2023届高考数学一轮复习作业两条直线的位置关系新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业两条直线的位置关系新人教B版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·四川绵阳高三期末)已知直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：2x＋4y＋1＝0，则l1，l2的位置关系是( )
A．垂直 B．相交 C．平行 D．重合
C [由l1：y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)，l2：y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,4)知，这两条直线的斜率相等截距不等，即l1，l2平行，故选C．]
2．(2021·四川省资阳中学高三月考)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．－eq \f(3,2)
C [因为直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，
解得a＝±1，故选C．]
3．(2021·六安一中高三期末)若直线x－y－m＝0与直线mx＋y－4＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．2eq \r(2) B．eq \f(5\r(2),2) C．eq \f(3\r(2),2) D．eq \r(2)
C [∵直线x－y－m＝0与直线mx＋y－4＝0平行，则m≠0，且eq \f(m,1)＝eq \f(1,－1)≠eq \f(－4,－m)，
求得m＝－1，两直线即为直线x－y＋1＝0与直线x－y＋4＝0，
它们之间的距离为eq \f(|4－1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，故选C．]
4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，则m＝( )
A．7 B．eq \f(17,2) C．14 D．17
B [直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，所以eq \f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq \r(10)，求得m＝eq \f(17,2)．]
5．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A．eq \r(2) B．2 C．3 D．4
B [点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为eq \r(－1－12＋1－12)＝2．]
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A．eq \r(5) B．eq \r(6) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
A [联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0．
∴m＝－5－2n．
∴点(m，n)到原点的距离
d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(5＋2n2＋n2)＝eq \r(5n＋22＋5)≥eq \r(5)，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为eq \r(5)．]
二、填空题
7．点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值为 ．
2eq \r(2) [因为直线y＝k(x＋2)显然过定点(－2,0)，即A(－2,0)，B(0,2)，
连接AB，若AB⊥l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离为d＝|AB|＝2eq \r(2)；
若AB不垂直l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离d必小于|AB|，
综上，点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值dmax＝|AB|＝2eq \r(2)．]
8．点A(3，－4)与点B(－1,8)关于直线l对称，则直线l的方程为 ．
x－3y＋5＝0 [由A(3，－4)，B(－1,8)得：kAB＝eq \f(8＋4,－1－3)＝－3且AB中点M坐标为(1,2)，
∵A和B关于直线l对称，
∴kAB·kl＝－1且M在l上，
∴kl＝eq \f(1,3)，
∴l的方程为：y－2＝eq \f(1,3)(x－1)，即x－3y＋5＝0．]
9．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是 ．
x＋2y－3＝0 [当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
三、解答题
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
[解] 依题意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0))所以C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))所以B(－1，－3)，所以kBC＝eq \f(6,5)，所以直线BC的方程为y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0．
11．(2021·河南三门峡高三月考)已知点A(0,4)与点B关于直线l0：x＋2y－3＝0对称．
(1)求B点的坐标；
(2)一条光线沿直线l：x－y＋4＝0入射到直线l0后反射，求反射光线所在的直线方程．
[解](1)设B(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋2×\f(b＋4,2)－3＝0，,\f(b－4,a)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝0，)) 所以B(－2,0)．
(2)设反射光线所在的直线为l′，因为点A在直线l上，所以点B在l′上．
设l与l0的交点为P．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋4＝0，,x＋2y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,3)，))
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,3)))．
反射光线所在的直线即为直线BP，其方程为y＝eq \f(\f(7,3),－\f(5,3)＋2)(x＋2)，整理得y＝7x＋14．
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )
A．(－4,0) B．(0，－4)
C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0)
A [设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋m,3)，\f(4＋n,3)))，代入欧拉线方程得eq \f(2＋m,3)－eq \f(4＋n,3)＋2＝0，整理得m－n＋4＝0，①
易得AB边的中点为(1,2)，kAB＝eq \f(4－0,0－2)＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋3＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))∴△ABC的外心为(－1,1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8．②
联立①②解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，∴顶点C的坐标是(－4,0)．故选A．]
2．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 ．
4 [由y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)，得y′＝1－eq \f(4,x2)，
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)切于(x0，x0＋eq \f(4,x0))(x0＞0)，
由1－eq \f(4,x\\al(2,0 )) ＝－1，
解得x0＝eq \r(2)(x0>0)．
∴曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)上，点P(eq \r(2)，3eq \r(2))到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为eq \f(|\r(2)＋3\r(2)|,\r(2))＝4．]
3．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0．若点B的坐标为(1,2)，求：
(1)点A和点C的坐标；
(2)△ABC的面积．
[解](1)由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))
解得点A(－1,0)．
又直线AB的斜率为kAB＝1，
且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋1，,y－2＝－2x－1，))得点C的坐标为(5，－6)．
(2)因为B(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝eq \r(1－52＋[2－－6]2)＝4eq \r(5)，点A(－1,0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝eq \f(|2×－1－4|,\r(5))＝eq \f(6,\r(5))，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×4eq \r(5)×eq \f(6,\r(5))＝12．