把f (x)图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图像，
再把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图像向右平移eq \f(5π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)－\f(5π,3)))的图像，即y＝cs x的图像，故g(x)＝cs x，故选D．]
二、填空题
7．若函数y＝cs(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图像向右平移eq \f(π,2)个单位长度后，与函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图像重合，则φ＝________．
eq \f(π,6) [把函数y＝cs(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图像向右平移eq \f(π,2)个单位长度后，得到y＝cs(2x－π＋φ)的图像．由题意知cs(2x－π＋φ)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
由0＜φ＜π知φ－eq \f(π,2)＝－eq \f(π,3)，即φ＝eq \f(π,6)．]
8．函数f (x)＝sin x＋cs x的图像向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为________．
eq \f(3π,4) [函数f (x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，其图像向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－t＋\f(π,4)))为偶函数，则－t＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即t＝－eq \f(π,4)－kπ(k∈Z)，又t＞0，∴当k＝－1时，tmin＝eq \f(3π,4)．]
9．已知函数f (x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG(点G是图像的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．
－eq \r(3) [由f (x)＝Acs(ωx＋φ)为奇函数知，f (0)＝Acs φ＝0，
又∵0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(π,2)，
∴f (x)＝Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asin ωx，
∵△EFG是边长为2的等边三角形，则A＝eq \r(3)．
又函数的周期T＝2EF＝4，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2)，
∴f (x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,2)))＝－eq \r(3)sin eq \f(π,2)x，
∴f (1)＝－eq \r(3)sin eq \f(π,2)＝－eq \r(3)．]
三、解答题
10．设函数f (x)＝cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜0))的最小正周期为π，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)．
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图像．
[解] (1)因为T＝eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，
又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)＋φ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))
＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，且－eq \f(π,2)＜φ＜0，所以φ＝－eq \f(π,3)．
(2)由(1)知f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．
列表：
描点，连线，可得函数f (x)在[0，π]上的图像如图所示．
11．(2021·贵阳模拟)已知函数f (x)＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋2cs2ωx(ω＞0)，且f (x)的最小正周期为π．
(1)求ω的值及函数f (x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图像向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图像，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值．
[解] (1)由题意知f (x)＝eq \r(3)sin 2ωx＋1＋cs 2ωx
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))＋1，
∵周期T＝π，即eq \f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1，
∴f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z．
∴函数f (x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z．
(2)∵g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，
∴当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，
即x＝eq \f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3．
1．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为eq \f(π,2)
B．f (x)的最大值为4
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)，0))是f (x)的一个对称中心
D．函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5,12)π))上单调递增
D [由图像知函数f (x)的最小正周期为T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝eq \f(π,2)，则ω＝4，
即f (x)＝Asin(4x＋φ)，
又由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝A，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
由0＜φ＜π，可知φ＝eq \f(π,6)，从而f (x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))，
又f (0)＝2，可得Asin eq \f(π,6)＝2，
所以A＝4，从而f (x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))，
易判断A、B正确．
而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,24)))＝0，所以C正确，
又由x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5,12)π))，4x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)，－\f(3π,2)))，
故函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5,12)π))上不单调，故选项D错误，故选D．]
2．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq \r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f (t)＝Rsin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))．则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝eq \f(π,30)，φ＝－eq \f(π,6)
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f (t)递减
D．当t＝20时，|PA|＝6eq \r(3)
C [由题意，R＝eq \r(27＋9)＝6，T＝60＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,30)，
t＝0时，点A(3eq \r(3)，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜eq \f(π,2)，
所以φ＝－eq \f(π,6)，故A正确；
f (t)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))，当t∈[35，55]时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(5,3)π))，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；
当t∈[10，25]时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)π，\f(2π,3)))，函数y＝f (t)先增后减，C不正确；
当t＝20时，eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，P的纵坐标为6，|PA|＝eq \r(27＋81)＝6eq \r(3)，D正确．故选C．]
1．一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
(1)当t＝5 s时点P离水面的高度为________m；
(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为________．
(1)2eq \r(3)＋2 (2)h(t)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)t－\f(π,6)))＋2(t≥0) [(1)t＝5 s时，水轮转过角度为eq \f(3×2π,60)×5＝eq \f(π,2)，即点P转到点A处，
过点P0，A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N．
在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴∠MOP0＝eq \f(π,6)．
在Rt△AON中，∠AON＝eq \f(π,3)，∴AN＝4×sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，
此时点A(P)离开水面的高度为(2eq \r(3)＋2)m．
(2)由题意可知，ω＝eq \f(3×2π,60)＝eq \f(π,10)，
设角φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜φ＜0))是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由条件得h(t)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)t＋φ))＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中－\f(π,2)＜φ＜0))．
将t＝0，h(0)＝0代入，得4sin φ＋2＝0，
∴φ＝－eq \f(π,6)，
∴所求函数的解析式为h(t)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)t－\f(π,6)))＋2(t≥0)．]
2．(2021·西安模拟)已知函数f (x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))(a＞0)，且满足________．
(1)求函数f (x)的解析式及最小正周期；
(2)若关于x的方程f (x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
从①f (x)的最大值为1，②f (x)的图像与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，③f (x)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
[解] (1)f (x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－1
＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)＋\f(π,2)))－1
＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1
＝(a＋1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1．
若选①，解答过程如下：
因为f (x)的最大值为1，所以a＋1＝2，解得a＝1．
所以f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1，函数f (x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．
若选②，解答过程如下：
因为f (x)的图像与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，
且函数f (x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，所以－3是函数f (x)的最小值．
因为a＞0，所以a＋1＞0，
所以f (x)的最小值为－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1．
所以f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1．
若选③，解答过程如下：
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0，
得(a＋1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,6)))－1＝(a＋1)sin eq \f(π,6)－1＝0，
即eq \f(a＋1,2)－1＝0，解得a＝1．
所以f (x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1，函数f (x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π．
(2)令f (x)＝1，结合(1)得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝1，
解得2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z．
若关于x的方程f (x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，则x＝eq \f(π,3)或x＝eq \f(4π,3)．
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(7π,3)))．2x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,3)
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
π
f (x)
eq \f(1,2)
1
0
－1
0
eq \f(1,2)