人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程导学案及答案

这是一份人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程导学案及答案，共19页。学案主要包含了直击考点，学习目标，知识点梳理，典例分析，考点1销售利润问题，变式1-1，变式1-2，变式1-3等内容，欢迎下载使用。
专题21.3  一元二次方程与实际应用（二）（知识解读）【直击考点】 【学习目标】懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。 【知识点梳理】考点 1 销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为 考点2 几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则  考点3 动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【典例分析】【考点1销售利润问题】【例1】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？    【变式1-1】（2022•山西模拟）“网上买年货，安心过大年”．2022年1月9日“全晋乐购”网上年货节启动．公众可通过多个电商平台参与减免、直降、秒杀等促销活动，享受无接触配送等服务．某网店专售一款中国结，其成本为每个40元，当销售单价为80元时，每天可销售100个．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查发现该款中国结销售单价每降1元，每天可多销售5个．设该款中国结的销售单价为x元（x为正整数），每天的销售量为y个．（1）请直接写出y与x的函数关系式．（2）当该网店每天销售利润为4500元时，求该款中国结的销售单价．【变式1-2】（2022•南岸区校级模拟）“绿化校园，书香南岸”，去年三月份，南岸区某校购买了松树树苗和紫薇树苗共100株，其中松树树苗每株30元，紫薇树苗每株25元，此次购买两种树苗共计花费2700元．（1）求此次购买的两种树苗各多少株？（2）今年三月份，受市场影响商家降低了两种树苗的售价，且降价相同．经统计发现与去年三月份相比，两种树苗的售价每降低1元，松树树苗的销售量会增加2株，紫薇树苗的销售量会增加3株．若该校今年购进这两种树苗总计花费较去年增加了50元，求今年三月份两种树苗的售价．      【变式1-3】（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？         【例2】（2021秋•莆田期末）某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜10）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式．（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？   【变式2-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？     【变式2-2】（2021•贵州）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？    【考点2 几何面积问题】【例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．     【变式3-1】（2021•南岗区校级模拟）如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长．    【变式3-2】（2021秋•喀什地区期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？   【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【考点3动点与几何问题】【例4】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 【变式4-1】（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s【变式4-2】（2021秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？【变式4-3】（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝　　cm；BQ＝　　cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？                   专题21.3  一元二次方程与实际应用（二）（知识解读）【直击考点】 【学习目标】懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。 【知识点梳理】考点 1 销售利润问题 ：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为 考点2 几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则  考点3 动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【典例分析】【考点1销售利润问题】【例1】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【答案】(1) 1800元  (2)30元【解答】解：（1）（270﹣210）×30＝1800 （元）．∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．（2）设每件商品应降价x元，由题意，得（270﹣x﹣210）（30+3x）＝1800×2，解得 x1＝20，x2＝30．∵要更有利于减少库存，∴x＝30．答：每件商品应降价30元．【变式1-1】（2022•山西模拟）“网上买年货，安心过大年”．2022年1月9日“全晋乐购”网上年货节启动．公众可通过多个电商平台参与减免、直降、秒杀等促销活动，享受无接触配送等服务．某网店专售一款中国结，其成本为每个40元，当销售单价为80元时，每天可销售100个．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查发现该款中国结销售单价每降1元，每天可多销售5个．设该款中国结的销售单价为x元（x为正整数），每天的销售量为y个．（1）请直接写出y与x的函数关系式．（2）当该网店每天销售利润为4500元时，求该款中国结的销售单价．【答案】(1) y＝﹣5x+500(2)70元【解答】解：（1）依题意得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500．∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500．（2）依题意得：（x﹣40）（﹣5x+500）＝4500，整理得：x2﹣140x+4900＝0，解得：x1＝x2＝70．答：该款中国结的销售单价为70元．【变式1-2】（2022•南岸区校级模拟）“绿化校园，书香南岸”，去年三月份，南岸区某校购买了松树树苗和紫薇树苗共100株，其中松树树苗每株30元，紫薇树苗每株25元，此次购买两种树苗共计花费2700元．（1）求此次购买的两种树苗各多少株？（2）今年三月份，受市场影响商家降低了两种树苗的售价，且降价相同．经统计发现与去年三月份相比，两种树苗的售价每降低1元，松树树苗的销售量会增加2株，紫薇树苗的销售量会增加3株．若该校今年购进这两种树苗总计花费较去年增加了50元，求今年三月份两种树苗的售价．【答案】（1） 松树树苗40棵，紫薇树苗60棵．（2）25元、20元或28元、23元．【解答】解：（1）设此次购买松树树苗x棵，紫薇树苗y棵，依题意得：，解得：．答：此次购买松树树苗40棵，紫薇树苗60棵．（2）设今年三月份松树树苗的售价为m元，则紫薇树苗的售价为25﹣（30﹣m）＝（m﹣5）元，松树树苗的销售量为40+2（30﹣m）＝（100﹣2m）棵，紫薇树苗的销售量为60+3（30﹣m）＝（150﹣3m）棵，依题意得：m（100﹣2m）+（m﹣5）（150﹣3m）＝2700+50，整理得：m2﹣53m+700＝0，解得：m1＝25，m2＝28．当m＝25时，m﹣5＝25﹣5＝20；当m＝28时，m﹣5＝28﹣5＝23．答：今年三月份两种树苗的售价分别为25元、20元或28元、23元．【变式1-3】（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元      （2）8折【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售价应定为50元；（2）该商品需要打a折销售，由题意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：该商品至少需打8折销售．【例2】（2021秋•莆田期末）某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜10）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式．（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？【答案】（1） y＝5x+50（0＜x＜10）（2）7元【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（2，60），（4，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y关于x的函数解析式为y＝5x+50（0＜x＜10）．（2）依题意得：（40﹣x﹣20）（5x+50）＝1105，整理得：x2﹣10x+21＝0，解得x1＝3，x2＝7．又∵要让顾客得到更大的实惠，∴x＝7．答：这种榴莲每千克应降价7元．【变式2-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【答案】（1）y＝﹣10x+100 （2）6元或7元【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（3，70），（9，10）代人得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，解得：x＝6或x＝7，∴销售单价应为6元或7元．【变式2-2】（2021•贵州）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【答案】（1） y＝（2）40元或60元．【解答】解：（1）当0＜x＜20时，y＝60；当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得，解得，∴y＝﹣x+80，∴y与x的函数表达式为y＝； （2）若销售利润达到800元，若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解得x1＝40，x2＝60，若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，解得x＝（不合题意），∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．【考点2 几何面积问题】【例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】（1）2m （2）10%【解答】解：（1）设小路的宽度是xm，根据题意得：（21+2x）（12+2x）＝400，整理得：4x2+66x﹣148＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣18.5（舍去）．答：小路的宽度是2m；（2）设每次降价的百分率为y，依题意得：50（1﹣y）2＝40.5，解得：y1＝0.1，y2＝1.9（舍去），答：每次降价的百分率为10%．  【变式3-1】（2021•南岗区校级模拟）如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长．【答案】（1）AB＝38﹣2x（10≤x＜19）   （2）AD=10米【解答】解：（1）∵AD＝x，∴BC＝x，AB＝38﹣AD﹣BC＝38﹣2x．又∵墙长18米，∴，∴10≤x＜19．∴AB＝38﹣2x（10≤x＜19）．（2）依题意得：x(38﹣2x)＝180，整理得：x2﹣19x+90＝0，解得：x1＝9（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．【变式3-2】（2021秋•喀什地区期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？【答案】4米【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，整理得：x2﹣48x+176＝0，解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．答：小路的宽应为4米．【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【答案】（1）12m （2）不能围成面积为480m2的矩形花园．【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝m，依题意得：x•＝300，整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x1＝12，x2＝50．又∵墙EF最长可利用28m，∴x＝12．答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：设BC＝ym，则AB＝m，依题意得：y•＝480，整理得：y2﹣62y+960＝0，解得：y1＝30，y2＝32．又∵墙EF最长可利用28m，∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，∴不能围成面积为480m2的矩形花园．【考点3动点与几何问题】【例4】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1） 1秒 （2） 2秒 （3）不可能等于7cm2．【解答】解：（1）设x秒后，△BPQ的面积为4cm2，此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由BP×BQ＝4，得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．答：1秒后△BPQ的面积为4cm2． （2）由BP2+BQ2＝52，得（5﹣x）2+（2x）2＝52，整理得x2﹣2x＝0，解方程得：x＝0（舍去），x＝2．所以2秒后PQ的长度等于5cm；（3）不可能．设（5﹣x）×2x＝7，整理得x2﹣5x+7＝0，∵b2﹣4ac＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，所以△BPQ的面积为的面积不可能等于7cm2．【变式4-1】（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s【答案】A【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．故选：A．【变式4-2】（2021秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？【答案】1.2s或3s【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝CA＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP＝2t，AQ＝6﹣t，当∠APQ＝90°时，AP＝AQ，即2t＝（6﹣t），解得t＝1.2，当∠AQP＝90°时，AQ＝AP，即6﹣t＝×2t，解得t＝3，所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；【变式4-3】（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝　　cm；BQ＝　　cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【答案】（1）（12﹣2t）；4t  （2）t＝2或4时【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH＝AB＝6cm．根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．