高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题

2.1.1直线的倾斜角与斜率（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可

【详解】由题图知直线的倾斜角为钝角，∴．

又直线，的倾斜角均为锐角，且直线的倾斜角较大，

∴，

∴．

故选：D

2．（2022·全国·高二课时练习）若 ， ，，且 三点共线，则 (       )

A．－2 B．5 C．10 D．12

【答案】C

【分析】由三点共线可得线直的斜率存在并且相等求解即可.

【详解】解：由题意，可知直线的斜率存在并且相等，

即，解得 10.

故选：C.

3．（2022·全国·高二课时练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．

由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，

因此直线的倾斜角的取值范围是．

故选：C

4．（2022·全国·高二单元测试）若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过，两点，

所以直线的斜率为．

设直线的倾斜角为，则，

又，

所以，

所以直线的倾斜角为．

故选：C

5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.

【详解】直线过点，

画出图象如下图所示，

，，

由于直线与线段AB没有公共点，

当时，直线与线段有公共点，不符合题意，

当时，直线的斜率为，

根据图象可知的取值范围是，

所以的取值范围是.

故选：A

6．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.

【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．

故选：A．

二、多选题

7．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

【答案】ACD

【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.

【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，

当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；

故选：ACD

8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（       ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

【答案】BCD

【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可.

【详解】由题意得，即，所以，

故选：BCD．

9．（2022·全国·高二课时练习）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.

【详解】直线的斜率，且过点，

对于A,计算，故A错误；

对于B,计算，故B正确；

对于C,计算，故C正确；

对于D,计算，故D错误；

故选：BC

三、填空题

10．（2022·全国·高二课时练习）已知点，在函数的图像上，若函数在上的平均变化率为，则直线AB的倾斜角为______．

【答案】

【分析】利用斜率的定义直接求解.

【详解】函数在上的平均变化率就是直线AB的斜率，所以.

设直线AB的倾斜角为，则，则，所以.

故直线AB的倾斜角为．

故答案为：

【点睛】函数在区间上的平均变化率的几何意义是曲线上两点，所在直线的斜率．

11．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.

【答案】

【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.

【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，

又由，，

则的斜率，

则有．

故答案为：.

12．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__．

【答案】

【分析】先根据直线的倾斜角，直线，求出的倾斜角，再根据倾斜角与斜率的关系求出的斜率．

【详解】解：∵直线的倾斜角，直线，

∴的倾斜角为，

∴的斜率为，

故答案为:．

13．（2022·上海市控江中学高二期末）直线的斜率是__________.

【答案】

【分析】直线斜率，为倾斜角.

【详解】直线的图像如图所示:

易知其倾斜角，其斜率

故答案为：

14．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.

【答案】或5

【分析】根据斜率相等可求出结果.

【详解】因为，所以该直线斜率存在，

又，

根据题意得，解得或.

故答案为：或.

15．（2022·江苏·高二）已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则的取值范围是_______.

【答案】[， 2]

【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得、的斜率，就可得的取值范围.

【详解】因为A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，

所以表示直线的斜率.如下图.

因为直线的斜率为，直线的斜率为.

所以的取值范围是.

故答案为：

16．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知两点，若直线与线段恒有交点，则k的取值范围是___________．

【答案】

【分析】把、两点分别代入直线中，求出斜率和，结合题意求出的取值范围．

【详解】把，，两点分别代入直线中，

计算，，

由图可知，直线与线段恒有交点时，，

∴的取值范围是，．

故答案为：．

17．（2021·浙江·杭州高级中学高二期中）已知点，，直线l过定点，且直线l与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是__________

【答案】

【分析】画出图象，结合图象求得的取值范围.

【详解】设，

画出图象如下图所示，

，

结合图象可知，直线的斜率的取值范围是.

故答案为：

18．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】分、、三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】由正切函数的性质知，当时，；

当时，不存在；

当时，.

综上，的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

19．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点和点，分别求出满足下列条件的a的取值或取值范围.

(1)直线l的倾斜角为直角；

(2)直线l的倾斜角为锐角；

(3)直线l的倾斜角为钝角.

【答案】(1)a＝1；

(2)；

(3).

【分析】（1）解方程2a＝2即得解；

（2）解不等式即得解；

（3）解不等式即得解.

（1）解：当直线l的倾斜角为直角时，2a＝2，解得a＝1.

（2）解：当时，直线l的斜率.

令，则，所以直线l的倾斜角为锐角时，a的取值范围为.

（3）解：当时，令，则，所以直线l的倾斜角为钝角时，a的取值范围为.

20．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点，，．

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．

【答案】(1)，，，直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．

(2)

【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；

（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.

（1）由斜率公式，得，，，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 ，所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．

（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时由增大到，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为．

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）

A．或 B．

C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线l斜率的取值范围

【详解】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，

结合图形可知或

故选：A

2．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.

【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，

将直线绕着原点逆时针旋转，

则      

故新直线的斜率是.

故选：B.

3．（2022·全国·高二课时练习）若过两点，的直线的倾斜角为，则（       ）

A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2

【答案】D

【解析】由题意可得，故有，由此求得实数的值.

【详解】过两点，的直线的倾斜角为，

则有，

即，

即且，

解得，

故选：D.

【点睛】易错点睛：该题考查的是根据过两点的直线的倾斜角求参数的取值问题，在解题时应注意：

（1）利用两点斜率坐标公式，得到参数满足的等量关系式；

（2）在求解的过程中，分母不等于零常被忽略，导致错误.

4．（2022·全国·高二）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.

【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，

可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，

当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为

故选：B.

5．（2022·江苏·高二）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.

【详解】如下图示，

当直线过A时，，

当直线过B时，，

由图知：或.

故选：B

二、多选题

6．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是(       )

A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为

B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为

C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为

D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件

【答案】AC

【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．

【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；

②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；

③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，

则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，

由图可知，，故C正确；

④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，

∴，则；

当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒

故选：AC﹒

三、填空题

7．（2022·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是_______.

【答案】

【分析】分别讨论的取值，得到斜率不存在时，以及斜率存在时的范围，再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解.

【详解】若，则直线方程为，即倾斜角；

若，则直线方程为，即，

∵，∴或，

即或，解得

综上可得.

故答案为：

8．（2021·全国·高二课时练习）已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．

【答案】或

【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，

根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线的倾斜角小于和大于两种情况分别求出直线的斜率的取值范围即可.

【详解】如图所示：

因为直线经过点且与线段相交，

所以直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，

当直线的倾斜角小于时，有；

当直线的倾斜角大于时，有，

由直线的斜率公式可得，

，

所以直线的斜率的取值范围为或.

故答案为：或

【点睛】本题考查直线斜率的取值范围；考查数形结合的思想和运算求解能力；属于常考题型、难度较大型试题.

四、解答题

9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.

【答案】

【分析】先求得直线l的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l的倾斜角的取值范围.

【详解】∵直线l过，两点，

∴直线l的斜率为，

设直线l的倾斜角为，则，且，

解得或

∴直线l的倾斜角的取值范围是.

10．（2022·江苏·高二课时练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．

【答案】;.

【分析】根据斜率公式得，，由与线段相交，知，由此能求出直线斜率的范围，进而根据正切函数的性质得出倾斜角范围．

【详解】因为，，由与线段相交，

所以，

所以或，

由于在及均为增函数，

所以直线的倾斜角的范围为：.

故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.

11．（2022·江苏·高二专题练习）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；

(2)存在，斜率为，倾斜角为；

(3)存在，斜率为，倾斜角为；

(4)不存在.

【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在.

(1)解：因为，

所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，

设倾斜角为，则，故，即倾斜角为

(2)解：因为，

所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，

设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.

(3)解：因为，

所以经过的直线斜率存在，

所以斜率为，

设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.

(4)解：因为，

所以经过的直线斜率不存在，

12．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；

（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解.

【详解】解：（1）因为，，，，

结合正切函数在的单调性得，

（2）直线l的斜率，，，

结合正切函数在的单调性得.

13．（2022·全国·高二专题练习）已知．

(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；

(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．

【答案】(1)，直线BC的一个方向向量为；

(2).

【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB，BC的斜率，从而求出直线BC的一个方向向量；

（2）当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，求出kAC即可．

（1）解：直线AB的斜率为，直线BC的斜率为1，

∴直线BC的一个方向向量为．

（2）解：如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，

由（1）可知kAB，kAC，

∴直线AD的斜率的变化范围为[，]．

14．（2022·全国·高二课时练习）已知过坐标原点O的一条直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．

(1)证明：点C，D，O在同一条直线上；

(2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 设点，，则，,由A，O，B三点共线，知，即有，将等式化成以3为底的对数，即可得，从而得证；

(2)由题意可得轴，即有，化简得，再代入中，即可求出A点坐标.

（1）解：证明：如图，设点，，则，．

由A，O，B三点共线，知，

所以，即，

所以，即．

所以点C，D，O在同一条直线上．

（2）当直线BC的斜率为0时，轴，

则，即，所以．

由（1）知，所以，解得，

所以点A的坐标为．

15．（2022·江苏·高二专题练习）已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).

(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

【答案】(1) m>－2.   (2) m<－2.   (3) 不可能为直角.

【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；

(2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0，根据斜率公式，得到不等式，即可求解；

(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，即可作出判定．

【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，

即k＝＝>0，

解得m>－2.

(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，

即k＝＝<0，

解得m<－2.

(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.

【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式及其应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理利用斜率公式列出不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

16．（2022·全国·高二课时练习）点在函数的图像上，当时，求的取值范围.

【答案】

【分析】由的几何意义是过两点的直线的斜率且点M在线段上运动，可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值.

【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，点M在线段上运动，易知当时，，此时与两项连线的斜率最大，为；

当时，，此时与两点连线的斜率最小，为.,即的取值范围为

【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角与斜率的关系，数形结合的思想，属于中档题.