2023届高考数学一轮复习作业平面向量的数量积与平面向量应用举例新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业平面向量的数量积与平面向量应用举例新人教B版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·辽宁朝阳市高三一模)已知向量a＝(x,1)，b＝(－1,1)，若a＋b＝(0,2)，则( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a－b＝(－2,0) D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝eq \r(2)
B [∵向量a＝(x,1)，b＝(－1,1)，且a＋b＝(x－1,2)＝(0,2)，
∴x－1＝0，∴x＝1，∴向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，
∴a和b不平行，故A错误；
∵a·b＝0，∴a⊥b，故B正确；∵a－b＝(2,0)，故C错误；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝2，故D错误．]
2．已知向量a，b满足a＝(4,0)，b＝(x，eq \r(3))，且|a|＝a·b，则a，b的夹角大小为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C [由题意，向量a，b满足a＝(4,0)，b＝(x，eq \r(3))，
因为|a|＝a·b，可得4x＝4，解得x＝1，
设a，b的夹角大小为θ，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4,4×2)＝eq \f(1,2)，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3)．]
3．(2021·湖北武汉高三模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(AE,\s\up7(→))＝( )
A．3 B．2 C．eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)
B [以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0,0)，E(1,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，∴eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，eq \(AE,\s\up7(→))＝(1,1)，
∴eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝2．]
4．(2021·黑龙江哈尔滨三中高三模拟)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BC边上中点，eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AE,\s\up7(→))的值为( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(3,2) D．2
D [因为AD⊥AB，CD∥AB，所以AD⊥CD，
因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠BAC＝45°，AC＝eq \r(2)，
因为E为BC边上中点，所以eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，
则eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))2＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up7(→))))·cs∠BAC＝eq \f(1,2)×(eq \r(2))2＋eq \f(1,2)×2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2，故选D．]
5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))－2eq \(OA,\s\up7(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
A [∵(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))－2eq \(OA,\s\up7(→)))＝0，
∴eq \(CB,\s\up7(→))·[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]＝eq \(CB,\s\up7(→))·(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝0．
设D为边BC的中点，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AD,\s\up7(→))，即eq \(CB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝0．
由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，
∴△ABC为等腰三角形．故选A．]
6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
A [法一：由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b．将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝eq \r(3)|b|，所以cs〈a＋b，a〉＝eq \f(a＋b·a,|a＋b||a|)＝eq \f(|a|2,2|b||a|)＝eq \f(3|b|2,2|b|·\r(3)|b|)＝eq \f(\r(3),2)，所以向量a＋b与a的夹角为eq \f(π,6)，故选A．
法二：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴a⊥b．
在四边形ABCO中，设|eq \(OC,\s\up7(→))|＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2，
∴|a|＝eq \r(3)，
∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，∴在Rt△OBA中，∠BOA＝eq \f(π,6)．]
二、填空题
7．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝ ．
eq \f(3,5) [法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝eq \f(3,5)．
法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝eq \f(a·b,b2)＝eq \f(1，3·3，4,32＋42)＝eq \f(15,25)＝eq \f(3,5)．]
8．(2021·北京高考)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝ ；a·b＝ ．
0 3 [∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3．]
9．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则eq \(AP,\s\up7(→))·(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝ ．
10 [取BC的中点D，易知eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AD,\s\up7(→))，且AD⊥BC．
∴eq \(AP,\s\up7(→))·(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝2eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝2eq \(AD,\s\up7(→))2．又AB＝AC＝3，BC＝4，∴AD＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)．故eq \(AP,\s\up7(→))·(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝2eq \(AD,\s\up7(→))2＝10．]
三、解答题
10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cs θ)，0＜θ＜π．
(1)若向量a∥b，求θ的值；
(2)若向量a·b＝eq \f(\r(2),2)，求eq \f(sin2θ＋\f(1,2)sin 2θ,1＋tan θ)．
[解](1)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cs θ)，
∴当a∥b时，1×cs θ＝(－1)×sin θ，
即cs θ＝－sin θ．
∵θ∈(0，π)，∴θ＝eq \f(3π,4) ．
(2)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cs θ)，
∴当a·b＝eq \f(\r(2),2)时，1×sin θ＋(－1)×cs θ＝eq \f(\r(2),2)，
可得sin θ－cs θ＝eq \f(\r(2),2)⇒(sin θ－cs θ)2＝eq \f(1,2)⇒
1－2sin θcs θ＝eq \f(1,2)，
∴sin θcs θ＝eq \f(1,4)．
∴eq \f(sin2θ＋\f(1,2)sin 2θ,1＋tan θ)＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ,1＋\f(sin θ,cs θ))
＝sin θ(sin θ＋cs θ)×eq \f(cs θ,cs θ＋sin θ)
＝sin θcs θ＝eq \f(1,4)．
11．已知向量m＝(cs x，sin x)，n＝(eq \r(3)sin x，sin x)，函数f(x)＝m·n．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(13,10)，求sin α的值．
[解] ∵向量m＝(cs x，sin x)，n＝(eq \r(3)sin x，sin x)，
∴函数f(x)＝m·n＝eq \r(3)sin xcs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3)sin 2x,2)＋eq \f(1－cs 2x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)．
(1)T＝eq \f(2π,2)＝π．
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)＝eq \f(13,10)⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,6)＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq \f(3,5)．
∴sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3＋4\r(3),10)．
1．已知向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(4，－2)，则△ABC的面积为( )
A．5 B．10 C．25 D．50
A [∵|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(5)，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5)，
csA＝eq \f(\(AB,\s\up7(→))·\(AC,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|·|\(AC,\s\up7(→))|)＝eq \f(4－4,\r(5)·2\r(5))＝0，∴A＝90°．
∴△ABC的面积为eq \f(1,2)·|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·sinA＝5，故选A．]
2．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80 N，则G的大小为 ，F2的大小为 ．
160 N 80eq \r(3) N [根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：∠CAO＝90°，∠AOC＝30° ，AC＝80，
∴OC＝160，OA＝80eq \r(3)，
∴G的大小为160 N，F2的大小为80eq \r(3) N．]
3．已知a＝(cs α，sin α)，b＝(cs β，sin β)，0＜β＜α＜π．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)．
[解](1)∵a＝(cs α，sin α)，b＝(cs β，sin β)，
∴|a|＝eq \r(cs2α＋sin2α)＝1，同理|b|＝1．
∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，
因此，向量a＋b与a－b垂直．
(2)a·b＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(β－α)，
∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，则
k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2，
即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得
a·b＝cs(β－α)＝0，
∵0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π，所以，－π＜β－α＜0，∴β－α＝－eq \f(π,2)．
1．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))|的值为 ；(eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))·eq \(DA,\s\up7(→))的最小值为 ．
1 eq \f(11,20) [设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))2＝4eq \(BE,\s\up7(→))2＋4eq \(BE,\s\up7(→))·eq \(DF,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))|＝1，
∵(eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))·eq \(DA,\s\up7(→))＝(eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))·(eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→)))＝eq \(DE,\s\up7(→))2＋eq \(DF,\s\up7(→))·eq \(EA,\s\up7(→))
＝(eq \r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))2＋eq \f(11,20)，
所以当x＝eq \f(3,10)时，(eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→)))·eq \(DA,\s\up7(→))的最小值为eq \f(11,20)．]
2．已知O为△ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
(1)若eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，eq \(OH,\s\up7(→))＝h，试用a，b，c表示h；
(2)证明：eq \(AH,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))；
(3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|．
[解](1) 由平行四边形法则可得：eq \(OH,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))，即h＝a＋b＋c．
(2)∵O是△ABC的外心，∴|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，即|a|＝|b|＝|c|，
而eq \(AH,\s\up7(→))＝eq \(OH,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝h－a＝b＋c，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝c－b，
∴eq \(AH,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝(b＋c)·(c－b)＝|c|2－|b|2＝0，
∴eq \(AH,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))．
(3)在△ABC中，O为△ABC的外心，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠BOC＝120°，∠AOC＝90°，
于是∠AOB＝150°，
|h|2＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
＝3R2＋2|a|·|b|·cs 150°＋2|b|·|c|·cs 120°＋2|c|·|a|·cs 90°
＝(2－eq \r(3))R2，
∴|h|＝eq \r(2－\r(3)R)．