2023届高考数学一轮复习作业指数与指数函数北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业指数与指数函数北师大版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设a＞0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．aeq \s\up12(eq \f(1,2)) B．aeq \s\up12(eq \f(5,6)) C．aeq \s\up12(eq \f(7,6)) D．aeq \s\up12(eq \f(3,2))
C [eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝eq \f(a2,\r(a·aeq \s\up12(\f(2,3))))＝eq \f(a2,\r(aeq \s\up12(\f(5,3))))＝eq \f(a2,aeq \s\up12(\f(5,6)))＝aeq \s\up12(2－eq \f(5,6))＝aeq \s\up12(eq \f(7,6))．故选C．]
2．已知函数f (x)＝4＋2ax－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1，6) B．(1，5) C．(0，5) D．(5，0)
A [由于函数y＝ax的图像过定点(0，1)，
当x＝1时，f (x)＝4＋2＝6，
故函数f (x)＝4＋2ax－1的图像恒过定点P(1，6)．]
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
C [y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，
∴0.60.6＞0.61.5．又y＝x0.6为R上的增函数，
∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b．]
4．函数y＝eq \f(xax,|x|)(0＜a＜1)的图像的大致形状是( )
A B
C D
D [函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝eq \f(xax,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x＞0，,－ax，x＜0，))当x＞0时，函数是指数函数y＝ax，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数y＝－ax的图像与指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图像关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D．]
5．函数f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x)的单调递减区间为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
B [令t＝x2－2x，由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t)为减函数知f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x)的单调递减区间为t＝x2－2x的单调递增区间．又t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则函数t的单调递增区间为(1，＋∞)，即f (x)的单调递减区间为(1，＋∞)，故选B．]
6．16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系：
已知光在真空中的传播速度为300 000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为2k千米(k∈N*)，则k的值为( )
A．40 B．41 C．42 D．43
D [由表知：210≈103，1光年为3×105×60×60×24×365＝9.460 8×1012≈23×(103)4≈23×240＝243千米，故选D．]
二、填空题
7．若函数f (x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)满足f (1)＝eq \f(1,9)，则f (x)的单调递减区间是________．
[2，＋∞) [由f (1)＝eq \f(1,9)得a2＝eq \f(1,9)，
所以a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,3)(舍去)，即f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x－4|)．
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．]
8．不等式2eq \s\up10(－x2＋2x)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋4)的解集为________．
(－1，4) [原不等式等价为2eq \s\up10(－x2＋2x)＞2－x－4，
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x＞－x－4，
即x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4．]
9．若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) [(数形结合法)当0＜a＜1时，作出函数y2＝|ax－1|的图像，
由图像可知0＜2a＜1，
∴0＜a＜eq \f(1,2)；
同理，当a＞1时，解得0＜a＜eq \f(1,2)，与a＞1矛盾．
综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．]
三、解答题
10．已知关于x的函数f (x)＝2x＋(a－a2)·4x，其中a∈R．
(1)当a＝2时，求满足f (x)≥0的实数x的取值范围；
(2)若当x∈(－∞，1]时，函数f (x)的图像总在直线y＝－1的上方，求a的整数值．
[解] (1)当a＝2时，f (x)＝2x－2·4x≥0，
即2x≥22x＋1，x≥2x＋1，x≤－1．
故实数x的取值范围是(－∞，－1]．
(2)f (x)＞－1在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a－a2＞－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)))在x∈(－∞，1]上恒成立．
因为函数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在x∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)))在(－∞，1]上为单调递增函数，最大值为－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1)))＝－eq \f(3,4)．
因此a－a2＞－eq \f(3,4)，解得－eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2)．
故实数a的整数值是0，1．
11．函数y＝F(x)的图像如图所示，该图像由指数函数f (x)＝ax与幂函数g(x)＝xb”拼接”而成．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．
[解] (1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aeq \s\up12(\f(1,4))＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(b)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,16)，,b＝\f(1,2)，))
所以F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))\s\up12(x)，x≤\f(1,4)，,xeq \s\up12(\f(1,2))，x＞\f(1,4).))
(2)因为ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，ba＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,16))，
指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在R上单调递减，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,16))，即ab＜ba．
(3)由(m＋4)eq \s\up12(－eq \f(1,2))＜(3－2m)eq \s\up12(－eq \f(1,2))，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4＞0，,3－2m＞0，,m＋4＞3－2m，))解得－eq \f(1,3)＜m＜eq \f(3,2)，
所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(3,2)))．
1．若ea＋πb≥e－b＋π－a，e为自然对数底数，则有( )
A．a＋b≤0B．a－b≥0
C．a－b≤0D．a＋b≥0
D [令f (x)＝ex－π－x，则f (x)在R上单调递增．
由ea＋πb≥e－b＋π－a得ea－π－a≥e－b－πb，
即f (a)≥f (－b)∴a≥－b，即a＋b≥0，故选D．]
2．已知函数f (x)＝ex－eq \f(1,ex)，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)＞0的解集为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
B [函数f (x)＝ex－eq \f(1,ex)的定义域为R，
∵f (－x)＝e－x－eq \f(1,e－x)＝eq \f(1,ex)－ex＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，那么不等式f (2x－1)＋f (－x－1)＞0等价于f (2x－1)＞－f (－x－1)＝f (1＋x)，易证f (x)是R上的单调递增函数，∴2x－1＞x＋1，解得x＞2，∴不等式f (2x－1)＋f (－x－1)＞0的解集为(2，＋∞)．]
3．已知定义域为R的函数f (x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
[解] (1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，即eq \f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，
所以f (x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋a)．
又由f (1)＝－f (－1)知eq \f(－2＋1,4＋a)＝－eq \f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2．
(2)由(1)知f (x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，
由上式易知f (x)在R上为减函数，又因为f (x)是奇函数，从而不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)＜0等价于f (t2－2t)＜－f (2t2－k)＝f (－2t2＋k)．
因为f (x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k．
即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－eq \f(1,3)．
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))．
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星”鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,(R＋r)2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)．设α＝eq \f(r,R)，由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,(1＋α)2)≈3α3，则r的近似值为( )
A． eq \r(\f(M2,M1))RB． eq \r(\f(M2,2M1))R
C． eq \r(3,\f(3M2,M1))RD． eq \r(3,\f(M2,3M1))R
D [由eq \f(M1,(R＋r)2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)，得eq \f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))eq \s\up12(2))＋eq \f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))eq \s\up12(2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))M1．因为α＝eq \f(r,R)，所以eq \f(M1,(1＋α)2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq \f(3α3＋3α4＋α5,(1＋α)2)＝eq \f(M2,M1)．由eq \f(3α3＋3α4＋α5,(1＋α)2)≈3α3，得3α3≈eq \f(M2,M1)，即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))eq \s\up12(3)≈eq \f(M2,M1)，
所以r≈eq \r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D．]
2．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|≤M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝eq \f(1,4x)＋eq \f(a,2x)＋1．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由；
(2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)设y＝f (x)＝eq \f(1,4x)＋eq \f(a,2x)＋1．
当a＝－1时，y＝f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋1(x＜0)，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，x＜0，则t＞1，
y＝t2－t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)，
∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|≤M成立．
∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f (x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f (x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，x≥0，则t∈(0，1]．
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))≤a≤eq \f(2,t)－t对t∈(0，1]恒成立，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))))max≤a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,t)－t))min．
设h(t)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(4,t)))，p(t)＝eq \f(2,t)－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上递增，p(t)在(0，1]上递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1．
∴实数a的取值范围为[－5，1]．0
1
2
3
4
…
9
10
1
2
4
8
16
…
512
1 024