2023届高考数学一轮复习作业圆的方程北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业圆的方程北师大版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1
A [设圆的方程为(x－a)2＋y2＝1，由题意知
(2－a)2＋12＝1，解得a＝2，故选A．]
2．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2))
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
B [由题意知m2＋4－12＞0，即m2＞8，解得m＞2eq \r(2)或m＜－2eq \r(2)，故选B．]
3．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则eq \r(x－12＋y－12)的最大值为( )
A．eq \r(26)＋2 B．eq \r(26) C．5 D．6
A [eq \r(x－12＋y－12)的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距离．易知点A(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合(图略)可知eq \r(x－12＋y－12)的最大值为eq \r(1－02＋1＋42)＋2＝eq \r(26)＋2．故选A．]
4．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1，1)B．(－1，0)
C．(1，－1)D．(0，－1)
D [由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(－3k2＋4)，
要使圆的面积最大，须使半径最大，
所以当k＝0时，rmax＝eq \f(1,2)eq \r(4)＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]
5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝4
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,2)
C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3，2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1．故选C．]
6．(2021·西安调研)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－4y－8＝0
B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
C [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0，
将P，Q两点的坐标代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20， ①,3D－E＋F＝－10， ②))
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0． ③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36， ④
解①②④组成的方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0，))
因此，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0，故选C．]
二、填空题
7．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
2 [由题意知，直线kx＋2y－4＝0经过圆心(－1，3)，则有－k＋6－4＝0，即k＝2．]
8．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，因此圆的方程是________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝13 [设直径的两端点分别为A(a，0)，B(0，b)，则a＝4，b＝－6，
∴|AB|＝eq \r(42＋62)＝2eq \r(13)，从而圆的半径为eq \r(13)，
因此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
9．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是________．
eq \r(2)＋1 [将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1．]
三、解答题
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
[解] (1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直径|CD|＝4eq \r(10)，
所以|PA|＝2eq \r(10)．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2，))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
11．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2eq \r(6)，高为3．
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
[解] (1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(eq \r(6)，3)，D(－eq \r(6)，3)，
设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知
(0－3)2＋(b－0)2＝(0－eq \r(6))2＋(b－3)2，解得b＝1．
所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10．
所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．
(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5，2y－2)．
将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,2)．
1．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．1 B．5 C．4eq \r(2) D．3＋2eq \r(2)
D [由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2－eq \r(2)，a＝eq \r(2)－1时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2)．]
2．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2 [设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2．]
3．动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根．
(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；
(2)证明：当动圆C过点M(0，1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．
[解] (1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根，
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4．
∵动圆C与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且线段AB是动圆C的直径，
∴动圆C的圆心C的坐标为(－m，0)，半径为
eq \f(|AB|,2)＝eq \f(|x2－x1|,2)＝eq \f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝eq \r(m2＋4)．
∴动圆C的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4．
(2)证明：设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆C与y轴交于M(0，1)，N(0，y1)，令y＝0，
则x2＋Dx＋F＝0，由题意可知D＝2m，F＝－4，
又动圆C过点M(0，1)，
∴1＋E－4＝0，解得E＝3．
令x＝0，则y2＋3y－4＝0，
解得y＝1或y＝－4，
∴y1＝－4．
∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1－1|＝5．
故动圆C在y轴上截得弦长为定值．
1．(2021·青岛模拟)如图A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq \(\s\up12(︵),CD)是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq \(\s\up12(︵),CB)是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq \(\s\up12(︵),BA)是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．给出以下4个结论：
①曲线W与x轴围成的面积等于2π；
②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；
③eq \(\s\up12(︵),CB)所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1；
④eq \(\s\up12(︵),CB)与eq \(\s\up12(︵),BA)的公切线方程为：x＋y＝eq \r(2)＋1．
则上述结论正确的是( )
A．①②③④B．②③④
C．①②③D．②③
B [曲线W与x轴的图形为以(0，1)圆心，1为半径的半圆加上以(1，0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq \f(1,2)π＋2×eq \f(1,4)π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；
曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故②正确；
eq \(\s\up12(︵),CB)是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设eq \(\s\up12(︵),CB)与eq \(\s\up12(︵),BA)的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得eq \f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq \f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq \r(2)(t＝1－eq \r(2)舍去)，
则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq \r(2)，
即x＋y＝1＋eq \r(2)，故④正确．
故选B．]
2．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－eq \f(1,2)．
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，
半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(17,16)．
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0．
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5)))．