初中苏科版第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性课后测评

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2022-2023学年苏科版八年级数学上《2.4 线段、角的轴对称性》达标检测卷                      （时间：90分钟   满分：120分） 一．选择题(每小题3分  共30分)1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）A．3     B．4         C．5        D．6              第1题图            第2题图            第3题图           第4题图2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）A．30°        B．40°        C．50°      D．60°3．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③4．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　　）A．三角形两边高线的交点处      B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上              D．∠α和∠β的平分线的交点处5．如图在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（   ）A．5 B．10 C．12 D．13        第5题图        第6题图       第7题图        第8题图   第9题图 6．如图在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）A．10 B．5 C．4 D．78．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm29．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD  10．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于（　　）A．95°    B．15°    C．95°或15°     D．170°或30° 二．填空题(每小题3分  共30分)11．线段是轴对称图形，它的对称轴是　                                         　；角是轴对称图形，它的对称轴是　               　．12．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN=　　cm．      第12题图        第13题图        第14题图    第15题图     第16题图13．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．（1）若BE=10cm，则EC=　　cm； （2）若AB+AC=8cm，则△ACE的周长是　　．14．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　　．15．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　cm．16．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是　               　．17．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　       　．             　第17题图           第18题图          第19题图      第20题图18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　          　．19．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　   　．20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD，E在AB上，结论：①BC＝BD；②CE＝DE；③AB平分∠CBD；④AB是CD的垂直平分线．其中正确的是　  （填序号） 三．解答题（60分）21．（6分）尺规作图如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）              22．（8分）如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD；试说明：∠BAP+∠BCP=180°；   23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．（1）若BC=8，BD=5，求点D到AB的距离。（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，求BC的长．                24．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．                   25.（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．        26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E＝∠C，∠1＝90°﹣∠EDC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）ED＝BC+BD．           27.（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，（1）求∠P的度数；（2）求证：∠EAF＝∠B+∠C；（3）点P到点B和点C的距离是否相等？并说明理由．                    教师样卷一．选择题(每小题3分  共30分)1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　A　）A．3     B．4         C．5        D．6              第1题图            第2题图            第3题图           第4题图2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　B　）A．30°        B．40°        C．50°      D．60°3．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（　A　）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③4．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（　D　）A．三角形两边高线的交点处      B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上              D．∠α和∠β的平分线的交点处5．如图在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（D ）A．5 B．10 C．12 D．13        第5题图        第6题图       第7题图        第8题图   第9题图 6．如图在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　A　）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　B　）A．10 B．5 C．4 D．78．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　A　）A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm29．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　D　）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD  10．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于（　C　）A．95°    B．15°    C．95°或15°     D．170°或30°二．填空题(每小题3分  共30分)11．线段是轴对称图形，它的对称轴是　线段的垂直平分线或线段本身所在的直线　；角是轴对称图形，它的对称轴是　角的平分线　．12．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN=　2　cm．      第12题图        第13题图        第14题图    第15题图     第16题图13．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．（1）若BE=10cm，则EC=　10　cm； （2）若AB+AC=8cm，则△ACE的周长是　8cm　．14．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　6　．15．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　5　cm．16．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是　BD=CD（答案不唯一）　．17．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　4　．             　第17题图           第18题图          第19题图      第20题图18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．19．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 10  　．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案为：10．20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD，E在AB上，结论：①BC＝BD；②CE＝DE；③AB平分∠CBD；④AB是CD的垂直平分线．其中正确的是①②③④　  （填序号）解：∵AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∵AB平分∠CAD，∴AB是线段CD的垂直平分线，故④正确；∵B、E两点在直线AB上，∴BC＝BD，CE＝DE，故①②正确；∵BC＝BD，∴△BCD是等腰三角形，∵AB是线段CD的垂直平分线，∴AB平分∠CBD，故③正确．故答案为：①②③④．三．解答题（60分）21．（6分）尺规作图如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）             解：如图所示：P点即为所求．22．（8分）如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD；试说明：∠BAP+∠BCP=180°；解：(方法一) 过点P作PE⊥BA于点E，如解答图①，∵PD⊥BC，∠1=∠2  ∴PE=PD∵∠BEP=∠BDP=90°，BP=BP，∠1=∠2   ∴Rt△BPE≌Rt△BPD（AAS）  ∴ BE=BD∵AB+BC=2BD，BC=CD+BD，AB=BE-AE ∴AE=CD ∴PEA≌△PDC(SAS)  ∴∠PAE=∠PCD.∵∠BAP+∠EAP=180°  ∴∠BAP+∠BCP=180°.(方法二) 在BC上截取BF，使BF=BA，连接PF，如解答图 ②，∵AB+BC=2BD  ∴BC-BD=BD-BF  ∴CD=FD.又∵∠PDC=∠PDF=90°，PD=PD   ∴△PDC≌△PDF(SAS)  ∴∠PCD=∠PFD.在△BAP和△BFP中，∵    ∴△BAP≌△BFP(SAS)∴∠BAP=∠BFP∵∠BFP+∠PFC=180°   ∴∠BAP+∠PCB=180° 解答图 ①                  解答图 ②                解答图 ③ (方法三) 在BC上取点E，使DE=BD，连接PE，如解答图③ ，∵PD⊥BD   ∴∠BDP=∠EDP=90° 又∵PD=PD   ∴△BDP≌△EDP(SAS).∴BP=EP，∠2=∠PED又∵∠1=∠2  ∴∠PEC=∠1.∵AB+BC=2BD，DE=BD  ∴AB=CE.又∵BP=EP  ∴△ABP≌△CEP(SAS)   ∴∠BAP=∠ECP.又∵∠BCP+∠ECP=180°   ∴∠BAP+∠BCP=180° 23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．（1）若BC=8，BD=5，求点D到AB的距离。（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，求BC的长．          解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC﹣BD=8﹣5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=6×=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．             解：（1）过点P作PD⊥BC于D，∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF；（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠EAP＝＝30°．25.（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．解：（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF（HL）．∴DE＝DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF．在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（ASA）．∴AE＝AF．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC上一点，在△ADE中，∠E＝∠C，∠1＝90°﹣∠EDC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）ED＝BC+BD．   证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD＝∠1+∠EDC，∵∠1＝90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°＝90°+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，延长DB至F，使BF＝BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD＝∠DAF，AD＝AF，∴∠DAF＝∠EDC，∠2＝∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF＝∠1+∠EDC，∴∠1＝∠F，∴∠1＝∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（AAS），∴ED＝CF，∵CF＝BC+BF＝BC+DB，∴ED＝BC+BD． 27.（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，（1）求∠P的度数；（2）求证：∠EAF＝∠B+∠C；（3）点P到点B和点C的距离是否相等？并说明理由．  解：（1）∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∵∠P+∠PMA+∠PNA+∠BAC＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，（2）∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAC+∠FAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°，∴∠EAF＝∠B+∠C，（3）相等  理由：连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，