2023届高考数学一轮复习作业同角三角函数的基本关系与诱导公式北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业同角三角函数的基本关系与诱导公式北师大版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·北京模拟)若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sin α的是( )
A．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))B．sin(α－2π)
C．－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))D．sin(2π－α)
D [对于A，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α；
对于B，sin(α－2π)＝sin α；
对于C，－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝sin α；
对于D，sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α．故选D．]
2．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋θ))等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
A [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝eq \f(1,3)．]
3．已知cs 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是( )
A．eq \f(1－a2,a)B．eq \r(1－a2)
C．eq \f(a2－1,a)D．－eq \r(1－a2)
B [sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－a2)．]
4．若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
D [∵tan α＝eq \f(1,2)，∴sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)·(sin2α－cs2α)＝eq \f(sin2α－cs2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5)，故选D．]
5．若sin α＋cs α＝1(0＜α＜π)，则3sin α－cs α＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．3
D [∵sin α＋cs α＝1，
∴(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝1，
∴2sin αcs α＝0．∵0＜α＜π，∴cs α＝0，sin α＝1，
∴3sin α－cs α＝3，故选D．]
6．已知eq \f(sin α,1＋cs α)＝2，则tan α＝( )
A．－eq \f(4,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(4,3) D．2
A [由eq \f(sin α,1＋cs α)＝2得sin α＝2＋2cs α，
两边平方得sin2α＝4＋8cs α＋4cs2α，
即1－cs2α＝4＋8cs α＋4cs2α，
整理得5cs2α＋8cs α＋3＝0，
解得cs α＝－eq \f(3,5)或cs α＝－1(舍去)，
∴sin α＝2－2×eq \f(3,5)＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)，故选A．]
二、填空题
7．在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(2),3)，则sin A＝________．
eq \f(\r(22),11) [因为tan A＝eq \f(\r(2),3)＞0，
所以A为锐角，
由tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\r(2),3)以及sin2A＋cs2A＝1，
可求得sin A＝eq \f(\r(22),11)．]
8．(2021·上饶模拟)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝________．
eq \f(1,3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)．]
9．若f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋α))＋1，且f (2 020)＝2，则f (2 021)＝________．
1 [由题意知，f (2 020)＝sin(1 010π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，∴sin α＝1，
∵sin2α＋cs2α＝1，∴cs α＝0，
∴f (2 021)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 010π＋\f(π,2)＋α))＋1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋1＝cs α＋1＝1．]
三、解答题
10．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α．
[解] 由已知得sin α＝2cs α．
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝－eq \f(1,6)．
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5)．
11．已知α为第三象限角，
f (α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tan(π－α),tan(－α－π)·sin(－α－π))．
(1)化简f (α)；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f (α)的值．
[解] (1)f (α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))·tan(π－α),tan(－α－π)·sin(－α－π))
＝eq \f((－cs α)·sin α·(－tan α),(－tan α)·sin α)＝－cs α．
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5)．
又α为第三象限角，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，所以f (α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5)．
1．已知sin θ＝eq \f(a－1,1＋a)，cs θ＝－eq \f(a,1＋a)，若θ是第二象限角，则tan θ的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．2 C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
C [由sin2θ＋cs2θ＝1得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,1＋a)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,1＋a)))eq \s\up12(2)＝1，
整理得a2－4a＝0，
解得a＝0或a＝4．
又θ是第二象限角，
∴a＝4．
∴sin θ＝eq \f(3,5)，cs θ＝－eq \f(4,5)，
∴tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(3,4)，故选C．]
2．已知θ是第四象限，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________．
－eq \f(4,3) [由θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)＞0知θ＋eq \f(π,4)是第一象限角，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，从而taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))),cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))))＝eq \f(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,5)×eq \f(5,3)＝－eq \f(4,3)．]
3．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cs θ，且θ∈(0，2π)．
(1)求eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时θ的值．
[解] (1)由根与系数的关系可知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)， ①,sin θ·cs θ＝\f(m,2)， ②))
而eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)．
(2)由①两边平方，得1＋2sin θcs θ＝eq \f(2＋\r(3),2)，将②代入，得m＝eq \f(\r(3),2)．
(3)当m＝eq \f(\r(3),2)时，原方程变为2x2－(1＋eq \r(3))x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
∵θ∈(0，2π)，∴θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6)．
1．如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，则sin β＝( )
A．－eq \f(3,5)B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5)D．eq \f(4,5)
B [由任意角的三角函数的定义可知cs α＝eq \f(3,5)，
所以sin β＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α＝eq \f(3,5)，故选B．]
2．是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β， ②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2．
∴sin2α＝eq \f(1,2)，∴sin α＝±eq \f(\r(2),2)．
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝±eq \f(π,4)．
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．