高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示教案，共9页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，设计意图等内容，欢迎下载使用。
《7.3 复数的三角表示》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第七章《复数》的第三节《复数的三角表示》。以下是本章的课时安排：第七章   复数课时内容7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3 复数的三角表示所在位置教材第68页教材第75页教材第83页  新教材内容分析本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。 核心素养培养了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。教学主线复数的概念、复数的运算   前面学习了复数及其四则运算，本节课主要掌握复数的三角形式，进而利用复数三角形式解决一系列实际问题,探究复数的乘法、除三角形式的运算法则及其几何意义。1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示,培养数学抽象的核心素养；2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义,培养数学抽象的核心素养；3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,培养数学运算的核心素养;4.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算,培养数学运算的核心素养. 1.重点：了解复数的三角表示、复数的辐角及辐角的主值的含义        了解复数乘、除运算的三角表示2.难点：了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.        了解复数乘、除运算的几何意义． （一）新知导入1. 探索交流，解决问题前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数.问题　复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？提示　复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. （二）复数的三角表示1.复数的三角形式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.2.辐角主值规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.【思考1】复数的辐角有怎样的特征？【提示】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.【思考2】你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？【提示】　i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示.而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0).3.复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].4.复数三角形式的除法两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]. 【做一做】1.复数1＋i的辐角主值为(　　)A.   B.   C.   D.解析　因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝.答案　C2.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　)A.30°   B.60°   C.90°   D.120°解析　因为z＝cos 30°＋isin 30°，则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°.答案　B  （三）典型例题1.复数的代数形式化为三角形式例1.将下列复数代数式化成三角形式：(1)＋i；(2)1－i.解　(1)r＝＝2，所以cos θ＝，对应的点在第一象限，所以arg(＋i)＝，所以＋i＝2.(2)r＝＝，所以cos θ＝，对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，所以1－i＝. 【类题通法】将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式. 【巩固练习1】复数z＝－i的三角形式为(　　)A.2   B.2C.2   D.2解析　因为r＝2，所以cos θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，所以z＝－i＝2.答案　D2.复数的三角形式化为代数形式例2.复数z＝化为代数形式为(　　)A.＋i   B.－＋iC.－－i   D.－i解析　z＝＝sin ＋icos ＝×＋i×＝－i.答案　D【类题通法】将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.【巩固练习2】将复数z＝化为代数形式为________.解析　z＝＝×cos －i×sin ＝1－i.答案　1－i3.复数三角形式的乘法运算例3.　计算：(1)2×；(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°).解　(1)2×＝2＝－2i.(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×(cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i. 【类题通法】直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.【巩固练习3】计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________.解析　　(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.答案　2i4.复数三角形式的除法运算例4. (1)设π<θ<，则复数的辐角主值为(　　)A.2π－3θ        B.3θ－2πC.3θ             D.3θ－π解析　＝＝cos 3θ＋isin 3θ，∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，故本题应选B.答案　B(2)计算：8÷.解　8÷＝2＝2＝－＋i.【类题通法】直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.【巩固练习4】　计算：2i÷.解　2i÷＝2(cos 90°＋isin 90°)÷＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i. （四）操作演练  素养提升1.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)A.＋i    B.－＋iC.－－i    D.－i2.将复数z＝8化为代数形式为________.3.arg＝________.4.计算(cos π＋isin π)÷＝________. 答案：1.A      2.4＋4i       3.　      4.－＋i 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 （五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                          （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第86页  练习     第1，2，3题          第89页  练习     第1，2，3题第89 页   习题7.3  第1,2,3,4,5,6,7,8题