2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数性质的综合问题一、选择题1．定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x－1)，且f (x)＝其中a∈R，若f (－5)＝f (4.5)，则a＝(　　)A．0.5　　B．1.5　　C．2.5　　D．3.5C　[由f (x＋1)＝f (x－1)，得f (x)是周期为2的周期函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C.]2．定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)A．f ＜f ＜f B．f ＜f ＜f C．f ＜f ＜f D．f ＜f ＜f C　[由f (x＋2)＝－f (x)及f (x)是奇函数得f ＝f ＝－f ＝f ，又函数f (x)在[－1，1]上是减函数，所以f ＜f ＜f ，即f ＜f ＜f ，故选C.]3．设f (x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f (x－1)≥f (3)的解集为(　　)A．[－3，3] B．[－2，4]C．[－1，5] D．[0，6]B　[因为f (x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f (x)在[－6，0]上为增函数，得f (x)在(0，6]上为减函数，故f (x－1)≥f (3)⇒f (|x－1|)≥f (3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.]4．设奇函数f (x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x)在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)D　[∵奇函数f (x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x)的图像关于原点对称，且过点(1，0)和(－1，0)，且f (x)在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x)的大致图像如图所示．∵f (－x)＝－f (x)，∴不等式＜0可化为＜0，即xf (x)＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图像可知x∈(－1，0)∪(0，1)．]5．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x)＝x3－，则f (x)(　　)A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减A　[法一：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D.因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.法二：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D.当x∈(0，＋∞)时，由f (x)＝x3－，得f ′(x)＝3x2＋>0，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A.]6．(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝sin x＋，则(　　)A．f (x)的最小值为2B．f (x)的图像关于y轴对称C．f (x)的图像关于直线x＝π对称D．f (x)的图像关于直线x＝对称D　[由题意得sin x∈[－1，0)∪(0，1]．对于A，当sin x∈(0，1]时，f (x)＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0)时，f (x)＝sin x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误．对于B，f (－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f (x)，所以f (x)是奇函数，图像关于原点对称，所以B错误．对于C，f (x＋π)＝sin(x＋π)＋＝－，f (π－x)＝sin(π－x)＋＝sin x＋，则f (x＋π)≠f (π－x)，f (x)的图像不关于直线x＝π对称，所以C错误．对于D，f ＝sin＋＝cos x＋，f ＝sin＋＝cos x＋，所以f ＝f ，f (x)的图像关于直线x＝对称，所以D正确．故选D.]二、填空题7．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈[－3，0]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝________.6　[∵f (x＋4)＝f (x－2)，∴f (x＋6)＝f (x)，∴f (x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x)为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.]8．定义在实数集R上的函数f (x)满足f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)．现有以下三个命题：①8是函数f (x)的一个周期；②f (x)的图像关于直线x＝2对称；③f (x)是偶函数．其中正确命题的序号是________.①②③　[∵f (x)＋f (x＋2)＝0，∴f (x＋2)＝－f (x)，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，∴f (x)的周期为4，故①正确；又f (4－x)＝f (x)，所以f (2＋x)＝f (2－x)，即f (x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f (x)＝f (4－x)得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，故③正确．]9．定义在R上的奇函数f (x)满足f (－x)＝f (3＋x)，f (2 020)＝2，则f (1)＝________.－2　[由f (－x)＝f (3＋x)得f (3＋x)＝－f (x)，从而f (6＋x)＝f (x)，即函数f (x)是周期为6的周期函数，所以f (2 020)＝f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝2.所以f (1)＝－2.]三、解答题10．设f (x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x≤0时，f (x)＝－x.(1)判断f (x)的奇偶性；(2)试求出函数f (x)在区间[－1，2]上的表达式．[解]　(1)∵f (1＋x)＝f (1－x)，∴f (－x)＝f (2＋x)．又f (x＋2)＝f (x)，∴f (－x)＝f (x)．又f (x)的定义域为R，∴f (x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f (x)＝f (－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f (x)＝f (x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f (x)＝11．设函数f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x.(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求函数f (x)的图像与x轴所围成图形的面积．[解]　(1)由f (x＋2)＝－f (x)得，f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x)是奇函数且f (x＋2)＝－f (x)，得f [(x－1)＋2]＝－f (x－1)＝f [－(x－1)]，即f (1＋x)＝f (1－x)．故函数y＝f (x)的图像关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f (x)＝x，且f (x)的图像关于原点成中心对称，则f (x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时，设f (x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.1．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (1－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝2x－m，则f (2 019)＝(　　)A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2B　[∵f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (1－x)，∴f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴f (x)的周期为4.∵x∈[0，1]时，f (x)＝2x－m，∴f (0)＝1－m＝0，∴m＝1，∴x∈[0，1]时，f (x)＝2x－1，∴f (2 019)＝f (－1＋505×4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选B.]2．定义在R上的函数f (x)满足：①对任意x∈R有f (x＋4)＝f (x)；②f (x)在[0，2]上是增函数；③f (x＋2)的图像关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)A．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)B．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)D．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)D　[由①知函数f (x)的周期为4，由③知f (x＋2)是偶函数，则有f (－x＋2)＝f (x＋2)，即函数f (x)图像的一条对称轴是x＝2，由②知函数f (x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f (7)＝f (3)，f (6.5)＝f (2.5)，f (4.5)＝f (0.5)，由以上分析可得f (0.5)＜f (3)＜f (2.5)，即f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．故选D.]3．已知函数y＝f (x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f (x1)＋f (x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f (1－a)＋f (1－a2)＜0，求实数a的取值范围．[解]　(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f (x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x1)＞f (－x2)＝－f (x2)，所以f (x1)＋f (x2)＞0.所以[f (x1)＋f (x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，同理可证f (x1)＋f (x2)＜0.所以[f (x1)＋f (x2)](x1＋x2)＜0成立．综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f (x1)＋f (x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a)＋f (1－a2)＜0⇔f (1－a2)＜－f (1－a)＝f (a－1)，所以由f (x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0，1)．1．定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，f (x＋2)＝－f (x)且f (x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x)是周期函数；②f (x)的图像关于x＝1对称；③f (x)在[1，2]上是减函数；④f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)①②③④　[因为f (x＋y)＝f (x)＋f (y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f (0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f (0)＝f (x)＋f (－x)．所以f (－x)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．因为f (x)在[－1，0]上为增函数，又f (x)为奇函数，所以f (x)在[0，1]上为增函数．由f (x＋2)＝－f (x)⇒f (x＋4)＝－f (x＋2)⇒f (x＋4)＝f (x)，所以周期T＝4，即f (x)为周期函数．f (x＋2)＝－f (x)⇒f (－x＋2)＝－f (－x)．又因为f (x)为奇函数．所以f (2－x)＝f (x)，所以函数图像关于x＝1对称．由f (x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f (x)在[1，2]上为减函数．由f (x＋2)＝－f (x)，令x＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)．]2．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x－1)＜2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．[解]　(1)因为对于任意x1，x2∈D有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x)为偶函数，证明如下：f (x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝f (1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f (－x)＝f (－1)＋f (x)，所以f (－x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x)是偶函数，所以f (x－1)＜2等价于f (|x－1|)＜f (16)．又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17)．