2023届高考数学一轮复习作业任意角蝗制及任意角的三角函数新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业任意角蝗制及任意角的三角函数新人教B版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2021·四川泸州高三月考)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是( )
A．③④⑤ B．①③④
C．①③④⑤ D．②③④⑤
C [①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；
②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；
③小于90°的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；
⑤若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．]
2．(2021·北京四中高三期中)α是一个任意角，则α的终边与3π－α的终边( )
A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
C [因为π－α的终边与3π－α的终边相同，而π－α的终边与α的终边关于y轴对称，所以α的终边与3π－α的终边关于y轴对称．]
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α＝eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A．(1，eq \r(2)) B．(eq \r(2)，1)
C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(1,1)
D [设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,\r(2))＝sin eq \f(π,4)，∴y＝1．
又cs α＝eq \f(x,\r(2))＝cs eq \f(π,4)，∴x＝1，∴P(1,1)．]
4．(2021·广西柳州高三一模)若角α终边落在射线y＝－2x(x>0)上，则sin α＝( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5) C．－eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(\r(5),5)
C [设角α终边上一点P(1，－2)，则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(2,\r(12＋4))＝－eq \f(2\r(5),5)．]
5．(2021·江苏徐州高三模拟)密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00．如果一个扇形的半径为2，面积为eq \f(7,3)π，则其圆心角可以用密位制表示为( )
A．25－00 B．35－00
C．42－00 D．70－00
B [设扇形的圆心角为α，则eq \f(1,2)α×22＝eq \f(7,3)π，则α＝eq \f(7,6)π，
由题意可知，其密位大小为6 000×eq \f(\f(7π,6),2π)＝3 500密位，用密位制表示为35－00．]
6．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
A [∵sin 2＞0，cs 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2·cs 3·tan 4＜0．]
二、填空题
7．与2 021°终边相同的最小正角是________．
221° [因为2 021°＝1 800°＋221°＝5×360°＋221°，所以与2 021°终边相同的最小正角是221°．]
8．(2021·上海黄浦区高三一模)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成)．已知OA＝10米，OB＝x米(0θ＝eq \f(2x＋10,x＋10)(09．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
(－2,3] [由cs α≤0，sin α＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3．]
三、解答题
10．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号．
[解](1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5)；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)．
(2)当a＞0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＜0；
当a＜0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)＞0．
综上，当a＞0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；当a＜0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为正．
11．已知sin α＜0，tan α＞0．
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
[解](1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为
(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜2nπ＋eq \f(3π,4)，n∈Z，即eq \f(α,2)是第二象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(3π,2)＜eq \f(α,2)＜2nπ＋eq \f(7,4)π，n∈Z，即eq \f(α,2)是第四象限角，
综上，eq \f(α,2)的终边在第二或第四象限．
(3)当eq \f(α,2)是第二象限角时，
tan eq \f(α,2)＜0，sin eq \f(α,2)＞0，cs eq \f(α,2)＜0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＞0，
当eq \f(α,2)是第四象限角时，tan eq \f(α,2)＜0，sin eq \f(α,2)＜0，cs eq \f(α,2)＞0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＞0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．
1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－eq \r(3)，1)
C．(－1，eq \r(3)) D．(1，－eq \r(3))
B [由题意可知Q(2cs(－2 010°)，2sin(－2 010°))，
因为－2 010°＝－360°×6＋150°，所以cs(－2 010°)＝cs 150°＝－eq \f(\r(3),2)，
sin(－2 010°)＝sin 150°＝eq \f(1,2)．
所以Q(－eq \r(3)，1)，故选B．]
2．已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )
A．eq \f(5π,6) B．eq \f(5π,3) C．eq \f(11π,6) D．eq \f(2π,3)
B [∵sin eq \f(5π,6)＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，cs eq \f(5π,6)＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)．
∴tan α＝eq \f(cs \f(5π,6),sin \f(5,6)π)＝－eq \r(3)，且α是第四象限角，
∴α＝2kπ－eq \f(π,3)，k∈Z，角α的最小正值为eq \f(5π,3)，故选B．]
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
[解](1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4)．
(2)若△AOB为等边三角形，
则∠AOB＝eq \f(π,3)，
故与角α终边相同的角β的集合为
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，则S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)α，
而S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1×sin α＝eq \f(1,2)sin α，
故弓形AB的面积
S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(1,2)α－eq \f(1,2)sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))．